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"solution": "分析:这里的“2009”并不是一个关键的数字, 与上例一样, 我们还是得围绕“无限”做文章.\n证明设 $a_1, a_2, \\cdots, a_{2008} \\in M$. 记\n$$\nA=a_1 a_2 \\cdots a_{2008}=\\frac{p}{q},(p, q)=1 .\n$$\n假设 $M$ 中包含了无数多个形如\n$$\n\\alpha_i=\\frac{p_i}{q_i},\\left(p_i, q_i\\right)=1, q_i>1\n$$\n的数, 且 $\\alpha_i \\neq a_1, a_2, \\cdots, a_{2008}$. 由于\n$$\n\\alpha_i \\cdot A=\\alpha_i a_1 a_2 \\cdots a_{2008}=\\frac{p_i}{q_i} \\cdot \\frac{p}{q}\n$$\n为整数, 所以\n$$\nq_i \\mid p .\n$$\n由于 $p$ 只有有限个因子, 故有无数个分母为 $q_i^{\\prime}$ 的既约分数属于 $M$. 这些分数中的任意 2009 个的乘积都不是整数.\n这与题设矛盾.\n这说明 $M$ 中包含了无限多个整数, 记这些整数的集合为 $M^{\\prime}$.\n假设有 $\\frac{a}{b} \\in M,(a, b)=1, b>1$.\n设 $p$ 为 $b$ 的一个质因子.\n由于 $\\frac{a}{b}$ 与 $M^{\\prime}$ 中任意 2008 个整数的乘积为整数, 故 $p$ 为 $M^{\\prime}$ 中无数多个整数的质因子.\n而 $M^{\\prime}$ 中任意 2009 个含有因数 $p$ 的数的乘积可被 $p^{2009}$ 整除.\n这又与题设矛盾.\n这就证明了 $M$ 的元素均为整数.\n而这样的整数集是存在的, 如全部质数的集合.", |
