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"solution": "解:先证明下面的引理:\n引理对 $n \\in \\mathbf{N}^*$, 集合 $X_1=\\{1,2, \\cdots, 2 n\\}$ 的全部二元子集可分成 $2 n-1$ 组, 且每组是 $X_1$ 的一个分划.\n引理的证明: 如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c5e6.png>),将 $1,2, \\cdots, 2 n-1$ 这 $2 n-1$ 个数按顺时针方向放到一个正 $2 n-1$ 边形的顶点上,数 $2 n$ 放在外接圆圆心.\n连结 $2 n$ 与 1 , 作 $n-1$ 条以 $2 n-1$ 边形顶点为端点且垂直于 1 与 $2 n$ 连线的线段,便得到 $X_1$ 的 $n$ 个二元子集构成 $X_1$ 的一个分划.\n将 $2 n$ 与 1 的连线依次顺时针旋转 $\\frac{2 \\pi}{2 n-1}, \\frac{4 \\pi}{2 n-1}, \\cdots, \\frac{(4 n-4) \\pi}{2 n-1}$, 作出相应的图及\n$X_1$ 的 $n$ 个二元子集.\n这样, $X_1$ 的全部 $\\mathrm{C}_{2 n}^2=n(2 n-1)$ 个二元子集被分成 $2 n-1$ 组, 且每组 $n$ 个集合构成 $X_1$ 的一个分划.\n下面来作满足题设的子集族:\n$$\n\\text { 令 } A=\\{1,2, \\cdots, 2 k\\}, B=\\{2 k+1,2 k+2, \\cdots, 4 k\\}, C=\\{4 k+1 ,4 k+2, \\cdots, 6 k\\}\n$$. \n由引理, $A$ 的全部二元子集可分成 $2 k-1$ 组, 每组是 $A$ 的一个分划.\n将其中一组重复一次, 得到 $A$ 的 $2 k$ 个分划, 让其中每个分划与 $B$ 的一个元素搭配作出 $k$ 个 $X$ 的三元子集.\n类似地,作出 $B$ 的 $2 k$ 个二元子集构成的分划, 包含 $B$ 的全部二元子集, 让其中每个分划与 $C$ 的一个元素搭配作出 $k$ 个 $X$ 的三元子集; 作出 $C$ 的 $2 k$ 个二元子集构成的分划, 包含 $C$ 的全部二元子集, 让其中每个分划与 $A$ 的一个元素搭配作出 $k$ 个 $X$ 的三元子集.\n上面得到的 $k \\times 2 k \\times 3=6 k^2$ 个 $X$ 的三元子集组成的族 $\\mathscr{A}$ 满足题设要求.\n说明 $X$ 的二元子集有 $\\mathrm{C}_{6 k}^2=3 k(6 k-1)=18 k^2-3 k$ 个.\n而所作的三元子集族中的每个集合 (子集族的元素) 都包含 3 个二元子集, 子集族共可生成二元子集 $3 \\times 6 k^2=18 k^2$ 个.\n这说明有 $3 k$ 个(次)二元子集在子集族中被重复生成.\n那么, 满足条件 (1) 的 $|\\mathcal{A}|$ 的最小值是 $6 k^2$ 吗?\n三、有关子集族的最值问题有关集合子集族的最值主要有三类:(1)求子集族阶的最值; (2) 求子集族中的集合阶的最值; (3) 求符合特定条件的集合元素的最值.", |
