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| "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter8.tex", | |
| "problem_type": "proof", | |
| "problem": "例4. 已知 $x_1, x_2, \\cdots, x_n$ 是实数, $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \\cdots, b_n$ 均是正整数, 令\n$$\n\\begin{aligned}\n& a=\\frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\\cdots+a_n x_n}{a_1+a_2+\\cdots+a_n}, \\\\\n& b=\\frac{b_1 x_1+b_2 x_2+\\cdots+b_n x_n}{b_1+b_2+\\cdots+b_n} .\n\\end{aligned}\n$$\n求证: 在 $x_1, x_2, \\cdots, x_n$ 中必存在两个数 $x_i 、 x_j$, 使 $|a-b| \\leqslant \\mid a - x_i|\\leqslant| x_j-x_i \\mid$ 成立.", | |
| "solution": "分析:要证明存在 $x_i$ 使 $|a-b| \\leqslant\\left|a-x_i\\right|$ 成立, 自然要在 $\\left|a-x_1\\right|$, $\\left|a-x_2\\right|, \\cdots,\\left|a-x_n\\right|$ 中取最大者来做 $\\left|a-x_i\\right|$. 同样的, 对于存在 $x_i 、 x_j$ 使 $\\left|a-x_i\\right| \\leqslant\\left|x_j-x_i\\right|$ 的证明, $\\left|x_j-x_i\\right|$ 应取 $\\left|x_1-x_i\\right|,\\left|x_2-x_i\\right|, \\cdots, \\left|x_n-x_i\\right|$ 中最大者.\n证明\n$$\n\\begin{aligned}\n& |a-b| \\\\\n= & \\left|a-\\frac{b_1 x_1+b_2 x_2+\\cdots+b_n x_n}{b_1+b_2+\\cdots+b_n}\\right| \\\\\n= & \\frac{\\left|b_1\\left(a-x_1\\right)+b_2\\left(a-x_2\\right)+\\cdots+b_n\\left(a-x_n\\right)\\right|}{b_1+b_2+\\cdots+b_n} \\\\\n\\leqslant & \\frac{b_1\\left|a-x_1\\right|+b_2\\left|a-x_2\\right|+\\cdots+b_n\\left|a-x_n\\right|}{b_1+b_2+\\cdots+b_n} .\n\\end{aligned}\n$$\n在 $\\left|a-x_1\\right|,\\left|a-x_2\\right|, \\cdots,\\left|a-x_n\\right|$ 中必有一个最大者, 设为 $\\left|a-x_i\\right|$.\n则有\n$$\n\\begin{aligned}\n|a-b| & \\leqslant \\frac{b_1\\left|a-x_i\\right|+b_2\\left|a-x_i\\right|+\\cdots+b_n\\left|a-x_i\\right|}{b_1+b_2+\\cdots+b_n} \\\\\n& =\\frac{\\left(b_1+b_2+\\cdots+b_n\\right)\\left|a-x_i\\right|}{b_1+b_2+\\cdots+b_n} \\\\\n& =\\left|a-x_i\\right| .\n\\end{aligned}\n$$\n下面再计算 $\\left|a-x_i\\right|$.\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|a-x_i\\right| & =\\left|\\frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\\cdots+a_n x_n}{a_1+a_2+\\cdots+a_n}-x_i\\right| \\\\\n& =\\frac{\\left|a_1\\left(x_1-x_i\\right)+a_2\\left(x_2-x_i\\right)+\\cdots+a_n\\left(x_n-x_i\\right)\\right|}{a_1+a_2+\\cdots+a_n} \\\\\n& \\leqslant \\frac{a_1\\left|x_1-x_i\\right|+a_2\\left|x_2-x_i\\right|+\\cdots+a_n \\mid x_n-x_i \\mid}{a_1+a_2+\\cdots+a_n} .\n\\end{aligned}\n$$\n在 $\\left|x_1-x_i\\right|,\\left|x_2-x_i\\right|, \\cdots,\\left|x_n-x_i\\right|$ 中必有最大者, 设为 $\\left|x_j-x_i\\right|$.\n则\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|a-x_i\\right| & \\leqslant \\frac{a_1\\left|x_j-x_i\\right|+a_2\\left|x_j-x_i\\right|+\\cdots+a_n\\left|x_j-x_i\\right|}{a_1+a_2+\\cdots+a_n} \\\\\n& =\\frac{\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_n\\right)\\left|x_j-x_i\\right|}{a_1+a_2+\\cdots+a_n} \\\\\n& =\\left|x_j-x_i\\right| .\n\\end{aligned}\n$$\n于是, 存在 $x_i 、 x_j$, 使\n$$\n|a-b| \\leqslant\\left|a-x_i\\right| \\leqslant\\left|x_j-x_i\\right|\n$$\n成立.", | |
| "remark": "", | |
| "figures": [] | |
| } |