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"solution": "分析:若 $a+b$ 为质数,则条件 (3) 无法满足.\n而 101 就是一个质数,这说明数组 $\\{1,100\\},\\{2,99\\}, \\cdots,\\{50,51\\}$ 中, 每组的两个数不同时在 $S$ 中.\n那么在每组数中各取一个数组成的集合是否满足所有条件呢?\n解构造 50 个数组:\n$$\n\\{1,100\\},\\{2,99\\}, \\cdots,\\{50,51\\},\n$$\n每个数组中的两个数之和是 101 .\n由于 101 是质数, 在 $S$ 中不存在元素 $c$, 使得 101 与 $c$ 的最大公约数大于 1. 因此, 在 $S$ 中不可能同时含有上述数组中的同一数组中的两个数.\n由抽屉原理可知,集合 $S$ 中元素的个数不大于 50 .\n另一方面, 我们构造集合 $A=\\{2,1,3,5,7, \\cdots, 95,97\\}$. 此集合含有 2 和小于 98 的 49 个奇数.\n下面说明集合 $A$ 满足题设条件.\n对于集合 $A$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$ :\n(i) 若 $a=2$, 则 $b$ 是奇数.\n若 $b=1$, 易见 $A$ 中存在元素 $c$ 满足题设条件;\n若 $3 \\leqslant b \\leqslant 95$, 则 $A$ 中元素 1 与 $a+b$ 的最大公约数等于 $1, A$ 中元素 $b+2$ 与 $a+b$ 的最大公约数是 $b+2$ 大于 1 ;\n若 $b=97$, 易见 $A$ 中存在元素 $c$ 满足题设条件.\n(ii) 若 $a 、 b$ 都不等于 2 , 则 $a 、 b$ 都是奇数, $a+b$ 是偶数.\n于是, $a+b$ 与 2 的最大公约数是 2 大于 1 , 且 $a+b$ 与 $1 、 89 、 91$ 中的某个数必互质.\n所以,集合 $A$ 满足题设条件.\n因此,集合 $S$ 的元素个数的最大值是 50 .", |
