processed_dataset/proof/0044.json

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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex",
    "problem_type": "proof",
    "problem": "例1. 已知 $S_1 、 S_2 、 S_3$ 为非空整数集合, 且对于 $1 、 2 、 3$ 的任意一个排列 $i 、 j 、 k$, 若 $x \\in S_i, y \\in S_j$, 则 $x-y \\in S_k$.\n(1) 证明: $S_1 、 S_2 、 S_3$ 三个集合中至少有两个相等.\n(2) 这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素?",
    "solution": "证明:(1)由已知,若 $x \\in S_i, y \\in S_j$, 则\n$$\ny-x \\in S_k,(y-x)-y=-x \\in S_i,\n$$\n所以每个集合中均有非负元素.\n当三个集合中的元素都为零时, 命题显然成立.\n否则, 设 $S_1 、 S_2 、 S_3$ 中的最小正元素为 $a$, 不妨设 $a \\in S_1$. 设 $b$ 为 $S_2 、 S_3$ 中最小的非负元素, 不妨设 $b \\in S_2$, 则 $b-a \\in S_3$.\n若 $b>0$, 则 $0 \\leqslant b-a<b$, 与 $b$ 的取法矛盾.\n所以 $b=0$.\n任取 $x \\in S_1$, 因 $0 \\in S_2$, 故 $x-0=x \\in S_3$, 所以 $S_1 \\subseteq S_3$. 同理 $S_3 \\subseteq S_1$. 故 $S_1=S_3$.\n(2) 可能.\n例如 $S_1=S_2=$\\{ 奇数 $\\} 、 S_3=\\{$ 偶数 $\\}$ 显然满足条件, 但 $S_1$ 和 $S_2$ 与 $S_3$ 都无公共元素.",
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    "figures": []
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