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"solution": "分析:假设结论不成立.\n不妨设其中三点 $A$ 、 $B 、 C$ 都在直线 $l$ 上, 且 $B$ 在 $A 、 C$ 之间, $D$ 为 $l$ 外一点, 如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c8e7-1.png>),作 $D P_1 \\perp A C$. 不妨设 $A 、 B$ 在 $P_1$ 的同侧, 再作 $B P_2 \\perp A D$. 易知 $D P_1>B P_2$. 如直线 $A D$ 上还有第三点 $E$, 不妨设 $D 、 E$ 在 $P_2$ 的同侧, 且 $D P_2>E P_2$, 作 $E P_3 \\perp B D$, 则 $B P_2> E P_3$. 由假设,这个过程可以无限地进行下去, 而且每次得到的 “点到直线的距离” 都比前一次小.\n另一方面, 过 $n$ 个点的每两点作一条直线 (可能有三点共线), 然后由 $n$ 个点中每一点作到这些直线的距离, 显然这样的距离只有有限个.\n于是出现矛盾.\n至此, 我们实际上已找到了本例的一种证明方法.\n下面我们用最小数原理来改写上面的过程.\n证明由 $n$ 个点中每两点作一条直线 (可能出现三点共线), 考虑 $n$ 个点中每一点到这些直线的距离所成之集, 这样的距离只有有限个, 其中必有一个最小者.\n不妨设点 $P$ 到直线 $l$ 的距离最短.\n下面证明: $l$ 上仅有已知点中的两个点.\n若 $l$ 上有已知 $n$ 个点中的三个点, 过点 $P$ 作 $P F \\perp l$ 于 $F$, 则必有两点在点 $F$ 的同侧,如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c8e7-2.png>),设点 $X$ 、 点 $Y$ 在点 $F$ 的同侧 (如图 8-2), 且 $Y F>X F$. 设过点 $P$ 与点 $Y$ 的直线为 $m$, 这时点 $X$ 到 $m$ 的距离 $X Z$ 小于点 $P$ 到 $l$ 的距离 $P F$, 与假设 $P F$ 最小矛盾.\n所以, 直线 $l$ 上仅有已知点中的两个点.\n$l$ 即为所求.", |
