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"problem": "例8. 将正整数集拆分为两个不相交的子集 $A 、 B$, 满足条件:\n(1) $1 \\in A$;\n(2) $A$ 中没有两个不同的元素, 使它们的和形如 $2^k+2(k=0,1,2, \\cdots)$;\n(3)B 中也没有两个不同的元素, 其和具有上述形式.\n证明: 这种拆分可以以唯一的方式实现, 并确定 1987, 1988, 1989 所属的子集.", |
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"solution": "分析:对任意的自然数 $n$, 总存在非负整数 $h$, 使 $2^h \\leqslant n<2^{h+1}$. 若 $m<n$, 则存在 $n+m=2^h+2$ 或 $n+m=2^{h+1}+2$ 两种可能, 只要将 $n$ 与 $m$ 置于不同的集合即可.\n证明因为 $1+2=2^0+2$, 所以 $2 \\in B$. 设对小于 $n$ 的数均有惟一的归属, 且满足条件 (1)、(2)、(3). 考虑 $n(n \\geqslant 3)$, 总有自然数 $h$, 使\n$$\n2^h \\leqslant n<2^{h+1} .\n$$\n若 $n=2^h, h>1$, 因 $2 \\in B$, 故 $n \\in A$. 这时, 对 $A$ 中任一元素 $m<n$,有\n$$\n2^h<n+m<2^{h+1} .\n$$\n而 $m \\neq 2$, 所以 $n+m$ 不能写成 $2^h+2$ 的形式.\n条件(1)、(2)、(3)成立.\n若 $n=2^h+1$, 则 $1+n=2^h+2$, 故 $n \\in B$. 这时, 对 $B$ 中任一元素 $m<n$,\n$$\n2^h+2<n+m<2^{h+1}+2 .\n$$\n条件(1)、(2)、(3)成立.\n若 $n>2^h+1$, 则 $2^{h+1}+2-n<n$, 所以必须令 $n$ 与 $2^{n+1}+2-n$ 在不同集合中.\n这时, 设 $m<n$, 且与 $n$ 在同一集合中, 则\n$$\n2^h+2<n+m<2^{h+2}+2,\n$$\n而 $n+m \\neq 2^{h+1}+2$. 所以, 条件 (1)、(2)、(3)仍然成立.\n这说明所说的拆分可以惟一地实现.\n由于 $1987=2^{11}+2-63$, 而 $63=2^6+2-3,3=2^1+2-1 \\in B$, 所以 $1987 \\in B$.\n同理可知 $1988 \\in A, 1989 \\in B$.", |
