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"problem": "例10. 设 $A=\\{1,2, \\cdots, 2002\\}, M=\\{1001,2003,3005\\}$. 对 $A$ 的任一非空子集 $B$, 当 $B$ 中任意两数之和不属于 $M$ 时, 称 $B$ 为 $M$-自由集.\n如果 $A= A_1 \\cup A_2, A_1 \\cap A_2=\\varnothing$, 且 $A_1 、 A_2$ 均为 $M$-自由集, 那么称有序对 $\\left(A_1, A_2\\right)$ 为 $A$ 的一个 $M$-划分.\n试求 $A$ 的所有 $M$-划分的个数.", |
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"solution": "解:对 $m, n \\in A$, 若 $m+n=1001$ 或 2003 或 3005 , 则称 $m$ 与 $n$ “有关”.\n易知, 与 1 有关的数仅有 1000 和 2002 ,与 1000 和 2002 有关的都是 1 和 1003 , 与 1003 有关的为 1000 和 2002 .\n将 $1,1003,1000,2002$ 分为两组 $\\{1,1003\\},\\{1000,2002\\}$, 其中一组中的数仅与另一组中的数有关, 我们将这样的两组叫做一个 “组对”. 同样可划分其他各组对 $\\{2,1004\\},\\{999,2001\\} ;\\{3,1005\\},\\{998,2000\\} ; \\cdots ;\\{500,1502\\},\\{501,1503\\} ;\\{1001\\},\\{1002\\}$.\n这样 $A$ 中的 2002 个数被分划成 501 个组对,共 1002 组.\n由于任意数与且只与对应另一组有关, 所以, 若一组对中一组在 $A_1$ 中, 另一组必在 $A_2$ 中.\n反之亦然, 且 $A_1$ 与 $A_2$ 中不再有有关的数.\n故 $A$ 的 $M$ 一划分的个数为 $2^{501}$.", |
