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"problem": "例5. 三维空间中所有整点 (3 个坐标都为整数的点) 的集合记为 $T$. 两个整点 $(x, y, z)$ 和 $(u, v, w)$ 当且仅当 $|x-u|+|y-v|+|z-w|=1$ 时称为相邻.\n求证: 存在 $T$ 的一个子集 $S$, 使对每个 $P \\in T$, 点 $P$ 以及 $P$ 的所有邻点中恰有一点属于 $S$.", |
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"solution": "分析:设 $(u, v, w) \\in T$, 它的 6 个邻点分别为 $(u \\pm 1, v, w),(u, v \\pm 1$, $w),(u, v, w \\pm 1)$. 若函数 $f(x, y, z)$ 在以上 7 点的函数值为整数, 且除以 7 的余数都不相同,则原题获证.\n事实上, 取 $f=x+2 y+3 z$ 即可.\n证明显然, 两个整点相邻, 当且仅当两点的各 3 个坐标中的两对分别相等,而第 3 个坐标相差 1 .\n令 $\\quad S=\\{(x, y, z)\\mid \\, 7 | x+2 y+3 z\\}$,\n则 $S$ 满足题中要求.\n事实上, 对于任何 $(u, v, w) \\in T$, 它有 6 个邻点 $(u \\pm 1, v, w),(u, v \\pm 1, w),(u, v, w \\pm 1)$. 这 7 点所对应的 7 个整数\n$$\nu+2 v+3 w+j, j=-3,-2,-1,0,1,2,3\n$$\n中, 恰有一个是 7 的倍数, 从而相应的整点属于 $S$, 即 $S$ 满足题中要求.", |
