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"problem": "例6. $A_1, A_2, \\cdots, A_{30}$ 是集合 $\\{1,2, \\cdots, 2003\\}$ 的子集,且 $\\left|A_i\\right| \\geqslant 660$, $i=1,2, \\cdots, 30$. 证明: 存在 $i \\neq j, i, j \\in\\{1,2, \\cdots, 30\\}$, 使得 $\\left|A_i \\cap A_j\\right| \\geqslant$ 203.", |
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"solution": "证明:不妨设每一个 $A_i$ 的元素都为 660 个(否则去掉一些元素). 作一个集合、元素的关系表: 表中每一行(除最上面的一行外)分别表示 30 个集合 $A_1, A_2, \\cdots, A_{30}$, 表的 $n$ 列 (最左面一列除外) 分别表示 2003 个元素 1 , $2, \\cdots, 2003$. 若 $i \\in A_j(i=1,2, \\cdots, 2003,1 \\leqslant j \\leqslant 30)$, 则在 $i$ 所在的列与 $A_j$ 所在行的交叉处写上 1 , 若 $i \\notin A_j$, 则写上 0 .\n\\begin{tabular}{c|ccccc} \n& 1 & 2 & 3 & $\\cdots$ & 2003 \\\\\n\\hline$A_1$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\cdots$ & $\\times$ \\\\\n$A_2$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\cdots$ & $\\times$ \\\\\n$\\cdots$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\cdots$ & $\\times$ \\\\\n$A_{30}$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\times$ & $\\cdots$ & $\\times$\n\\end{tabular}\n表中每一行有 660 个 1 , 因此共有 $30 \\times 660$ 个 1 . 设第 $j$ 列有 $m_j$ 个 1 $(j=1,2, \\cdots, 2003)$, 则\n$$\n\\sum_{j=1}^{2003} m_j=30 \\times 660 .\n$$\n由于每个元素 $j$ 属于 $\\mathrm{C}_{m_j}^2$ 个交集 $A_s \\cap A_t$, 因此\n$$\n\\sum_{j=1}^{2003} \\mathrm{C}_{m_j}^2=\\sum_{1 \\leqslant s<t \\leqslant 30}\\left|A_s \\cap A_t\\right| .\n$$\n由柯西不等式, 得\n$$\n\\begin{aligned}\n\\sum_{j=1}^{2003} \\mathrm{C}_{m_j}^2 & =\\frac{1}{2}\\left(\\sum_{j=1}^{2003} m_j^2-\\sum_{j=1}^{2003} m_j\\right) \\\\\n& \\geqslant \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2003}\\left(\\sum_{j=1}^{2003} m_j\\right)^2-\\sum_{j=1}^{2003} m_j\\right) .\n\\end{aligned}\n$$\n所以, 必有 $i \\neq j$, 满足\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|A_i \\cap A_j\\right| \\geqslant & \\frac{1}{\\mathrm{C}_{30}^2} \\times \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{2003}\\left(\\sum_{j=1}^{2003} m_j\\right)^2-\\sum_{j=1}^{2003} m_j\\right) \\\\\n= & \\frac{660(30 \\times 660-2003)}{29 \\times 2003}>202, \\\\\n& \\left|A_i \\cap A_j\\right| \\geqslant 203 .\n\\end{aligned}\n$$\n从而说明本题中所作的表,称为元素、集合从属关系表.\n它在讨论涉及多个集合的问题时非常有用.", |
