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"solution": "分析:因为 $(3 m)^n \\equiv 0(\\bmod 3),(3 m+1)^n \\equiv 1(\\bmod 3)$, $(3 m+2)^{2 r} \\equiv 1(\\bmod 3),(3 m+2)^{2 r+1} \\equiv 2(\\bmod 3)$, 所以对 $n$ 按奇偶性分类是自然的.\n解 (1) 当 $n$ 为奇数时, 不妨设 $n=2 l-1, l \\in \\mathbf{N}^*$. 对 $m \\in \\mathbf{N}^*$, 如果 $3 \\times m$, 则 $m^2 \\equiv 1(\\bmod 3) \\Rightarrow m^{2 l} \\equiv 1(\\bmod 3) \\Rightarrow m^{2 l-1} \\equiv m^{2(l-1)+1} \\equiv m(\\bmod 3)$; 如果 $3 \\mid m$, 则 $m^{2 l-1} \\equiv 0 \\equiv m(\\bmod 3)$. 于是, 当 $n$ 为奇数时, 对 $m \\in \\mathbf{N}$, 总有 $m^n \\equiv m(\\bmod 3)$. 从而\n$$\n\\begin{aligned}\nS & \\equiv 1+2+3+\\cdots+k \\\\\n& \\equiv(1+2+3)+(4+5+6)+\\cdots(\\bmod 3) .\n\\end{aligned}\n$$\n当 $k=3 t+3$ 或 $k=3 t+2$ 时, 就有\n$$\nS \\equiv 0(\\bmod 3)(t \\in \\mathbf{N})\n$$\n当 $k=3 t+1$ 时, 就有\n$$\n\\begin{aligned}\nS \\equiv & (1+2+3)+(4+5+6)+\\cdots \\\\\n& +[(k-3)+(k-2)+(k-1)]+k \\\\\n\\equiv & 1(\\bmod 3)(t \\in \\mathbf{N}) .\n\\end{aligned}\n$$\n(2) 当 $n$ 为偶数时, 对 $m \\in \\mathbf{N}$, 由 (1) 知, $3 \\times m \\Rightarrow m^n \\equiv 1(\\bmod 3), 3 \\mid m \\Rightarrow m^n \\equiv 0(\\bmod 3)$. 于是\n$$\nS \\equiv(1+1+0)+(1+1+0)+\\cdots(\\bmod 3) .\n$$\n当 $k=3 t+3(t \\in \\mathbf{N})$ 时, $(1+1+0)$ 共有 $t+1$ 组, 故 $S \\equiv(t+1)(1+1+0) \\equiv 2 t+2(\\bmod 3)$;\n当 $k=3 t+2(t \\in \\mathbf{N})$ 时, $(1+1+0)$ 共有 $t$ 组, 且 $(k-1)^n \\equiv k^n \\equiv 1(\\bmod 3)$, 故 $S \\equiv 2 t+1+1 \\equiv 2 t+2(\\bmod 3)$;\n当 $k=3 t+1(t \\in \\mathbf{N})$ 时, $(1+1+0)$ 共有 $t$ 组, 且 $k^n \\equiv 1(\\bmod 3)$, 故 $S \\equiv 2 t+1(\\bmod 3)$.\n综合 (1)、(2) 可知:\n当 $n$ 为奇正整数时,有当 $n$ 为偶正整数时,有\n$$\nS \\equiv\\left\\{\\begin{array}{l}\n0, k=9 t+4 \\text { 或 } 9 t+8 \\text { 或 } 9 t+9, \\\\\n1, k=9 t+1 \\text { 或 } 9 t+5 \\text { 或 } 9 t+6,(\\bmod 3)(t \\in \\mathbf{N}) . \\\\\n2, k=9 t+2 \\text { 或 } 9 t+3 \\text { 或 } 9 t+7\n\\end{array}\\right.\n$$\n说明这是一个两级分类的例子.\n首先是对 $n$ 按奇偶性(模 2 的剩余类) 分成两大类,然后又将每一大类对 $k$ 按模 3 的剩余类分成三个小类.", |
