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"solution": "分析:因为彼得也可能是同班同学的朋友, 所以彼得的 25 名同学的朋友数分别只能是 $0,1,2, \\cdots, 24,25$ 之一, 且互不相同.\n如果在彼得的同学中存在孤独者 (无朋友者), 则另 24 个同学的朋友数分别为 $1,2, \\cdots, 24$; 否则, 彼得的 25 个同学的朋友数分别为 $1,2, \\cdots, 25$. 看来我们得分如上两种情形讨论.\n解分两种情形讨论.\n第一种情形假定某位同学在班上的朋友数为 0 . 则除了这位孤独者和彼得以外,其他同学每人在班上的朋友数不多于 24 . 因为这些同学总共 24 人, 每人在班上的朋友数不同, 所以他们的朋友数依次为 $1,2, \\cdots, 24$.\n约定将朋友数为 $1,2, \\cdots, 12$ 的同学编为 $A$ 组, 将朋友数为 $13,14, \\cdots$, 24 的同学编为 $B$ 组.\n将各组同学的朋友数求和, 分别得到\n$$\n\\begin{aligned}\n& S(A)=1+2+\\cdots+12=78, \\\\\n& S(B)=13+14+\\cdots+24=222 .\n\\end{aligned}\n$$\n设 $A$ 组中有 $k$ 名同学是彼得的朋友.\n则 $A$ 组同学在 $B$ 组中的朋友数总和不多于 $S(A)-k$, 另外 $B$ 组同学在本组中的朋友数总和不超过 $12 \\times 11$. 因此, 彼得在 $B$ 组中的朋友数不少于\n$$\nS(B)-12 \\times 11-(S(A)-k)=12+k,\n$$\n但 $B$ 组总共只有 12 人, 所以只能是 $k=0 . A$ 组中没有彼得的朋友 $(A$ 组同学也没有在本组中的朋友), $B$ 组的每位同学都是彼得的朋友.\n对此情形, 彼得在班上有 12 名朋友.\n第二种情形设班上没有孤独者, 每个人都有朋友.\n朋友数各不相同, 最多可达 25 人.\n约定将朋友数为 $1,2, \\cdots, 12$ 的同学编人 $A$ 组; 将朋友数为 $13,14, \\cdots, 25$ 的同学编人 $B$ 组.\n将各组同学的朋友数求和, 分别得到\n$$\n\\begin{aligned}\n& S(A)=1+2+\\cdots+12=78, \\\\\n& S(B)=13+14+\\cdots+25=247 .\n\\end{aligned}\n$$\n设 $A$ 组中有 $k$ 名同学是彼得的朋友.\n则 $A$ 组同学在 $B$ 组中的朋友数总和不多于 $S(A)-k$. 另外, $B$ 组同学在本组中的朋友数总共不超过 $13 \\times 12$. 于是, 彼得在 $B$ 组中的朋友数不少于\n$$\nS(B)-13 \\times 12-(S(A)-k)=13+k,\n$$\n但 $B$ 组总共只有 13 人, 所以 $k=0 . A$ 组中无彼得的朋友, $B$ 组中的每位同学都是彼得的朋友.\n对此情形, 彼得在班上有 13 名朋友.", |
