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"solution": "分析:先看在区间 $(0,105]$ 中有多少个整数与 105 互质.\n因为 $105=3 \\times 5 \\times 7$, 所以只要在数列 $1,2, \\cdots, 105$ 中去掉所有 3 或 5 或 7 的倍数即可.\n然后再逐段考察区间 $(105 \\cdot(k-1), 105 k]$ 中与 105 互质的整数.\n解设 $S=\\{1,2, \\cdots, 105\\}, A_3=\\{a \\mid a \\in S$, 且 $3 \\mid a\\}, A_5=\\{a \\mid a \\in S$, 且 $5 \\mid a\\}, A_7=\\{a \\mid a \\in S$, 且 $7 \\mid a\\}$, 则\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left|A_3\\right|=\\frac{105}{3}=35,\\left|A_5\\right|=\\frac{105}{5}=21,\\left|A_7\\right|=\\frac{105}{7}=15, \\\\\n& \\left|A_3 \\cap A_5\\right|=\\frac{105}{3 \\times 5}=7,\\left|A_5 \\cap A_7\\right|=\\frac{105}{5 \\times 7}=3, \\\\\n& \\left|A_7 \\cap A_3\\right|=\\frac{105}{7 \\times 3}=5, \\\\\n& \\left|A_3 \\cap A_5 \\cap A_7\\right|=\\frac{105}{3 \\times 5 \\times 7}=1,|S|=105 .\n\\end{aligned}\n$$\n在 1 到 105 中,与 105 互质的数有\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left|\\complement_S A_3 \\cap \\complement_S A_5 \\cap \\complement_S A_7\\right| \\\\\n= & |S|-\\left|A_3 \\cup A_5 \\cup A_7\\right| \\\\\n= & |S|-\\left(\\left|A_3\\right|+\\left|A_5\\right|+\\left|A_7\\right|\\right) \\\\\n& +\\left(\\left|A_3 \\cap A_5\\right|+\\left|A_5 \\cap A_7\\right|\\right. \\\\\n& \\left.+\\left|A_7 \\cap A_3\\right|\\right)-\\left|A_3 \\cap A_5 \\cap A_7\\right| \\\\\n= & 105-(35+21+15)+(7+3+5)-1 \\\\\n= & 48 .\n\\end{aligned}\n$$\n设与 105 互质的正整数按从小到大的顺序排列为 $a_1, a_2, \\cdots, a_n, \\cdots$, 则\n$$\n\\begin{gathered}\na_1=1, a_2=2, a_3=4, \\cdots, a_{48}=104, \\\\\na_{49}=105+1, a_{50}=105+2, \\\\\na_{51}=105+4, \\cdots, a_{96}=105+104, \\cdots\n\\end{gathered}\n$$\n因为 $1000=48 \\times 20+40$, 所以\n$$\na_{1000}=105 \\times 20+a_{40} .\n$$\n由于 $a_{48}=104, a_{47}=103, a_{46}=101, a_{45}=97, a_{44}=94, a_{43}=92$, $a_{42}=89, a_{41}=88, a_{40}=86$, 所以\n$$\na_{1000}=105 \\times 20+86=2186 .\n$$\n筛法公式在数论中的一个典型应用, 就是推导欧拉函数的解析式.\n我们把不超过正整数 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的数目记为 $\\varphi(n)$, 称为欧拉函数.\n例如, $\\varphi(2)=1, \\varphi(3)=2, \\varphi(6)=2, \\varphi(8)=4$.", |
