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"solution": "分析:不妨设有限集 $A=\\{1,2,3, \\cdots, n\\}$. 先来看一些简单情形:\n当 $n=1$ 时,显然可以排成: $\\varnothing,\\{1\\}$;\n当 $n=2$ 时,共有 $2^2=4$ 个子集,可排成: $\\varnothing,\\{1\\},\\{1,2\\},\\{2\\}$;\n当 $n=3$ 时,共有 $2^3=8$ 个子集,可排成: $\\varnothing,\\{1\\},\\{1,2\\},\\{2\\},\\{2,3\\},\\{1,2,3\\},\\{1,3\\},\\{3\\}$.\n显然符合条件的排序方式不是惟一的.\n请注意 $n=3$ 时的上述排法: 所有子集可分为两组, 前 4 个子集都不含元素 3 ; 后 4 个均含元素 3, 且去掉 3 后恰是前 4 个子集排列的逆序.\n事实上, $n=2$ 时也如此.\n这说明我们可以考虑用数学归纳法来证明.\n证明设有限集为 $M_n=\\left\\{w_1, w_2, \\cdots, w_n\\right\\}$, 我们对 $n$ 进行归纳.\n当 $n=1$ 时, $M_1=\\left\\{w_1\\right\\}$,将它的两个子集排列成 $\\varnothing,\\left\\{w_1\\right\\}$ 即可.\n假设当 $n=k$ 时,命题成立.\n当 $n=k+1$ 时,\n$$\nM_{k+1}=\\left\\{w_1, w_2, \\cdots, w_k, w_{k+1}\\right\\},\n$$\n它是由集合 $M_k=\\left\\{w_1, w_2, \\cdots, w_k\\right\\}$ 添加元素 $w_{k+1}$ 而形成的.\n$M_k$ 的子集个数为 $2^k$. 由归纳假设知, 可将 $M_k$ 的全体子集排成满足题设要求的一列, 不妨设\n$$\nA_1, A_2, A_3, \\cdots, A_{2^k}\\left(A_i \\subseteq M_k, i=1,2,3, \\cdots, 2^k\\right)\n$$\n就是这样的一个排列.\n我们来看排列\n$$\nA_1, A_2, A_3, \\cdots, A_{2^k}, A_{2^k} \\bigcup\\left\\{w_{k+1}\\right\\}, A_{2^k-1} \\bigcup\\left\\{w_{k+1}\\right\\}, \\cdots, A_1 \\bigcup\\left\\{w_{k+1}\\right\\},\n$$\n它恰好由 $M_{k+1}$ 的 $2^{k+1}$ 个不同子集排成, 且任意两个相邻集合的元素都仅相差 1 个.\n可见当 $n=k+1$ 时, 命题也成立.\n所以,对任意的 $n \\in \\mathbf{N}^*$, 所述命题成立.\n说明一个复杂的问题,也许一时找不到解题的突破口, 这时可考虑“以退求进”的策略.\n先解决一些简单的或特殊的情形, 从中发现规律和方法, 从而找到解决一般问题的办法.\n这也就是从特殊到一般的思维方法.", |
