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"problem": "例9. 设 $n$ 为正整数, 在数集\n$$\n\\{-n,-n+1,-n+2, \\cdots,-1,0,1, \\cdots, n-1, n\\}\n$$\n中最多选取多少个数, 可使任意三个数的和均不为 0 (三个数可以相同)?", |
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"solution": "分析:显然, 当选取的数的绝对值充分大时, 可使任意三个数的和均不为 0 .\n解设从题中数集中最多选取 $k$ 个数, 可使任意三个数的和均不为 0 . 考察子集\n$$\n\\left\\{-n, \\cdots,-\\left[\\frac{n}{2}\\right]-1,\\left[\\frac{n}{2}\\right]+1, \\cdots, n\\right\\},\n$$\n其中 $[x]$ 表示不超 $x$ 的最大整数.\n知当 $n$ 为偶数时, $k \\geqslant n$; 当 $n$ 为奇数时, $k \\geqslant n+1$.\n设 $A=\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_m\\right\\}, B=\\left\\{b_1, b_2, \\cdots, b_l\\right\\}$ 都是元素为整数的非空集合.\n定义集合\n$$\nA+B=\\{a+b \\mid a \\in A, b \\in B\\},\n$$\n可以证明 $A+B$ 至少有 $m+l-1$ 个元素.\n事实上, 不妨设 $a_1<a_2<\\cdots<a_n, b_1<b_2<\\cdots<b_l$, 则\n$$\na_1+b_1, a_1+b_2, \\cdots, a_1+b_l, a_2+b_l, \\cdots, a_m+b_l\n$$\n是一个有 $m+l-1$ 项的严格递增的数列, 其中每一个数都是集合 $A+B$ 的元素.\n假设 $S$ 是一个满足题设的子集.\n显然 $0 \\notin S$. 取\n$$\n\\begin{aligned}\n& A=S \\cap\\{-n,-n+1, \\cdots,-1\\}, \\\\\n& B=S \\cap\\{1,2, \\cdots, n\\} .\n\\end{aligned}\n$$\n于是, $A+B$ 和 $-S=\\{-s \\mid s \\in S\\}$ 是集合 $\\{-n,-n+1, \\cdots, n\\}$ 的两个不相交的子集.\n由前证知\n$$\n\\begin{aligned}\n2 n+1 & \\geqslant|A+B|+|-S| \\\\\n& \\geqslant|A|+|B|-1+|S| \\\\\n& =2|S|-1,\n\\end{aligned}\n$$\n即 $|S| \\leqslant n+1$.\n当 $n$ 为奇数时, 就证明了 $k=n+1$.\n当 $n$ 为偶数时, 还需要证明 $|S|=n+1$ 是不可能的.\n由于 $A+B \\subseteq\\{-n+1,-n+2, \\cdots, n-1\\}$, 若有\n$$\n|A+B|+|-S|=2 n+1 \\text {, }\n$$\n则必有 $-n, n \\in-S$, 即 $-n, n \\in S$. 于是\n$$\n\\{1, n-1\\}, \\cdots,\\left\\{\\frac{n}{2}-1, \\frac{n}{2}+1\\right\\},\\left\\{\\frac{n}{2}\\right\\}\n$$\n每个集合中至多有一个元素在 $B$ 中.\n因此,\n$$\n|B| \\leqslant \\frac{n}{2} .\n$$\n同理，\n$$\n|A| \\leqslant \\frac{n}{2} .\n$$\n由 $A 、 B$ 的定义, 知\n$$\n|S|=|A|+|B| \\leqslant n .\n$$\n与 $|S|=n+1$ 矛盾.\n因此,当 $n$ 为偶数时, $k=n$.", |
