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"problem": "例3. 设函数 $f(x)=x^{2}+a x+b\\ (a,\\,b\\in\\mathbb{R})$ ,集合 $A=\\{x\\mid x=f(x)$ $x\\in\\mathbb{R})\\,,\\,B=\\{x\\mid x=f(f(x))\\,,\\,x\\in\\mathbb{R}\\}.$ \n(1)证明: $A\\subset B$ ;\n(2)当 $A=\\{-1,\\,3\\}$ 时,求集合 $B$ .", |
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"solution": "分析: 欲证 $A\\subseteq B$, 只需证明方程 $x=f(x)$ 的根必是方程 $x=f(f(x))$ 的根.\n解: (1)对任意的 $x_{0}\\in A$ ,有 $x_{0}=f(x_{0}), \\, x_0 \\in \\mathbb{R}.$\n于是\n$$\nf(f(x_{0}))=f(x_{0})=x_{0}. \n$$\n故 $x_{0}\\in B$ ,所以 $A\\subseteq B$. \n(2)因 $A=\\{-1,\\,3\\}$ ,所以\n$$\n\\begin{align*}\n\\left\\{\n\\begin{aligned}\n (-\\,1)^{2}+a*(-\\,1)+b=-\\,1, \\\\\n 3^{2}+a*3+b=3,\n\\end{aligned}\n\\right.\n\\end{align*}\n$$\n解之得 $a=-1$, $b=-3$,故 $f(x)=x^{2}-x-3.$ 由 $x=f(f(x))$ 得\n$(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-x-3= 0.$\n即\n$$\n(x^{2}-2x-3)\\,(x^{2}-3)\\,=\\,0\\,. \n$$\n解得 $x=-1,\\,3,\\,\\pm{\\sqrt{3}}.$ \n所以 $,B=\\{-1,\\ 3,-{\\sqrt{3}}\\,,{\\sqrt{3}}\\}$ .", |
