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"solution": "分析:由有理数的稠密性知, 以坐标平面上任何点 $D$ 为圆心, 任何正数 $r$ 为半径的圆内都有无数多个有理点.\n关键是怎样使这些点分属三个不同的集合, 这似乎比较容易办到.\n如果直线 $a x+b y+c=0$ 上有 1 个以上的有理点, 则直线方程化简后的系数必皆为有理数, 这时直线上有无数多个有理点, 如果 3 -分划能使同一直线上的有理点至多属于分划的两个子集, 则问题获解.\n证明显然, 任一有理点均可惟一地写成 $\\left(\\frac{u}{w}, \\frac{v}{w}\\right)$ 的形式, 其中 $u 、 v 、 w$ 都是整数, $w>0$ 且 $(u, v, w)=1$.\n令\n$$\n\\begin{aligned}\n& A=\\left\\{\\left(\\frac{u}{w}, \\frac{v}{w}\\right) \\mid 2 \\nmid u\\right\\}, \\\\\n& B=\\left\\{\\left(\\frac{u}{w}, \\frac{v}{w}\\right)|2| u, 2 \\nmid v\\right\\}, \\\\\n& C=\\left\\{\\left(\\frac{u}{w}, \\frac{v}{w}\\right)|2| u, 2 \\mid v\\right\\} .\n\\end{aligned}\n$$\n让我们来验证这 3 个集合满足条件(i)和(ii).\n设平面上的直线方程为\n$$\na x+b y+c=0 .\n$$\n如果其上有两个不同的有理点 $\\left(x_1, y_1\\right)$ 和 $\\left(x_2, y_2\\right)$, 则有\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\na x_1+b y_1+c=0, \\\\\na x_2+b y_2+c=0 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n如果 $c=0$, 则可取 $a 、 b$ 为有理数.\n如果 $c \\neq 0$, 不妨设 $c=1$, 于是, 从上面的联立方程中可解得 $a$ 和 $b$ 的值, 当然都是有理数.\n再通分即知, 可以使 $a 、 b 、 c$ 都是整数且满足 $(a, b, c)=1$.\n设有理点 $\\left(\\frac{u}{w}, \\frac{v}{w}\\right)$ 在直线 $a x+b y+c=0$ 上, 于是, 有\n$$\nL: a u+b v+c w=0 .\n$$\n(1) 先证集合 $A 、 B 、 C$ 满足条件(ii). 分三种情形.\n(a) $2 \\nmid c$. 若 $2|u, 2| v$, 则由 (1) 知 $2 \\mid c w$, 从而 $2 \\mid w$, 此与 $(u, v, w)=$ 1 矛盾.\n所以,集合 $C$ 中的点都不能在直线 $L$ 上.\n(b) $2 \\mid c, 2 \\nmid b$. 若 $2 \\nmid v$, 则 $2 \\nmid a u$, 从而 $2 \\nmid u$. 因此, 集合 $B$ 中的点都不能在直线 $L$ 上.\n(c) $2|c, 2| b$. 由(1)得 $2 \\mid a u$. 又因 $(a, b, c)=1$, 故 $2 \\nmid a$. 所以 $2 \\mid u$. 这表明集合 $A$ 中的点都不在直线 $L$ 上.\n综上可知, $A 、 B 、 C$ 这 3 个集合满足条件(ii).\n(2) 再证满足条件 (i).\n设 $D$ 是以有理点 $\\left(\\frac{u_0}{w_0}, \\frac{w_0}{w_0}\\right)$ 为圆心, 以 $r$ 为半径的圆.\n取正整数 $k$, 使得\n$$\n2^k>\\max \\left\\{w_0, \\frac{1}{r}\\left(\\left|u_0\\right|+\\left|v_0\\right|+1\\right)\\right\\} .\n$$\n于是易验证, 下列 3 个有理点\n$$\n\\begin{gathered}\n\\left(\\frac{u_0 2^k+1}{w_0 2^k}, \\frac{v_0 2^k}{w_0 2^k}\\right) \\in A,\\left(\\frac{u_0 2^k}{w_0 2^k}, \\frac{v_0 2^k+1}{w_0 2^k}\\right) \\in B, \\\\\n\\left(\\frac{u_0 2^k}{w_0\\left(2^k+1\\right)}, \\frac{v_0 2^k}{w_0\\left(2^k+1\\right)}\\right) \\in C\n\\end{gathered}\n$$\n都在 $\\odot D$ 的内部.\n注意, 在上述 3 点中, $u_0 、 v_0 、 w_0$ 不一定互质.\n但由于 $2^k> w_0$, 故约分之后不改变分子的奇偶性.\n这表明条件(i)成立.\n最后,我们来看一个非常特殊的集合分划的例子.", |
