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"problem": "例2. 设 $A$ 是两个整数平方差的集合,即 $A=\\left\\{x\\mid x=m^{2}-n^{2},\\,m,n\\in\\mathbf{Z}\\right\\}$.证明:\n(1) 若 $s,\\ t\\in A$ ,则 $s t\\in A.$ \n(2) 若 $s,\\ t\\in A,\\ t\\neq0$,则$\\frac{s}{t}=p^{2}-q^{2}.$ ,其中 $p,q$ 是有理数.", |
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"solution": "分析: 想办法将 $st$ 表示为两个整数的平方差.\n证明: (1)由 $s,t\\in A$ ,可设\n$$\ns=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}\\,,\\;t=m_{2}^{2}-n_{2}^{2}\\,, \n$$\n其中 $m_{1}, n_{1}, m_{2}, n_{2}$ 均为整数.\n是\n$$\n\\begin{array}{l}{{s t=(m_{1}^{2}-n_{1}^{2})\\,(m_{2}^{2}-n_{2}^{2})}}\\\\ {{=m_{1}^{2}m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}+n_{1}^{2}n_{2}^{2}-m_{1}^{2}n_{2}^{2}-2m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}-m_{2}^{2}n_{1}^{2}}}\\\\ {{=(m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2})^{2}-(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})^{2}\\,,}}\\end{array} \n$$\n即 $st$ 是两个整数的平方差,故 $s t\\in A.$ \n(2) 由于 $s, t \\in A$ ,由(1)知 $s t\\in A.$ 令 $s t=m^{2}-n^{2},m,n$ 是整数.\n $t\\neq 0$,因此\n$$\n{\\frac{s}{t}}\\,={\\frac{s t}{t^{2}}}=\\left({\\frac{m}{t}}\\right)^{2}-\\left({\\frac{n}{t}}\\right)^{2}. \n$$\n而 ${\\frac{m}{t}},{\\frac{n}{t}}$ 均为有理数,故命题得证.", |
