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"problem": "例2. 设集合 $A=\\{a \\mid 1 \\leqslant a \\leqslant 2000, a=4 k+1, k \\in \\mathbf{Z}\\}$, 集合 $B= \\{b \\mid 1 \\leqslant b \\leqslant 3000, b=3 k-1, k \\in \\mathbf{Z}\\}$. 求 $|A \\cap B|$.", |
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"solution": "分析:令 $4 k+1=3 m-1$, 得 $m=\\frac{4 k+2}{3}=k+1+\\frac{k-1}{3}$. 因 $m \\in \\mathbf{Z}$, 所以 $3 \\mid k-1$. 令 $k-1=3 r, r \\in \\mathbf{Z}$, 得 $m=4 r+2$. 这时 $b=12 r+5$, 故 $A \\cap B$的元素是形如 $12 r+5$ 的整数.\n解形如 $4 k+1$ 的数可分为 3 类:\n$$\n12 l+1,12 l+5,12 l+9(l \\in \\mathbf{Z}),\n$$\n其中只有形如 $12 l+5$ 的数是形如 $3 k-1$ 的数.\n令\n$$\n1 \\leqslant 12 l+5 \\leqslant 2000(l \\in \\mathbf{Z}),\n$$\n得 $0 \\leqslant l \\leqslant 166$. 所以, $A \\cap B=\\{5,17, \\cdots, 1997\\}$.\n所以, $|A \\cap B|=167$.\n以上两例, 我们都是采用列举出集合的全部元素的办法来求其元素的数目.\n对于一些较为复杂的集合, 这种方法是很难奏效的, 这时必须另辟蹊径.", |
