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"problem": "例2. 集合 $H=\\{1,2, \\cdots, 9\\}$ 的分拆 $p$ 是将 $H$ 表示为两两不相交的子集的并.\n对于 $n \\in H$ 和分拆 $p$, 将包含 $n$ 的子集中元素的数目记为 $p(n)$. 例如, 若 $p:\\{1,4,5\\} \\cup\\{2\\} \\cup\\{3,6,7,8,9\\}$, 则 $p(6)=5$. 证明: 对 $H$ 的任意两个分拆 $p_1 、 p_2$, 存在 $H$ 的两个不同的元素 $m 、 n$, 使得\n$$\np_1(m)=p_1(n), p_2(m)=p_2(n) .\n$$", |
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"solution": "分析:因为 $H$ 只有 9 个元素, 对于一个确定的分拆 $p, p(i)(i=1$, $2, \\cdots, 9)$ 只有三种不同的取值, 这是因为若有四种不同的取值, 则至少需要 $1+2+3+4=10$ 个元素.\n这就给我们打开了一条通过对 $p(i)$ 可能的取值个数的研究解决问题的思路.\n解用反证法.\n假设可以找到 $H$ 的两个分拆 $p_1 、 p_2$, 使不存在 $H$ 的两个不同的元素 $m 、 n$, 满足\n$$\np_1(m)=p_1(n), p_2(m)=p_2(n) .\n$$\n对于确定的 $p_1$, 若 $p_1(i)(i=1,2, \\cdots, 9)$ 有四种不同的取值, 则至少需要 $1+2+3+4=10$ 个元素, 而 $|H|=9$, 矛盾.\n所以, $p_1(i)$ 至多有三种不同的取值.\n若同时有四个元素的 $p_1(i)$ 取值相等, 由于 $p_i(i)$ 至多有三个不同取值, 所以,必有四个中的两个元素 $m 、 n$,使得 $p_2(m)=p_2(n)$ ，与假设矛盾.\n若 $p_1(i)$ 至多有两种不同的取值, 由抽屉原理知, 至少有 $H$ 的四个不同元素的 $p_1(i)$ 值相同.\n这说明对于任意确定的 $p_1, p_1(i)$ 恰有三种不同取值, 且每种取值有三个元素取到.\n也就是说对于分拆 $p_1, H$ 的每一个子集的元素个数不超过 3 . 不妨设\n$$\n\\begin{aligned}\n& p_1(1)=p_1(2)=p_1(3)=1, \\\\\n& p_1(4)=p_1(5)=p_1(6)=2,\n\\end{aligned}\n$$\n$$\np_1(7)=p_1(8)=p_1(9)=3 .\n$$\n但 $p_1(4)=p_1(5)=p_1(6)=2$ 是不可能的.\n这就否定了假设.", |
