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"solution": "分析:直接计算好子集的个数是困难的.\n考察 $S$ 的全部 31 元子集, 将其按子集元素和模 5 的剩余类分成 5 类, 直觉告诉我们, 每一类子集的个数似乎是相同的.\n果真是这样的吗?\n解我们来考察 $S$ 的全部 31 元子集, 这样的子集共有 $\\mathrm{C}_{1990}^{31}$ 个, 它们构成集合\n$$\nM=\\left\\{\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\mid\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\subset S\\right\\} .\n$$\n设 $\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\in M$, 其元素和被 5 除的余数为 $k$, 即\n$$\n\\sum_{i=1}^{31} a_i=k(\\bmod 5) .\n$$\n$k$ 只有 5 个可能值: $0,1,2,3,4$. 我们将所有 $k$ 值相同的 $M$ 的元素 ( $S$ 的 31 元子集) 归为一类, 得到 $M$ 的 5 个子集 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 和 $A_4$. 显然 $A_0, A_1, \\cdots, A_4$ 是 $M$ 的一个分划,其中 $A_0$ 的元素就是 $S$ 的好子集.\n由于 $31 \\equiv 1(\\bmod 5)$, 所以当 $\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\in A_0$ 时, 即当 $\\sum_{i=1}^{31} a_i \\equiv 0(\\bmod 5)$ 时, 就有\n$$\n\\sum_{i=1}^{31}\\left(a_i+k\\right) \\equiv k(\\bmod 5) .\n$$\n故知 $\\left\\{a_1+k, a_2+k, \\cdots, a_{31}+k\\right\\} \\in A_k, k=1,2,3,4$, 这里当 $a_i+k>1990$ 时,将 $a_i+k$ 理解为 $a_i+k-1990$. 这种 $A_0$ 与 $A_k$ 间的对应是一一的.\n所以有\n$$\n\\left|A_0\\right|=\\left|A_1\\right|=\\left|A_2\\right|=\\left|A_3\\right|=\\left|A_4\\right|,\n$$\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|A_0\\right| & =\\frac{1}{5}\\left(\\left|A_0\\right|+\\left|A_1\\right|+\\left|A_2\\right|+\\left|A_3\\right|+\\left|A_4\\right|\\right) \\\\\n& =\\frac{1}{5}|M|=\\frac{1}{5} C_{1990}^{31} .\n\\end{aligned}\n$$\n说明在这里,我们的目的并不是求 $|M|$, 而是由于 $|M|$ 易于计算, 我们反过来利用这一点来达到计算 $\\left|A_0\\right|$ 的目的.", |
