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| "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex", | |
| "problem_type": "proof", | |
| "problem": "例5. 证明: 可以把自然数集分划为 100 个非空子集,使得对任何 3 个满足关系式 $a+99 b=c$ 的自然数 $a 、 b 、 c$, 都可以从中找出两个数属于同一子集.", | |
| "solution": "分析:当然, 只要能具体地构造一个满足条件的 100 -分划即可.\n在构造之前, 有必要对关系式 $a+99 b=c$ 进行讨论.\n有两点是显然的: $a(\\bmod 99) \\equiv c(\\bmod 99) ; a 、 b 、 c$ 中偶数的个数为奇数.\n我们的证明由此人手.\n证明按如下法则构造自然数集的子集: 在第 $i$ 个子集 $(1 \\leqslant i \\leqslant 99)$ 中放人所有被 99 除余 $i-1$ 的偶数,而在第 100 个子集中放人所有的奇数.\n显然, 这是一个自然数集的 $100-$ 分划.\n在任何满足方程 $a+99 b=c$ 的自然数 $a 、 b 、 c$ 中, 偶数的个数为奇数, 且\n$a(\\bmod 99) \\equiv c(\\bmod 99)$.\n如果 $a 、 b 、 c$ 中有两个为奇数,则此二奇数同属第 100 个子集; 否则, 它们全为偶数,且 $a$ 和 $c$ 被 99 除同余,故 $a$ 与 $c$ 仍属于同一子集.", | |
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| "figures": [] | |
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