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"solution": "分析:集合 $A$ 有 $2^{10}-1$ 个非空子集,逐一考察的工作只有交给计算机.\n像例 1 一样, 我们先来看看比 $A$ 的元素少一些的集合的情形.\n记集合 $A_i$ 符合条件的子集族为 $A_i^*,\\left|A_i^*\\right|=a_i$.\n$$\n\\begin{aligned}\nA_1 & =\\{1\\}, A_1^*=\\varnothing, a_1=0 ; \\\\\nA_2 & =\\{1,2\\}, A_2^*=\\varnothing, a_2=0 ; \\\\\nA_3 & =\\{1,2,3\\}, A_3^*=\\{\\{1,3\\}\\}, a_3=1 ; \\\\\nA_4 & =\\{1,2,3,4\\}, A_4^*=\\{\\{1,3\\},\\{1,4\\},\\{2,4\\}\\}, a_4=3 ; \\\\\nA_5 & =\\{1,2,3,4,5\\}, A_5^*=\\{\\{1,3\\},\\{1,4\\},\\{2,4\\},\\{1,3,5\\}, \\{1,5\\},\\{2,5\\},\\{3,5\\}\\}, a_5=7 . &\n\\end{aligned}\n$$\n我们来考察写出 $A_5^*$ 的过程, 这可以分作两步: 第一步写出 $A_4^*$ 的全部元素, 它们都不含元素 5 ; 第二步写出含 5 的子集, 它们是在 $A_3^*$ 的元素中添 5 所成, 或者是含 5 的二元子集, 即 $a_5=a_4+a_3+3$. 其实对 $A_4^* 、 A_3^*$ 有类似的结论: $a_4=a_3+a_2+2, a_3=a_2+a_1+1$. 我们可以将这个作法推广到一般。\n解设 $a_n$ 是集合 $\\{1,2, \\cdots, n\\}$ 的具有题设性质的子集个数.\n对于集合 $\\{1,2, \\cdots, n, n+1, n+2\\}$, 具有题设性质的子集可分为两类: 第一类子集不包含 $n+2$, 它们是集合 $\\{1,2, \\cdots, n, n+1\\}$ 的全部具有题设性质的子集, 共有 $a_{n-1}$ 个; 第二类子集包含 $n+2$, 它们是集合 $\\{1,2, \\cdots, n\\}$ 的每个具有题设性质的子集与 $\\{n+2\\}$ 的并集, 以及二元子集 $\\{1, n+2\\},\\{2$, $n+2\\}, \\cdots,\\{n, n+2\\}$, 共有 $a_n+n$ 个.\n于是, 我们有\n$$\na_{n+2}=a_{n+1}+a_n+n .\n$$\n易知, $a_1=a_2=0$, 因此 $a_3=1, a_4=3, a_5=7, a_6=14, a_7=26$, $a_8=46, a_9=79, a_{10}=133$.\n所以,所求子集的个数为 133 .\n说明上述解法的特点是将问题一般化,一般问题解决了, 特殊问题当然就解决了.\n这里用到了递推方法, 递推也是解决组合问题的常用方法之一.\n与上例相反,我们来看一个已知子集族求恰好包含这些子集的集合的阶的问题.", |
