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"solution": "解:将 $\\{1,2, \\cdots, 50\\}$ 按照模 7 分成 7 类:\n$$\n\\begin{aligned}\n& K_1=\\{1,8,15,22,29,36,43,50\\}, \\\\\n& K_2=\\{2,9,16,23,30,37,44\\}, \\\\\n& K_3=\\{3,10,17,24,31,38,45\\}, \\\\\n& K_4=\\{4,11,18,25,32,39,46\\}, \\\\\n& K_5=\\{5,12,19,26,33,40,47\\}, \\\\\n& K_6=\\{6,13,20,27,34,41,48\\}, \\\\\n& K_0=\\{7,14,21,28,35,42,49\\} .\n\\end{aligned}\n$$\n下面证明 $S=K_1 \\cup K_2 \\cup K_3 \\cup\\{7\\}$ 为满足要求的元素最多的集合.\n首先, 对 $a, b \\in S, a \\neq b$, 有 3 种可能:\n(1) $a, b \\in K_i(1 \\leqslant i \\leqslant 3)$, 则\n$$\na+b \\equiv 2 i(\\bmod 7),\n$$\n有 $a+b$ 不能被 7 整除.\n(2) $a \\in K_i, b \\in K_j(1 \\leqslant i \\neq j \\leqslant 3)$, 则\n$$\na+b \\equiv i+j(\\bmod 7),\n$$\n有 $a+b$ 不能被 7 整除.\n(3) $a \\in K_i, b=7(1 \\leqslant i \\leqslant 3)$, 则\n$$\na+b=i(\\bmod 7) \\text {, }\n$$\n有 $a+b$ 不能被 7 整除.\n综上知, $S$ 中任两个元素之和不能被 7 整除.\n其次证明, 若给 $S$ 添加一个元素 $c$, 则必存在 $S$ 中的一个元素与 $c$ 之和, 能被 7 整除.\n添加的 $c$ 有 4 种可能:\n(1) $c \\in K_4$, 则 $c$ 与 $K_3$ 中的元素之和能被 7 整除.\n(2) $c \\in K_5$, 则 $c$ 与 $K_2$ 中的元素之和能被 7 整除.\n(3) $c \\in K_6$, 则 $c$ 与 $K_1$ 中的元素之和能被 7 整除.\n(4) $c \\in K_0$, 则 $c$ 与 7 之和能被 7 整除.\n综上知, $S$ 中的元素不能再增添.\n所以 $S$ 中元素数目的最大值为\n$$\n|S|=\\left|K_1\\right|+\\left|K_2\\right|+\\left|K_3\\right|+1=23 .\n$$\n说明这里首先按模 7 的剩余类对集合 $\\{1,2, \\cdots, 50\\}$ 的元素分类是自然的.\n后面的解答中又进行了两次分类, 但这两个分类的理由已经蕴涵在最初的分类之中了.", |
