|
|
"problem": "例4. 设集合 $A=\\{1,2, \\cdots, m\\}$. 求最小的正整数 $m$, 使得对 $A$ 的任意一个 14 -分划 $A_1, A_2, \\cdots, A_{14}$, 一定存在某个集合 $A_i(1 \\leqslant i \\leqslant 14)$, 在 $A_i$ 中有两个元素 $a 、 b$, 满足 $b<a \\leqslant \\frac{4}{3} b$.", |
|
|
"solution": "分析:由于要考虑的是一种极端情况, 我们来作一张元素、集合从属关系的表: 从 1 开始, 由小到大每 14 个数为一组, 依次填人表中的每一列中 (如表 4-1). 填满 4 列后, 观察发现: 去掉右下角的数 56 后, 子集 $A_1, A_2, \\cdots$, $A_{13}$ 中每一个都有 4 个元素, 而 $A_{14}$ 有 3 个元素, 这时 $A_1, A_2, \\cdots, A_{14}$ 任何一个中都不存在两个元素满足题中的不等式.\n故 $m \\geqslant 56$.\n表 4-1\n$\\begin{array}{llllll}A_1 & 1 & 15 & 29 & 43 & \\cdots\\end{array}$\n$\\begin{array}{llllll}A_2 & 2 & 16 & 30 & 44 & \\cdots\\end{array}$\n$\\begin{array}{llllll}A_3 & 3 & 17 & 31 & 45 & \\cdots\\end{array}$\n$\\begin{array}{cccccc}\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ A_{12} & 12 & 26 & 40 & 54 & \\cdots \\\\ A_{13} & 13 & 27 & 41 & 55 & \\cdots \\\\ A_{14} & 14 & 28 & 42 & 56 & \\cdots\\end{array}$\n表 4-2\n$\\begin{array}{lllll}A_1 & 1 & 15 & 29 & 43\\end{array}$\n$\\begin{array}{lllll}A_2 & 2 & 16 & 30 & 44\\end{array}$\n$\\begin{array}{lllll}A_3 & 3 & 17 & 31 & 45\\end{array}$\n$\\begin{array}{ccccc}\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ A_{12} & 12 & 26 & 40 & 54 \\\\ A_{13} & 13 & 27 & 41 & 55 \\\\ A_{14} & 14 & 28 & 42 & \\end{array}$\n解如表 4-2, 第 $i$ 行的数即为子集 $A_i$ 的元素.\n这时 $\\left|A_i\\right|=4(i=1,2, \\cdots, 13),\\left|A_{14}\\right|=3$. 显然, 14 个子集每一个都不存在两个元素满足题中不等式.\n所以, $m \\geqslant 56$.\n另一方面, 若 $m=56$, 则对 $A$ 的任意分划 $A_1, A_2, \\cdots, A_{14}$, 数 $42 , 43, \\cdots, 56$ 中, 必有两个数属于同一个 $A_i$, 取此二数为 $a 、 b$, 则\n$$\n42 \\leqslant a<b \\leqslant 56=\\frac{4}{3} \\cdot 42 \\leqslant \\frac{4}{3} a .\n$$\n综上所述, 所求 $m$ 的最小正整数值为 56 .\n另解若 $m<56$, 令 $A_i=\\{a \\mid a \\equiv i(\\bmod 14), a \\in A\\}$, 则对任意 $a, b \\in A_i(i=1,2, \\cdots, 14), b<a$, 均有 $56>a>b$, 且 $a-b \\geqslant 14$. 故 $b<a- 14<42$. 于是\n$$\n\\frac{a}{b}=1+\\frac{a-b}{b} \\geqslant 1+\\frac{14}{b}>1+\\frac{14}{42}=\\frac{4}{3} .\n$$\n所以, $m \\geqslant 56$.\n后同前解.", |
