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"solution": "分析:为了求出 $\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}$, 我们来比较 $\\frac{1}{a} 、 \\frac{1}{b} 、 a^2+b^2$ 的大小.\n令 $\\frac{1}{a}=\\frac{1}{b}=a^2+b^2$, 得 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$. 如设 $a \\geqslant b>0$, 则 $a 、 b 、 \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 有三种顺序关系: $a \\geqslant b \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}, \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant a \\geqslant b, a \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant b$. 我们就以此分类.\n解不失一般性, 不妨设 $a \\geqslant b>0$, 则 $0<\\frac{1}{a} \\leqslant \\frac{1}{b}$. 令 $\\frac{1}{a}=\\frac{1}{b}=a^2+b^2$, 则 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$.\n(1) 若 $a \\geqslant b \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$, 则\n$$\n\\frac{1}{a} \\leqslant \\frac{1}{b} \\leqslant \\sqrt[3]{2}, a^2+b^2 \\geqslant 2 b^2 \\geqslant \\sqrt[3]{2} .\n$$\n所以 $\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=a^2+b^2 \\geqslant \\sqrt[3]{2}$. 从而当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\min \\left\\{a^2+b^2\\right\\}=\\sqrt[3]{2} ;\n$$\n(2) 若 $\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant a \\geqslant b>0$, 则\n$$\n\\frac{1}{b} \\geqslant \\frac{1}{a} \\geqslant \\sqrt[3]{2}, a^2+b^2 \\leqslant 2 a^2 \\leqslant \\sqrt[3]{2}\n$$\n所以 $\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=\\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2}$. 从而当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\min \\left\\{\\frac{1}{b}\\right\\}=\\sqrt[3]{2} .\n$$\n(3)若 $a \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant b>0$, 则 $\\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2} \\geqslant \\frac{1}{a}>0$.\n此时若 $\\frac{1}{b} \\geqslant a^2+b^2$, 则\n$$\n\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=\\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2}\n$$\n若 $\\frac{1}{b} \\leqslant a^2+b^2$, 则\n$$\n\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=a^2+b^2 \\geqslant \\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2} ;\n$$\n所以当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\sqrt[3]{2}\n$$\n综上所述: 当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\sqrt[3]{2} .\n$$", |
