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"solution": "证明:记参加第 $j$ 场比赛的选手为 $\\left(a_j, b_j\\right)$, 并记\n$$\nS=\\left\\{\\left(a_j, b_j\\right) \\mid j=1,2, \\cdots, 14\\right\\} .\n$$\n设 $M$ 为 $S$ 的一个子集.\n如果 $M$ 中所含选手对中出现的选手互不相同, 则称 $M$ 为 $S$ 的一个“好”子集.\n显然, 这样的“好”子集只有有限个, 其中必有一个元素最多的, 设这个元素最多的“好”子集为 $M_0$, 它的元素个数为 $r$, 显然只需证明 $r \\geqslant 6$.\n如果 $r \\leqslant 5$, 由于 $M_0$ 是元素个数最多的“好” 子集, 所以在 $M_0$ 中未出现过的 $20-2r$ 名选手之间互相没有比赛, 否则与 $M_0$ 的最大性矛盾.\n这就意味着, 这 $20-2 r$ 名选手所参加的比赛一定是同前 $2 r$ 名选手进行的.\n由于每名选手至少参加一场比赛, 所以除了 $M_0$ 中的 $r$ 场比赛之外, 至少还要进行 $20-2 r$ 场比赛.\n因此, 总比赛场数至少为\n$$\nr+20-2 r=20-r \\geqslant 15,\n$$\n与总比赛场次为 14 场矛盾.\n于是 $r \\geqslant 6$. 问题得证.", |
