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"solution": "分析:因为当 $b=a$ 时, $2 a+30 k$ 均不是两个相邻整数之积, 故我们只需考察 $2 a$ 被 30 除的余数.\n解所求 $A$ 为 $\\{3 l+2 \\mid 0 \\leqslant l \\leqslant 9\\}$.\n设 $A$ 满足题中条件且 $|A|$ 最大.\n因为两个相邻整数之积被 30 除, 余数为 $0,2,6,12,20,26$. 则对任一 $a \\in A$, 有 $2 a \\neq 0,2,6,12,20,26(\\bmod 30)$ ,\n即 $a \\neq 0,1,3,6,10,13,15,16,18,21,25,28$, 因此, $A \\subseteq\\{2,4,5,7,8,9,11,12,14,17,19,20,22,23,24,26,27,29\\}$, 后一集合可分拆成下列 10 个子集的并, 其中每一个子集至多有一个元素包含在 $A$ 中: $\\{2,4\\}, \\{5,7\\},\\{8,12\\},\\{9,11\\},\\{14,22\\},\\{17,19\\},\\{20\\},\\{23,27\\},\\{24,26\\},\\{29\\}$, 故 $|A| \\leqslant 10$.\n若 $|A|=10$, 则每个子集恰好有一个元素包含在 $A$ 中, 因此, $20 \\in A, 29 \\in A$.\n由 $20 \\in A$ 知 $12 \\notin A$, 从而 $8 \\in A$, 这样 $4 \\notin A, 22 \\notin A, 24 \\notin A$. 因此 $2 \\in A, 14 \\in A, 26 \\in A$.\n由 $29 \\in A$ 知 $7 \\notin A, 27 \\notin A$, 从而 $5 \\in A, 23 \\in A$, 这样 $9 \\notin A, 19 \\notin A$, 因此 $11 \\in A, 17 \\in A$.\n综上所述,有 $A=\\{2,5,8,11,14,17,20,23,26,29\\}$, 此集合 $A$ 确实满足要求.", |
