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"solution": "分析: 由每个集合有 45 个元素, 且任意两个集合的并集有 89 个元素知, 任意两个集合有且只有一个公共元素.\n解显然可以由题设找到这样的 1987 个集合, 它们都含有一个公共元素 $a$,而且每两个集合不含 $a$ 以外的公共元素.\n下面,我们来排除其他可能性.\n由任意两个集合的并集有 89 个元素可知, 1987 个集合中的任意两个集合有且只有一个公共元素, 则容易证明这 1987 个集合中必有一个集合 $A$ 中的元素 $a$ 出现在 $A$ 以外的 45 个集合中, 设为 $A_1, A_2, \\cdots, A_{45}$, 其余的设为 $A_{46}, A_{47}, \\cdots, A_{1986}$.\n设 $B$ 为 $A_{46}, \\cdots, A_{1986}$ 中的任一个集合, 且 $a \\notin B$, 由题设 $B$ 和 $A, A_1$, $A_2, \\cdots, A_{45}$ 都有一个公共元素, 且此 46 个元素各不相同, 故 $B$ 中有 46 个元素,与题设矛盾.\n所以这 1987 个集合中均含有 $a$.\n故所求结果为 $1987 \\times 44+1=87429$, 即这 1987 个集合的并集有 87429 个元素.\n说明: 在这里我们先设计一种符合题设的特殊情形, 然后再排除其他可能的情形, 从而达到解题目的.\n这是一种“先猜后证”的解题策略.", |
