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"problem": "例3. 设 $n$ 是一个正整数.\n安先写出 $n$ 个不同的正整数, 然后艾夫删除了其中的某些数 (可以不删, 但不能全删), 同时在每个剩下的数的前面放上 “+”号或“-”号, 再对这些数求和.\n如果计算结果能被 2003 整除, 则艾夫获胜,否则安获胜.\n问谁有必胜策略?", |
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"solution": "分析:$n$ 个不同整数所成的集合 $M$ 有 $2^n-1$ 个不同的非空子集.\n当 $2^n- 1>2003$ 时, 必有两个不同的子集的元素和关于模 2003 同余.\n设这两个子集为 $A 、 B$, 且 $A \\cap B=C$. 则集合 $A \\backslash C$ 与 $B \\backslash C$ 的元素和关于模 2003 仍同余.\n这时, 艾夫只要在集合 $A \\backslash C$ 的元素前加“十” 号,在 $B \\backslash C$ 的元素前加“一”号, 而将其他元素全删除, 即可获胜.\n取 $n \\geqslant 11$, 便有 $2^n-1>2003$.\n那么, 当 $n \\leqslant 10$ 时有什么结果呢? 这时只要安写下整数 $1,2, \\cdots, 2^{n-1} (n \\leqslant 10)$ 中的若干个, 则已立于不败之地.\n因为艾夫无论怎么做, 所得的和都只能在一 1023 与 1023 之间,且不等于 0 .\n解当 $n \\leqslant 10$ 时, 安有必胜策略.\n为此, 他可写出整数 $1,2, \\cdots, 2^{n-1}$. 因为 $1+2+\\cdots+2^{n-1}=2^n-1 \\leqslant 2^{10}-1=1023$, 所以, 艾夫可能得到的和只能在一 1023 与 1023 之间.\n由二进制数的表示的惟一性及添加正、负号的办法知, 艾夫得到的和也不可能为 0 . 所以,艾夫必败无疑.\n当 $n \\geqslant 11$ 时, 艾夫有必胜的策略.\n设安写出的整数所成之集为 $M$. 因为 $2^n-1 \\geqslant 2^{11}-1>2003$, 所以 $M$ 的非空子集数大于 2003 . 因而, 一定存在 $M$ 的两个不同子集, 例如 $A$ 和 $B$, 使得 $A$ 中数的和与 $B$ 中数的和关于模 2003 同余.\n如果艾夫将“+”号放在集合 $A \\backslash B$ 中的数的前面, 将“-”号放在集合 $B \\backslash A$ 中的数的前面, 并删除 $M$ 中所有其余的数,则艾夫必胜.", |
