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"problem": "例3. 对一个由非负整数组成的集合 $S$, 定义 $r_s(n)$ 为满足下述条件的有序对 $\\left(s_1, s_2\\right)$ 的对数:\n$$\ns_1 \\in S, s_2 \\in S, s_1 \\neq s_2, \\text { 且 } s_1+s_2=n .\n$$\n问: 是否能将非负整数集分划为两个集合 $A$ 和 $B$, 使得对任意 $n$, 均有 $r_A(n)=r_B(n)$ ?", |
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"solution": "分析:整数有多种表示形式, 其中二进制表示的每位数字只有 0 和 1 这两种选择.\n由于是将 $S$ 分划为两个集合 $A 、 B$, 对每个固定的 $n$, 满足 $s_1+s_2=n$ 的非负整数对 $\\left(s_1, s_2\\right)$ 是有限的, 用二进制数来讨论 $\\left(s_1, s_2\\right)$ 在 $A$ 和 $B$ 中的分配情况似乎较有利.\n解存在上述的分划.\n将所有二进制表示下数码 1 出现偶数个的非负整数归人集合 $A$, 其余的非负整数归人 $B$, 则 $A 、 B$ 是非负整数集 $N$ 的分划.\n注意到, 对 $A$ 中满足 $a_1+a_2=n, a_1 \\neq a_2, a_1, a_2 \\in A$ 的数对 $\\left(a_1, a_2\\right)$, 由于 $a_1 \\neq a_2$, 因此在二进制表示下 $a_1$ 与 $a_2$ 必有一位上的数码不同, 从右到左看, 第 1 个不同数码的数位上, 改变 $a_1 、 a_2$ 在该位上的数码, 分别得到 $b_1 、 b_2$, 则 $b_1 、 b_2 \\in B$, 且 $b_1 \\neq b_2, b_1+b_2=n$. 这个将 $\\left(a_1, a_2\\right)$ 对应到 $\\left(b_1, b_2\\right)$ 的映射是一一对应, 因此 $r_A(n)=r_B(n)$.\n说明这是一个存在性问题.\n我们是利用二进制数构造 $S$ 的 $2-$ 分划 $A$ 、 $B$, 然后通过建立 $A$ 中有序对集 $\\{\\left(a_1, a_2\\right) \\mid a_1, a_2 \\in A, a_1 \\neq a_2, a_1+a_2=n\\}$ 与 $B$ 中有序对集 $\\left\\{\\left(b_1, b_2\\right) \\mid b_1, b_2 \\in B, b_1 \\neq b_2, b_1+b_2=n\\right\\}$ 的一一对应来解决的.\n利用一一对应解决计数问题的方法就是所谓的配对原理.", |
