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Überblick

- Das Thema der heutigen Veranstaltung ist der Übergang von der
  Betrachtung eines individuellens Investors / einer Investorin zu einem
  Marktgleichgewicht.

- Dazu werden wir das Capital Asset Pricing Model (CAPM) vorstellen.

- Ebenfalls beschäftigen wir uns mit effizienten Kapitalmärkten und der
  Effizienzmarkthypothese.

- Dann werden wir sog. Kapitalmarktanomalien diskutieren und die Grenzen
  der Arbitrage kennenlernen.

Capital Asset Pricing Model

CAPM

Erste Annahmen des CAPM

- Homogene Erwartungen: alle Investoren ermitteln die gleichen
  risiko-effizienten PFs, d.h. die gleichen Risikoeffizienzlinien.

- Unterschiedliche Nutzenfunktionen/Präferenzfunktionen: die Investoren
  wählen trotz homogener Erwartungen unterschiedliche Portfolios.

- Bei Existenz der risikolosen Geldanlage/Verschuldung: Alle Investoren
  halten das gleich strukturierte riskante Portfolio. Sie kombinieren es
  jedoch in Abhängigkeit ihrer Risikoaversion in unterschiedlichem
  Ausmaß mit dem risikolosen Wertpapier. Risiko und Ertrag sämtlicher
  Kombinationen stehen dabei in linearem Zusammenhang.

- Der Markt befindet sich im Gleichgewicht: Angebot = Nachfrage.

Von der Portfoliotheorie zum CAPM

- Ausgangspunkt ist unser Portfolio-Modell mit n risikobehafteten
  Vermögenswerten und einen risikolosen Vermögenswert r₀.

- Bitte beachten Sie: Die Annahme eines risikolosen Vermögenswerts ist
  eine Modellvereinfachung (normalerweise gibt es auf dem Markt eine
  Zinsstruktur; siehe dazu später mehr, Vorlesung 6).

- Der risikofreie Zinssatz stellt keine Grenze für die Investition oder
  Kreditaufnahme dar. Die Entscheidungen der Anleger beruhen lediglich
  auf der erwarteten Rendite und der Varianz.

- 0 ≤ a < ∞ sei der Anteil des verfügbaren Geldes, der in ein Portfolio
  P ∈ M investiert wird, und −∞ < 1 − a ≤ 1 der Anteil der risikofreien
  Anlage.

- Die Gesamtrendite des Portfolios wird wie folgt berechnet:
  R = a R_(P) + (1 − a) r₀.

- Bestehend aus einem Portfolio von risikobehafteten Vermögenswerten P
  und einem risikolosen Vermögenswert r₀, gilt für das Gesamtportfolio:
  μ = a μ_(P) + (1 − a) r₀ = r₀ + a (μ_(P) − r₀) und σ² = a²σ_(P)².

- $a=\frac{\sigma}{\sigma_P}$ führt zu
  $$\mu=r_0+\frac{\mu_P-r_0}{\sigma_P}\ \sigma$$

- Wir gehen davon aus, dass das Portfolio P konstant ist und variieren
  nur den Anteil a am Gesamtportfolio (inkl. risikoloser Anlage).

- Wir erhalten alle möglichen (μ; σ)-Kombinationen als eine bei r₀
  beginnende Linie mit einer Steigung von $\frac{\mu_P-r_0}{\sigma_P}$.

Sharpe-Ratio Der Ausdruck
$$SR_P=\frac{\mu_P-r_0}{\sigma_P}$$
wird als Sharpe-Ratio des Portfolios R_(P) bezeichnet.

Sharpe-Ratio

- Die Sharpe-Ratio kann auch als risikoadjustiertes Performancemaß für
  jeden Vermögenswert verwendet werden.

- In der obigen Gleichung wird die Sharpe-Ratio des Vermögenswertes i
  dem risikofreien Zinssatz gegenübergestellt. Anstelle von r₀ ist auch
  eine Benchmark R_(B) möglich.

- In diesem Fall sprechen wir von einer so genannten verallgemeinerten
  Sharpe-Ratio, die auch als Informationsverhältnis bekannt ist:
  $$SR(R_i)=\frac{\mbox{E}(R_i-R_B)}{\sigma(R_i-R_B)}=IR(R_i-R_B)$$

Von der Portfoliotheorie zum CAPM

Risikolose Verzinsung und risikobehaftetes Portfolio

[image]

Quelle: Albrecht/Maurer (2008)

Möglichkeiten im Rahmen risikofreier und risikobehafteter Vermögenswerte

[image]

Quelle: Albrecht/Maurer (2008)

Effizienter Rand / Tangentialportfolio

[image]

Quelle: Albrecht/Maurer (2008)

- Das Portfolio T wird als Tangentialportfolio bezeichnet.

- Wir erinnern uns: Es ist für alle(!) Investoren (unabhängig von den
  Präferenzen) optimal, einen Punkt auf der Effizienzlinie zu wählen.

- Der Anteil des risikolosen Vermögenswerts am Gesamtportfolio ist der
  einzige Unterschied zwischen den einzelnen optimalen Portfolios.

- Die Zusammensetzung des risikobehafteten Anteils im Gesamtportfolio
  ist für alle Investoren identisch.

- Das Tangentialportfolio hat die höchste Sharpe-Ratio.

Tobin-Separation Die Aufteilung im optimalen Gesamtportfolio zwischen
einem risikofreien Vermögenswert und einem für alle Anleger identischen
risikoreichen Portfolio wird als Zwei-Fonds-Theorem bezeichnet. Die
Trennung zwischen der Zusammensetzung des risikobehafteten Portfolios
und der Risikoeinstellung des Anlegers ist als Tobin-Separation bekannt.

Das Capital Asset Pricing Modell

- Schließlich wollen wir das Capital Asset Pricing Modell vorstellen.

- Das Gleichgewichtsmodell liefert risikobereinigte Vermögenspreise.
  Zunächst werfen wir einen Blick auf die Modellannahmen:

  - Ein gegebener Markt umfasst n risikobehaftete Vermögenswerte sowie
    einen risikofreien Zinssatz r₀.

  - Auf dem Markt sind m Investoren mit individuellen Kapitalbudgets von
    V_(i) aktiv. Das gesamte Marktvolumen ist folglich
    $V=\sum_{i=1}^mV_i$.

  - Alle Anleger haben homogene Erwartungen in Bezug auf
    r₀, E(R_(i)), var (R_(i)), cov (R_(i); R_(j)).

  - Der Markt befindet sich im Gleichgewicht.

  - Jeder Anleger hält ein effizientes Portfolio P_(i) als Kombination
    aus dem Tangentialportfolio T (mit einem Anteil von λ_(i)) und dem
    risikolosen Vermögenswert.

  - Die Marktportfolio-Nachfrage ist gegeben als:
    $$\left(\sum_{i=1}^m\lambda_iV_i\right)x_T$$
    mit x_(T) = (x_(T1), …, x_(Tn)).

  - Auf der anderen Seite umfasst das Marktportfolioangebot alle
    verfügbaren risikobehafteten Vermögenswerte des Marktes. Jeder
    einzelne Vermögenswert hat einen relativen Anteil P_(i)/P am
    Gesamtwert $P=\sum_{i=1}^nP_i$ des Marktportfolios M. Der zugehörige
    Investitionsvektor x_(M) = (x_(M1), …, x_(Mn)) ist gegeben durch:
    $$x_M=\left(\frac{P_1}{P},\ldots,\frac{P_n}{P}\right).$$

- Da das Marktportfolioangebot eindeutig gegeben ist, ergibt sich das
  Gleichgewicht wie folgt:
  $$\left(\sum_{i=1}^m\lambda_iV_i\right)x_T=Px_M.$$

- x_(T) und x_(M) sind Investitionsvektoren.

- Folglich müssen x_(T) und x_(M) gleich sein und $P=\sum_{i=1}^m V_i$.

- Im Marktgleichgewicht gilt T = M. Das Tangentialportfolio ist gleich
  dem Marktportfolio.

- Wir wollen nun einige Schlussfolgerungen aus dieser Anmerkung ziehen:

- Die Menge der optimalen Portfolios ist wie folgt gegeben:
  $$\mbox{E}(R)=r_0+\frac{\mbox{E}(R_M)-r_0}{\sigma(R_M)}\sigma(R)=r_0+SR_M\sigma(R).$$

- Die resultierende Linie im μ − σ-Rahmen wird als Kapitalmarktlinie
  bezeichnet.

- Das Marktportfolio hat die höchste Sharpe-Ratio.

- Für einen Anleger optimale Portfolios duplizieren das Marktportfolio
  mit seinem risikoreichen Teil.

- In der Praxis sprechen wir von passiver
  Portfolioverwaltung/Indexierung.

- Darüber hinaus ist die erwartete Rendite für jedes Portfolio gegeben
  als:
  $$\mbox{E}(R)=r_0+\frac{\mathop{\mathrm{cov}}(R,R_M)}{\mathop{\mathrm{var}}(R_M)}\left[\mbox{E}(R_M)-r_0\right]=r_0+\beta_R\left[\mbox{E}(R_M)-r_0\right]$$

- Die sich daraus ergebende Linie wird als Wertpapiermarktlinie
  bezeichnet.

- Wertpapiermarktlininie: Trade-off zwischen erwarteter Rendite und
  Risiko

width=1,center

  ----------- --- ----------------------- --- --------------------------------- --- -----------------------------
  μ_(j)        =  r₀                       +  $\frac{\mu_M-r_0}{\sigma ^2_M}$    ⋅  cov [r̃_(j); r̃_(M)]

  erwartete    =  risikolose Verzinsung    +  Marktpreis des Risikos             ⋅  relevantes Wertpapierrisiko
  Rendite                                                                           

               =  risikolose               +  Risikozuschlag                        
                  Verzinsung                                                        
  ----------- --- ----------------------- --- --------------------------------- --- -----------------------------

- cov [r̃_(j), r_(M)] = δ_(j; M) ⋅ σ_(j) ⋅ σ_(M)

- Risikozuschlag: nicht diversifizierbares systematisches Risiko des
  betrachteten Titels bzw. PFs.

- Substitution:
  $\beta_j:=\frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde r_j,\tilde r_M]}{\sigma ^2_M}$.

- Daraus folgt: Wertpapiermarktlinie: μ_(j) = r₀ + β_(j)(μ_(M) − r₀)

- Kapitalmarktlinie: Die Kapitalmarktlinie gibt an, wie bei der Wahl
  effizienter PFs die erwartete Rendite mit dem durch die
  Standardabweichung gemessenen Risiko steigt.

Kapitalmarktlinie

[image]

Quelle: Albrecht/Maurer (2008)

Wertpapierlinie

[image]

Quelle: Albrecht/Maurer (2008)

- Beta misst die Empfindlichkeit der einzelnen Renditen gegenüber
  Veränderungen der Marktrendite.

- Wir erhalten die folgende Formel
  E(R) − r₀ = β_(R)[E(R_(M)) − r₀]

- Unter der Annahme eines Marktgleichgewichts entspricht die
  Überschussrendite von Portfolios oder einzelnen Vermögenswerten der
  beta-gewichteten Rendite des Marktes.

- Mit $\frac{\mbox{E}(R_M)-r_0}{\sigma(R_M)}$ als Marktpreis des Risikos
  kann die Gleichung wie folgt verstanden werden: erwartete Rendite =
  risikofreier Satz + Marktpreis des Risikos ⋅ systematisches Risiko.

- Das CAPM kann die Portfoliopreise im Rahmen des Marktgleichgewichts
  bei t = 0 bestimmen.
  $$P=\frac{\mbox{E}(V)}{1+r_0+\beta_R\left[\mbox{E}(R_M)-r_0\right]}$$

- Der Portfoliopreis entspricht dem erwarteten Cashflow V, abgezinst mit
  dem risikofreien Zinssatz r₀ und angepasst mit einer Risikoprämie.

Index-Modelle

Index-Modelle

- Unter Berücksichtigung der in der letzten Vorlesung diskutierten
  Einschränkungen wird die Markowitz-Optimierung in der Praxis nur für
  das Verfahren der Asset Allocation verwendet. Dies bedeutet die
  Aufteilung des Anlagevolumens in verschiedene Arten von Anlageklassen.

- Die Auswahl von Einzeltiteln erfolgt häufig auf der Grundlage von
  Faktormodellen.

- Das bekannteste Modell für die Wertpapierauswahl ist das Capital Asset
  Pricing Model.

- Das Fama-French-Modell ist ein weiteres berühmtes Faktor-Modell.

- Seien R_(i) und R_(M) die Renditen des i-ten Einzeltitels bzw.
  Marktindexes.

Indexmodell/Faktormodell
R_(i) = α_(i) + β_(i)R_(M) + ε_(i), i = 1, …, n.

- Achtung: Im Rahmen des CAPM wird das Indexportfolio durch das
  Marktportfolio gegeben und nicht durch einen Index approximiert.

- Dieses einfache Ein-Faktor-Modell basiert auf den folgenden Annahmen:

  1.  E(ε_(i)) = 0; var (ε_(i)) = σ_(i)²

  2.  cov (ε_(i); R_(i)) = 0.

- Die Annahmen führen zu:
  cov (R_(i), R_(M)) = b_(i)var (R_(M))
  oder
  $$b_i=\frac{\mathop{\mathrm{cov}}(R_i,R_{M})}{\mathop{\mathrm{var}}(R_{M})}.$$

Beta Der Parameter b_(i) ist definiert als Betafaktor des
Vermögenswertes i in Bezug auf das gewählte Indexportfolio.

- Beachten Sie:
  E(R_(i)) = a_(i) + b_(i)E(R_(M))
  oder
  a_(i) = E(R_(i)) − b_(i)E(R_(M)).

  Alpha Der Parameter a_(i) bezeichnet den Alpha-Faktor des
  Vermögenswertes i.

- Außerdem
  $$\sigma(R_{MI})=\sum_{i=1}^nc_i\rho(R_i;R_{M})\sigma(R_i).$$
  mit c_(i) als Indexgewichten in $R_{MI}=\sum_{i=1}^nc_iR_i$.

- Die Volatilität des einzelnen Vermögenswerts beeinflusst nur einen
  kleinen Teil der Volatilität des Marktindex.

- Wir unterteilen die Volatilität des einzelnen Vermögenswerts in zwei
  Teile:
  σ(R_(i)) = ρ(R_(i); R_(M))σ(R_(i)) + [1 − ρ(R_(i); R_(M))]σ(R_(i))

Systematisches vs. unsystematisches Risiko Der erste (zweite) Term in
der obigen Gleichung für σ(R_(i)) wird als systematisches
(unsystematisches) Risiko der einzelnen Vermögenswerte bezeichnet.

- Die Volatilitätsgleichung zeigt, dass nur das systematische Risiko
  einzelner Vermögenswerte in der Volatilität des Marktindex enthalten
  ist.

- Das unsystematische Risiko verschwindet durch eine diversifizierte
  Indexbildung.

- Für beta:
  $$b_i=\frac{\rho(R_i;R_{M})\sigma(R_i)}{\sigma(R_{M})}=\frac{\mbox{Syst. Risiko von Anlage i}}{\mbox{Marktrisiko}}$$

- Alle Parameter des vorgestellten Indexmodells können mit empirischen
  Daten geschätzt werden.

- Unter der Annahme der Homoskedastizität der Fehlerterme wird eine
  Kleinste-Quadrate-Schätzung durchgeführt.

- Sowohl Alpha- als auch Beta-Faktoren sind geschätzte Koeffizienten der
  Regressionsgleichung.

- Die Renditen des Marktindexportfolios sind geeignete Eingangsdaten.

- Empirische Tests zeigen, dass weder die Annahmen noch die lineare
  Struktur des Modells in der Renditegleichung R_(i) erfüllt sind.

Empirische Schätzung des Beta-Faktors

[image]

Quelle: Albrecht/Maurer (2008)

Zwischenfazit

- Soweit haben wir uns mit einem bekannten
  Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, dem Capital Asset Pricing Model
  (CAPM), beschäftigt.

- Im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen wir uns mit empirischen
  Tests für das CAPM und mit Kapitalmarktanomalien.

- Zunächst beschäftigen wir uns aber mit effizienten Kapitalmärkten und
  der Effizienzmarkthypothese.

- Zuletzt schauen wir auf die Grenzen der Arbitrage.

Die Effizienzmarkthypothese

Die Effizienzmarkthypothese

Was ist ein effizienter Markt?

- Ein effizienter Kapitalmarkt ist ein Markt, auf dem die Aktienkurse
  die verfügbaren Informationen vollständig widerspiegeln.

- Fama, 1970, Effizienzmarkthypothese (EMH): Der Marktpreis spiegelt zu
  jedem Zeitpunkt sofort alle am Markt verfügbaren Informationen wider.

- Eine schwächere und ökonomisch sinnvollere Version der
  Effizienzhypothese stammt von Jensen (1978):
  Die Preise spiegeln Informationen bis zu dem Punkt wider, an dem der
  Grenznutzen des Handelns aufgrund von Informationen (die zu
  erzielenden Gewinne) die Grenzkosten nicht übersteigt.

- Wir unterscheiden drei Formen der Markteffizienz:

  - Schwache Form: Preise und Renditen der Vergangenheit.

  - Mittelstarke Form: alle öffentlichen Informationen.

  - Starke Form: alle öffentlichen UND privaten Informationen.

- Zu den Folgen der Effizienzmarkthypothese gehören:

  - Anleger sind nicht in der Lage, den Markt dauerhaft zu schlagen: Da
    sich die Informationen sofort in den Preisen niederschlagen, sollten
    die Anleger nur eine normale Rendite erwarten. Die Kenntnis von
    Informationen zum Zeitpunkt ihrer Veröffentlichung nützt einem
    Anleger nichts. Der Preis passt sich an, bevor der Anleger Zeit hat,
    darauf zu reagieren.

  - Unternehmen sollten erwarten, dass sie für die von ihnen verkauften
    Wertpapiere einen fairen Wert erhalten. Fair bedeutet, dass der
    Preis, den sie für die Ausgabe von Wertpapieren erhalten, dem
    aktuellen Wert entspricht. Wertvolle Finanzierungsmöglichkeiten, die
    sich aus der Täuschung von Anlegern ergeben, sind daher auf
    effizienten Märkten nicht verfügbar.

- Die Abbildung zeigt mögliche Anpassungen von Aktienkursen.

[image]

- Die durchgezogene Linie stellt den Weg dar, den das Wertpapier auf
  einem effizienten Markt nimmt.

- In diesem Fall wird der Preis sofort an die neuen Informationen
  angepasst, ohne dass es zu weiteren Preisänderungen kommt.

- Die gepunktete Linie stellt eine langsame Reaktion dar.

- Hier braucht der Markt 30 Tage, um die Informationen vollständig
  aufzunehmen.

- Die gestrichelte Linie schließlich veranschaulicht eine überreaktion
  und eine anschließende Korrektur zurück auf den wahren Preis.

- Die gestrichelte Linie und die gepunktete Linie zeigen den Weg, den
  der Aktienkurs auf einem ineffizienten Markt nehmen könnte.

- Wenn der Aktienkurs mehrere Tage braucht, um sich anzupassen, können
  Anleger, die ihre Käufe und Verkäufe zum richtigen Zeitpunkt tätigen,
  Handelsgewinne erzielen.

Grundlagen der Effizienz

- Die obige Abbildung zeigt die Folgen der Markteffizienz.

- Aber was sind die Bedingungen, die Markteffizienz bewirken?

- Andrei Shleifer argumentiert, dass es drei Bedingungen gibt, von denen
  jede einzelne zu Effizienz führt :

  - Rationalität oder homogene Erwartungen über zukünftige Aktienkurse.

  - Zufällige und unabhängige Abweichungen von der Rationalität:
    Verzerrungen, die auf unzureichende Informationen oder irrationales
    Verhalten zurückzuführen sind, sind unkorreliert und werden sich im
    Durchschnitt ausgleichen.

  - Arbitrage: Auch wenn es einige nicht-rationale Akteure auf den
    Märkten gibt, werden rationale Akteure durch einen Arbitrageprozess
    (Kauf und Verkauf eines Vermögenswerts, um von einer Preisdifferenz
    zu profitieren) verhindern, dass diese die Preise (langfristig)
    beeinflussen können.

- Rationalität

  - Nehmen wir an, dass alle Investoren rational sind.

  - Wenn neue Informationen auf dem Markt veröffentlicht werden, werden
    alle Anleger ihre Schätzungen der Aktienkurse auf rationale Weise
    anpassen.

  - Natürlich kann es Zeiten geben, in denen sich die Marktteilnehmer
    nicht vollkommen rational verhalten.

  - Daher ist es vielleicht zu viel verlangt, dass sich alle Anleger
    rational verhalten.

  - Der Markt ist aber immer noch effizient, wenn das folgende Szenario
    zutrifft.

- Zufällige und unabhängige Abweichungen von der Rationalität

  - Die Anleger reagieren möglicherweise nicht rational auf die
    Veröffentlichung neuer Informationen.

  - Sie könnten auf eine irrational pessimistische oder irrational
    optimistische Weise reagieren.

  - Nehmen wir aber an, dass etwa gleich viele Personen irrational
    optimistisch wie irrational pessimistisch sind.

  - Die Preise würden wahrscheinlich in einer Weise steigen, die mit der
    Markteffizienz vereinbar ist, auch wenn die meisten Anleger als
    nicht völlig rational eingestuft würden.

  - Die Markteffizienz setzt also keine rationalen Individuen voraus,
    sondern nur gegenläufige Irrationalitäten.

  - Diese Annahme, dass sich Irrationalitäten zu allen Zeiten
    ausgleichen, ist jedoch möglicherweise unrealistisch.

  - Aber auch hier gibt es eine Annahme, die zu Effizienz führen wird.

- Arbitrage

  - Stellen Sie sich eine Welt vor, in der es zwei Arten von Menschen
    gibt: Den irrationalen Amateur und den rationalen Profi.

  - Die Amateure lassen sich von ihren Emotionen leiten, und wenn sich
    die Leidenschaften der verschiedenen Amateure nicht gegenseitig
    aufheben, tendieren sie dazu, die Aktien entweder über oder unter
    ihrem effizienten Preis zu verkaufen.

  - Profis auf der anderen Seite gehen methodisch und rational an die
    Sache heran: Wenn eine Aktie unterbewertet ist, würden sie sie
    kaufen. Wenn sie überbewertet ist, würden sie sie verkaufen.

  - Während ein Laie vielleicht nur eine kleine Summe riskiert, können
    diese Profis große Summen riskieren, wohl wissend, dass das
    Wertpapier falsch bewertet ist.

  - Arbitrage erzielt Gewinne aus dem gleichzeitigen Kauf und Verkauf
    von unterschiedlichen, aber substituierbaren Wertpapieren.

  - Wenn die Arbitrage der Profis die Spekulation der Amateure
    dominiert, wären die Märkte immer noch effizient.

Die verschiedenen Arten der Effizienz

- In der vorherigen Diskussion haben wir angenommen, dass der Markt
  sofort auf alle verfügbaren Informationen reagiert.

- In der Realität können sich bestimmte Informationen schneller auf die
  Aktienkurse auswirken als andere Informationen.

- Um mit unterschiedlichen Antwortquoten umzugehen, trennen die Forscher
  die Informationen in verschiedene Typen.

- Das gebräuchlichste Klassifizierungssystem sieht drei Arten vor:

  - Informationen über frühere Preise

  - Öffentlich zugängliche Informationen

  - Alle Informationen

- Die schwache Form

  - Ein Kapitalmarkt gilt als schwach effizient oder erfüllt die
    schwache Effizienzform, wenn er die Informationen über die
    Aktienkurse der Vergangenheit vollständig berücksichtigt.

  - Häufig wird die Effizienz der schwachen Form mathematisch wie folgt
    dargestellt:
    $$\begin{aligned}
    P_t=P_{t-1}+\text{Erwartete Rendite}+\text{Zuf{\"a}lliger Fehler}_t
    \end{aligned}$$

  - Diese Gleichung besagt, dass der heutige Kurs gleich der Summe aus
    dem zuletzt beobachteten Kurs plus der erwarteten Rendite des
    Eigenkapitals plus einer Zufallskomponente ist, die während des
    Intervalls auftritt.

  - Die erwartete Rendite ist eine Funktion des Risikos eines
    Wertpapiers und beruht auf den Risiko- und Renditemodellen der
    vorangegangenen Vorlesungen.

  - Die Zufallskomponente ist auf neue Informationen über das
    Unternehmen zurückzuführen. Sie kann positiv oder negativ sein und
    hat einen Erwartungswert von Null.

  - Die Zufallskomponente in einer beliebigen Periode steht in keinem
    Zusammenhang mit der Zufallskomponente in einer vergangenen Periode.

  - Wenn die Aktienkurse der obigen Gleichung folgen, spricht man von
    einem random walk.

  - Die schwache Form der Effizienz ist so ziemlich die schwächste Form
    der Effizienz, die man von einem Finanzmarkt erwarten würde, da
    historische Preisinformationen die am einfachsten zu beschaffenden
    Informationen über das Eigenkapital eines Unternehmens sind.

  - Wenn es möglich wäre, außergewöhnliche Gewinne zu erzielen, indem
    man einfach nur Muster in den Aktienkursen findet, würde das jeder
    tun, und alle Gewinne würden in dem Gedränge verschwinden.

  - Die folgende Abbildung zeigt diese Auswirkungen des Wettbewerbs:

  [image]

- Die mittelstarken und starken Formen

  - Ein Markt ist mittelstark effizient, wenn die Preise alle öffentlich
    zugänglichen Informationen widerspiegeln (einbeziehen),
    einschließlich Informationen wie z. B. veröffentlichte
    Rechnungsabschlüsse für das Unternehmen sowie historische
    Preisinformationen.

  - Ein Markt ist stark effizient, wenn die Preise alle Informationen,
    ob öffentlich oder privat, widerspiegeln.

  - Die Informationsmenge der vergangenen Preise ist eine Teilmenge der
    Informationsmenge der öffentlich verfügbaren Informationen, die
    wiederum eine Teilmenge aller Informationen ist.

  - Daher impliziert eine starke Form der Effizienz eine mittelstarke
    Form der Effizienz, und eine mittelstarke Form der Effizienz
    impliziert eine schwache Form der Effizienz.

  - Der Unterschied zwischen der mittelstarken Effizienzform und der
    schwachen Effizienzform besteht darin, dass die mittelstarke
    Effizienzform nicht nur voraussetzt, dass der Markt mit den
    historischen Preisinformationen effizient arbeitet, sondern dass
    sich alle der öffentlichkeit zur Verfügung stehenden Informationen
    in den Preisen widerspiegeln.

  [image]

  - Am äußersten Ende des Spektrums steht die hohe Form der
    Markteffizienz.

  - Diese Form besagt, dass jede Information, die für den Wert des
    Wertpapiers relevant ist und mindestens einem Anleger bekannt ist,
    auch tatsächlich vollständig in den Aktienkurs einfließt.

  - Ein strenggläubiger Anhänger der strengen Effizienzform würde
    bestreiten, dass ein Insider, der weiß, ob ein Unternehmen im
    Bergbau auf Gold gestoßen ist, von dieser Information profitieren
    könnte.

  - Sie würde argumentieren, dass die Information eingepreist wird,
    sobald das Gold entdeckt wird.

Markteffizienz: die Evidenz

- Ein Grund für die Annahme, dass die Märkte eine schwache Effizienzform
  aufweisen, liegt darin, dass es so billig und einfach ist, Muster in
  den Aktienkursen zu finden.

- Jeder, der einen Computer programmieren kann und ein wenig Ahnung von
  Statistik hat, kann nach solchen Mustern suchen.

- Es liegt auf der Hand, dass, wenn es solche Muster gäbe, die Menschen
  sie finden und ausnutzen würden, so dass sie verschwinden würden.

- Die mittelstarke Effizienzform impliziert jedoch erfahrenere Anleger
  als die schwache Effizienzform.

- Ein Investor muss sich in den Bereichen Buchhaltung, Finanzen und
  Statistik auskennen und die Eigenheiten der einzelnen Branchen und
  Unternehmen kennen.

- Was die Effizienz der starken Form betrifft, so ist sie nur weiter
  entfernt als die Effizienz der mittelstarken Form.

- Es ist schwer vorstellbar, dass der Markt so effizient ist, dass
  jemand mit wertvollen Insiderinformationen nicht davon profitieren
  kann.

- Die schwache Form

  - Schwache Effizienzform bedeutet, dass die Preisbewegung eines
    Wertpapiers in der Vergangenheit nicht mit seiner Preisbewegung in
    der Zukunft zusammenhängt.

  - Die schwache Form der Effizienzmarkthypothese ist auf vielfältige
    Weise getestet worden.

  - In diesem Zusammenhang sprechen Finanzökonomen häufig von serieller
    Korrelation, die nur ein Wertpapier betrifft.

  - Dies ist die Korrelation zwischen der aktuellen Rendite eines
    Wertpapiers und der Rendite desselben Wertpapiers in einem späteren
    Zeitraum.

  - Ein positiver Koeffizient der seriellen Korrelation für eine
    bestimmte Aktie deutet auf eine Tendenz zur Fortschreibung hin.

  - Ein negativer Koeffizient der seriellen Korrelation weist auf eine
    Tendenz zur Umkehrung hin.

  - Sowohl signifikant positive als auch signifikant negative serielle
    Korrelationskoeffizienten sind Anzeichen für Marktineffizienzen; in
    beiden Fällen können die heutigen Renditen zur Vorhersage künftiger
    Renditen verwendet werden.

  - Serielle Korrelationskoeffizienten für Aktienkursrenditen nahe Null
    würden auf eine schwache Effizienzform hindeuten.

  - Die folgende Tabelle zeigt die serielle Korrelation für tägliche
    Aktienkursänderungen bei acht großen britischen Unternehmen.

[image]

- Diese Koeffizienten zeigen an, ob es Beziehungen zwischen der
  gestrigen und der heutigen Rendite gibt.

- Wie man sieht, sind die Korrelationskoeffizienten überwiegend negativ,
  was bedeutet, dass eine überdurchschnittliche Rendite heute eine
  unterdurchschnittliche Rendite morgen etwas wahrscheinlicher macht.

- Umgekehrt ist der Koeffizient von Imperial Tobacco leicht positiv, was
  bedeutet, dass eine überdurchschnittliche Rendite heute eine
  überdurchschnittliche Rendite morgen etwas wahrscheinlicher macht.

- Da die Korrelationskoeffizienten jedoch prinzipiell zwischen −1 und +1
  variieren können, sind die angegebenen Koeffizienten recht klein.

- Tatsächlich sind die Koeffizienten sowohl im Verhältnis zu den
  Schätzfehlern als auch zu den Transaktionskosten so gering, dass die
  Ergebnisse im Allgemeinen als mit einer schwachen Effizienzform
  vereinbar angesehen werden.

- Die mittelstarke Form (Eventstudien)

  - Die mittelstarke Form der Effizienzmarkthypothese besagt, dass die
    Preise alle öffentlich verfügbaren Informationen widerspiegeln
    sollten.

  - Um diese Hypothese zu testen, haben Forscher gemessen, wie schnell
    die Wertpapierkurse auf verschiedene Nachrichten reagieren, z. B.
    auf die Bekanntgabe von Gewinnen oder Dividenden, auf Nachrichten
    über eine übernahme oder auf makroökonomische Informationen.

  - Um die Auswirkung einer Ankündigung auf den Kurs einer Aktie zu
    isolieren, ist die Berechnung der abnormalen Rendite (AR)
    erforderlich.

  - Die abnormale Rendite eines bestimmten Wertpapiers für einen
    bestimmten Tag kann berechnet werden, indem die Marktrendite
    desselben Tages (r_(m)) von der tatsächlichen Rendite (r) der Aktie
    für diesen Tag abgezogen wird:
    $$\begin{aligned}
    \text{AR}=r-r_m
    \end{aligned}$$

  - Das folgende System wird uns helfen, Tests der mittelstarken Form zu
    verstehen:

      ------------------------------------------------ --- ------------
      Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t − 1   →   AR_(t − 1)
      Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t       →   AR_(t)
      Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t + 1   →   AR_(t + 1)
      ------------------------------------------------ --- ------------

  - Die Pfeile zeigen an, dass die abnormale Rendite in einem beliebigen
    Zeitraum nur mit den in diesem Zeitraum veröffentlichten
    Informationen zusammenhängt.

  - Nach der Effizienzmarkthypothese sollte die abnormale Rendite eines
    Unternehmens zum Zeitpunkt t, AR_(t), die Veröffentlichung von
    Informationen zum gleichen Zeitpunkt, t, widerspiegeln.

  - Alle Informationen, die vor diesem Zeitpunkt veröffentlicht werden,
    sollten keine Auswirkungen auf die abnormalen Renditen in diesem
    Zeitraum haben, da ihr gesamter Einfluss bereits vorher spürbar
    gewesen sein sollte.

  - Um die mittelstarke Form der EMH anhand von abnormalen Renditen zu
    testen, werden Eventstudien durchgeführt.

  - Grob gesagt sind Eventstudien statistische Studien, die untersuchen,
    ob die Pfeile wie abgebildet sind oder ob die Veröffentlichung von
    Informationen die Renditen an anderen Tagen beeinflusst.

  - Ein Beispiel dafür ist die Studie von Szewczyk, Tsetsekos und
    Zantout über Dividendenausfälle.

  - Da Dividendenausfälle im Allgemeinen als schlechte Ereignisse
    angesehen werden, würden wir erwarten, dass die abnormalen Renditen
    zum Zeitpunkt der Ankündigung negativ sind.

  - Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der kumulativen ARs für
    eine Stichprobe von Unternehmen, die Dividendenausfälle ankündigen.

[image]

- Erwartungsgemäß sind die ARs um den Zeitpunkt der Ankündigung herum
  negativ, was durch einen Rückgang der kumulierten abnormalen Renditen
  sowohl am Tag vor der Ankündigung (Tag −1) als auch am Tag der
  Ankündigung (Tag 0) belegt wird.

- Es ist jedoch zu beachten, dass es in den Tagen nach der Ankündigung
  praktisch keine Bewegung bei den kumulierten ARs gibt.

- Dies bedeutet, dass die schlechten Nachrichten bis zum Tag der
  Bekanntgabe vollständig in den Aktienkurs eingepreist sind, ein
  Ergebnis, das mit Effizienz vereinbar ist.

- Im Laufe der Jahre wurde diese Art von Methodik auf viele Ereignisse
  angewandt (Ankündigung von Dividenden/Gewinn, Fusionen usw.).

- Im Durchschnitt unterstützen die Tests der Ereignisstudien die
  Ansicht, dass der Markt halbwegs effizient ist.

- Die starke Form

  - Eine Reihe von Studien zur starken Effizienzform untersucht den
    Insiderhandel.

  - Unternehmensinsider haben Zugang zu Informationen, die nicht
    allgemein zugänglich sind.

  - Aber wenn die starke Form der EMH gilt, sollten sie nicht in der
    Lage sein, durch den Handel mit ihren Informationen zu profitieren.

  - Die meisten staatlichen Stellen verlangen von den Insidern eines
    Unternehmens, dass sie den Handel mit Wertpapieren des eigenen
    Unternehmens offenlegen.

  - Anhand der Aufzeichnungen dieser Geschäfte können wir feststellen,
    ob sie abnormale Renditen erzielt haben.

  - Die folgende Abbildung zeigt die kumulierten abnormalen Renditen,
    die britische Direktoren zwischen 1994 und 2005 mit ihren Geschäften
    erzielten.

[image]

- Es ist klar, dass es in den Tagen nach dem Insiderhandel eine starke
  Marktreaktion gibt und dass ihre Geschäfte ungewöhnlich profitabel
  waren.

- Diese Ansicht wird durch Daten aus anderen Ländern gestützt.

- In Anbetracht der Tatsache, dass man mit privaten Informationen
  abnormale Gewinne erzielen kann, scheint die Effizienzform nicht durch
  empirische Evidenz untermauert zu sein.

Zwischenfazit

- Heute haben wir uns mit dem Capital Asset Pricing Model (CAPM)
  beschäftigt.

- Ebenfalls haben wir uns aber mit effizienten Kapitalmärkten und der
  Effizienzmarkthypothese befasst.

- Damit haben wir theoretisch diskutiert, wie Kapitalmärkte
  funktionieren sollten.

- Im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen wir uns mit empirischen
  Beobachtungen und mit Kapitalmarktanomalien.

- Zuletzt schauen wir auf die Grenzen der Arbitrage.

Kapitalmarktanomalien

Kapitalmarktanomalien

Empirische Herausforderungen für die Markteffizienz

- Gewinnüberraschung (Earnings Surprises)

  - Der gesunde Menschenverstand legt nahe, dass die Kurse steigen
    sollten, wenn die Erträge höher als erwartet ausfallen, und fallen
    sollten, wenn das Gegenteil der Fall ist.

  - Die Markteffizienz impliziert, dass sich die Preise sofort auf die
    Ankündigung einstellen.

  - Kolasinski und Li (2005) ordnen US-Unternehmen nach dem Ausmaß ihrer
    Gewinnüberraschung ein, d. h. der Differenz zwischen dem aktuellen
    Quartalsgewinn und dem Quartalsgewinn vor vier Quartalen, geteilt
    durch den aktuellen Aktienkurs.

  - Sie bilden ein Portfolio von Unternehmen mit den extremsten
    positiven Überraschungen und ein weiteres Portfolio von Unternehmen
    mit den extremsten negativen Überraschungen.

  - Die folgende Abbildung zeigt die Renditen aus dem Kauf der beiden
    Portfolios, abzüglich der Rendite des Gesamtmarktes.

[image]

- Die Kurse passen sich langsam an die Gewinnankündigungen an, wobei das
  Portfolio mit den positiven Überraschungen sowohl im nächsten Monat
  als auch in den nächsten sechs Monaten besser abschneidet als das
  Portfolio mit den negativen Überraschungen.

- Größe

  - Im Jahr 1981 legten zwei wichtige Studien Hinweise dafür vor, dass
    in den Vereinigten Staaten die Renditen von Aktien mit kleiner
    Marktkapitalisierung während des Großteils des 20. Jahrhunderts
    höher waren als die Renditen von Aktien mit großer
    Marktkapitalisierung.

  - Die Studien wurden seitdem über verschiedene Zeiträume und in
    verschiedenen Ländern wiederholt.

  - Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise die durchschnittlichen
    Renditen im Zeitraum von 1963 bis 1995 für fünf nach Größe geordnete
    Portfolios von US-Aktien.

[image]

- Wie man sieht, ist die durchschnittliche Rendite bei kleinen Aktien um
  einiges höher als die durchschnittliche Rendite bei großen Aktien.

- Obwohl ein großer Teil der unterschiedlichen Performance lediglich ein
  Ausgleich für das zusätzliche Risiko kleiner Firmen ist, haben
  Forscher allgemein argumentiert, dass nicht alles durch
  Risikounterschiede erklärt werden kann.

- Keim (1983) hat nachgewiesen, dass der größte Teil der
  Renditeunterschiede im Monat Januar auftritt.

Empirische Forschung zur Markteffizienz

- Sind die Finanzmärkte effizient?

- , p. 95: Es gibt keine andere These in den Wirtschaftswissenschaften,
  die empirisch besser belegt ist als die EMH.

- Dennoch traten einige Herausforderungen auf:

  - Übermäßige Marktvolatilität.

  - Überreaktion der Aktienkurse: Langfristige Trends (1-3 Jahre) kehren
    sich um.

  - Momentum der Aktienkurse: Die kurzfristigen Trends (6-12 Monate)
    halten an.

  - Größe und B/M-Verhältnis (veraltete Informationen) können zur
    Vorhersage von Renditen beitragen (Fama-French 3/5-Faktormodell).

- Außerdem lassen sich einige der größten Kursschwankungen nicht durch
  neue Informationen erklären.

  - Der Absturz von 1987 mit einem Rückgang von 22, 6% ohne erkennbare
    Neuigkeiten.

  - Mehrere der größten eintägigen Kursschwankungen traten auch an Tagen
    auf, an denen keine größeren Ankündigungen gemacht wurden (Ausnahme:
    COVID-19-Ausbruch im Jahr 2020).

- Forscher liefern empirische Belege für Marktanomalien:

  - : saisonale Muster bei Aktienrenditen (z.B. der Januar-Effekt).

  - : Aktienmärkte überreagieren in Bezug auf unerwartete
    Nachrichtenereignisse.

  - : Wertaktien schneiden weltweit besser ab als Wachstumsaktien.

- Die beschriebenen Muster stehen zwar im Zusammenhang mit den
  Aktienmärkten, doch haben die letzten Jahre gezeigt, dass viele dieser
  Muster auch in anderen Anlageklassen zu finden sind.

- Mehrere der empirischen Muster im Querschnitt der Aktienrenditen
  gelten auch für andere Anlageklassen, z. B. Momentum, langfristige
  Umkehrungen (longterm reversal), Volatilität.

- Sie gelten sogar für die Märkte von FIFA 19 (Montone und Zwinkels,
  2021).

- Dies deutet auf einen gemeinsamen Mechanismus hin, der für alle
  Anlageklassen gilt.

- Diese Anomalien widerlegen jedoch nicht die Markteffizienz, da jeder
  Test die gemeinsamen Hypothesen prüfen muss: Markteffizienz an sich
  ist nicht testbar. Sie muss zusammen mit einem Gleichgewichtsmodell,
  einem Modell zur Bewertung von Vermögenswerten, getestet werden (Fama,
  JF, 1991).

- Dennoch liefert die Geschichte eindeutige Beispiele für nicht
  effiziente Märkte (siehe Barberis/Thaler, 2003):

  - Zusammenschluss von Royal Dutch und Shell Transports im Jahr 1907.

  - Die Cash-Flows werden im Verhältnis 60:40 zwischen den Unternehmen
    aufgeteilt.

  - Beide Aktien werden jedoch an unterschiedlichen Börsen gehandelt.

  - Einfache Rechnenaufgabe: Der Cashflow an RD ist das 1,5-fache des
    Cashflows an die ST-Aktionäre.

  - ⇒: Der Marktwert von RD sollte das 1,5-fache des Marktwerts von ST
    betragen.

  - Dennoch ...

[image]

Der Arbitrage sind Grenzen gesetzt! Eine Erklärung dafür ist die
Existenz von “noise trader”.

- Eine Kombination von möglichen Erklärungen für Marktanomalien:

  - In der Realität können die Entscheidungen von Anlegern unter Risiko
    irrational sein.

  - In der Praxis haben Anleger nur begrenzte Arbitragemöglichkeiten
    (Transaktionskosten, Liquiditätsbeschränkungen).

Zwischenfazit

- Empirische Beobachtungen zeigen uns also, dass wir Abweichungen
  zwischen Theorie und Realität beobachten: sog. Kapitalmarktanomalien.

- Zuletzt schauen wir daher auf die Grenzen der Arbitrage. Warum kann es
  zu solchen Abweichungen von der Effizienzmarkthypothese kommen?

Die Grenzen der Arbitrage

Die Grenzen der Arbitrage

Shleifer, A. and R. Vishny (1997): “The Limits of Arbitrage,” The
Journal of Finance, 52, 35–55.

(see N. Barberis: Behavioral Finance. Asset Prices and Investor
Behavior, Yale University.)

Grenzen der Arbitrage

- Behavioral Finance-Anwendungen auf die Preise von Vermögenswerten
  gehen häufig davon aus, dass irrationale Anleger die Preise
  beeinflussen.

- Es gibt eine klassische Kritik an dieser Idee, die arbitrage critique.

- Dieser Kritik zufolge können irrationale Anleger die Preise nicht über
  einen längeren Zeitraum hinweg beeinflussen.

  - Sobald irrationale Investoren die Preise bewegen, entsteht eine
    attraktive Gelegenheit für rationale Investoren.

  - Die rationalen Anleger handeln gegen die Fehlbewertung und
    korrigieren sie schnell (arbitrage).

- Die Forschung liefert jedoch empirische Evidenz für die Grenzen der
  Arbitrage.

Definition 1 (Keine Arbitragemöglichkeiten). Ein Kapitalmarkt ist frei
von Arbitragemöglichkeiten, wenn es kein Portfolio gibt, das heute zu
einem negativen Preis gekauft werden kann, aber morgen in jedem
möglichen Zustand der Welt einen nicht-negativen Marktwert haben wird.

Beispiel 1 (Arbitrage-Möglichkeiten).

[image]

Beispiel 2 (Arbitrage-Möglichkeiten).

  Zeit                           0                      1              
  ---------------------- ----------------- --------------------------- -----------
                                                    Zustand 1           Zustand 2
  Kauf von Anlage 2            -0,60                    1                   0
  Kauf von Anlage 3            -0,28                    0                   1
  Verkauf von Anlage 1          0,9                    -1                  -1
  Kum. Cash Flow               0,02                     0                   0
                          Negativer Preis   nicht-negativer Marktwert  

Definition 2 (Fundamentalwert). Der Fundamentalwert eines Vermögenswerts
ist sein Preis in einer Wirtschaft mit rationalen Anlegern und ohne
Beschränkungen. Der Fundamentalwert spiegelt alle verfügbaren
öffentlichen Informationen korrekt wider und ist der Preis eines
effizienten Marktes.

- In einer Wirtschaft mit Beschränkungen oder wenn einige Menschen nicht
  völlig rational sind, kann der Preis eines Vermögenswertes vom
  Fundamentalwert abweichen. Solche Abweichungen werden als
  Fehlbewertung oder Ineffizienz bezeichnet.

- Rationale Anleger werden manchmal auch als Arbitrageure bezeichnet.

- Weniger als völlig rationale Investoren werden manchmal als Noise
  Trader bezeichnet.

- Die Arbitrage-Kritik besagt, dass es für rationale Investoren einfach
  ist, eine Fehlbewertung zu korrigieren.

- In der Realität ist es jedoch nicht einfach:

  - Es gibt Risiken und Kosten, die die Möglichkeiten der Arbitrageure,
    eine Fehlbewertung zu korrigieren, einschränken.

  - Auf diese Weise können irrationale Anleger die Preise erheblich und
    für lange Zeit beeinflussen.

- Besondere Grenzen der Arbitrage

  - Risiken: Fundamental-Risiko, Noise-Trader-Risiko

  - Kosten: Handelskosten, Implementierungskosten, Informationskosten

Definition 3 (Fundamental-Risiko). Das Risiko, dass es negative
Nachrichten über den fundamentalen Wert des falsch bewerteten
Vermögenswerts gibt.

Definition 4 (Noise Trader Risiko). Das Risiko, dass der Arbitrageur
aufgrund der sich kurzfristig verschlechternden Fehlbewertung gezwungen
ist, seinen Handel mit Verlust zu beenden .

- Das Noise-Trader-Risiko entsteht, weil Arbitrageure in der realen Welt
  das Geld anderer Leute verwalten. Wenn sich also die Fehlbewertung
  kurzfristig verschlechtert, könnten nervöse Kunden ihr Geld aus dem
  Fonds des Arbitrageurs abziehen und eine Liquidation erzwingen.

- Dieses Problem wird durch den Einsatz von Leverage noch verstärkt.
  Wenn sich die Fehlbewertung kurzfristig verschlimmert, können die
  Banken ihre Kredite fällig stellen, was wiederum eine Liquidation
  erzwingt.

Definition 5 (Kosten). Zu den Kosten gehören allgemeine Handelskosten,
aber auch Leerverkaufskosten und Informationskosten, d. h. die Kosten
für die Erkennung, das Verständnis und die Ausnutzung einer
Fehlbewertung.

Grenzen der Arbitrage (SV 1997)

- Im weiteren Verlauf dieser Vorlesung werden wir einen Blick auf das
  Modell von werfen, das erklärt, warum Arbitrage Anomalien auf
  Finanzmärkten nicht beseitigen kann.

- Betrachten wir einen Markt, auf dem nur ein Vermögenswert mit dem
  Fundamentalwert V gehandelt wird.

- Es gibt drei Arten von Händlern: Noise Trader, Arbitrageure und
  Investoren in Arbitragefonds, die nicht selbst handeln.

- Arbitrageure engagieren sich nur auf diesem Markt; Investoren
  verteilen ihre Mittel auf mehrere Märkte.

- Es gibt drei Zeitpunkte: 1, 2 und 3. Der Preis des Vermögenswertes zum
  Zeitpunkt t ist p_(t).

- Zum Zeitpunkt 3 wird V allen bekannt: p₃ = V.

- Noise Trader sind pessimistisch und können einen Pessimismus-Schock
  S_(t) erleben.

- Die Nachfrage nach dem Vermögenswert ist gegeben durch
  QN(t) = (V − S_(t))/p_(t)

- Zum Zeitpunkt t = 1 kennen die Arbitrageure S₁; S₂ ist jedoch
  unsicher. Es kann sein, dass S₂ > S₁ ist (was eintritt, wenn sich die
  Fehlwahrnehmungen der Noise Trader vertiefen).

- Arbitrageure und Investoren sind völlig rational.

- Arbitrageure nutzen die von Noise Tradern verursachten Fehlbewertungen
  aus, um Gewinne zu erzielen.

- Sie verfügen über kumulierte Ressourcen F_(t), die sie investieren
  können, um die Fehlbewertung auszunutzen.

- F₁ ist exogen gegeben; F₂ wird unter Berücksichtigung der Performance
  der Arbitrageure bestimmt.

- Der interessante Teil des Modells findet zum Zeitpunkt t = 2 statt:
  Entweder erholt sich der Preis auf den Fundamentalwert V (mit der
  Wahrscheinlichkeit 1 − q), oder die Noise Trader sind weiterhin
  verwirrt und der Preis weicht immer noch von V ab (mit der
  Wahrscheinlichkeit q).

- Wenn der Preis  = V ist, investieren die Arbitrageure ihre gesamten
  Mittel in Bargeld / den risikofreien Vermögenswert.

- Wenn der Preis  ≠ V ist, wollen die Arbitrageure alle ihre Ressourcen
  in den Vermögenswert investieren, da sich der Preis in t = 3 mit
  Sicherheit erholen wird.

- Ihre Nachfrage ist also QA(2) = F₂/p₂.

- Da der Markt geräumt werden muss (Nachfrage ≡ Angebot), ist der Preis
  gegeben durch:
  p₂ = V − S₂ + F₂

- Nehmen wir nun an, dass die Ressourcen der Arbitrageure begrenzt sind
  und nicht ausreichen, um alle Fehlbewertungen zu korrigieren, d. h.
  F₂ < S₂.

- Im anderen Fall wäre die Lösung trivial: Wir würden effiziente Märkte
  beobachten.

- In t = 1 wollen Arbitrageure nicht unbedingt alle Ressourcen in den
  Vermögenswert investieren. Stattdessen möchten sie vielleicht etwas
  Bargeld bereithalten, falls die Unterbewertung des Vermögenswertes
  zunimmt.

- Offensichtlich haben — in diesem Fall — alle zu diesem Zeitpunkt
  investierten Mittel zumindest vorübergehend an Wert verloren.

- Bezeichnen wir die Nachfrage der Arbitrageure zum Zeitpunkt t = 1 mit
  D₁. Dann ist QA(1) = D₁/p₁ und
  p₁ = V − S₁ + D₁.

- Auch hier gehen wir davon aus, dass die Ressourcen der Arbitrageure
  begrenzt sind und nicht ausreichen, um alle Fehlbewertungen zu
  korrigieren, d.h. F₁ < S₁.

- Werfen wir nun einen Blick auf die Beziehung zwischen Investoren und
  Arbitrageuren.

- Die Investoren stellen den Arbitrageuren Mittel zur Verfügung, um
  mögliche Fehlbewertungen zu korrigieren, und erhalten die von den
  Arbitrageuren erwirtschaftete Rendite abzüglich der konstanten
  Grenzkosten, die für alle Arbitrageure gleich hoch sind.

- Die Mittel der Investoren reichen nicht aus, um die Nachfrage aller
  Arbitrageure auf den verschiedenen Märkten zu befriedigen.

- Investoren sind Bayesianer und haben Erwartungen über die erwartete
  Rendite jedes Arbitrageurs und investieren in den Arbitrageur mit der
  höchsten erwarteten Rendite entsprechend ihrer Erwartungen.

- Die Erwartungen der Investoren sind unterschiedlich, d. h. nicht alle
  Ressourcen landen beim gleichen Arbitrageur.

- Zum Zeitpunkt t = 2 aktualisieren die Investoren ihre Erwartungen
  bezüglich der erwarteten Rendite des Arbitrageurs unter
  Berücksichtigung der neu verfügbaren Informationen — der Rendite des
  Arbitrageurs in der vorangegangenen Periode, p₂/p₁.

- Die Investoren haben nicht die geistigen Fähigkeiten, die
  Anlagestrategien der Arbitrageure zu verstehen. Daher müssen sie sich
  auf beobachtbare Größen verlassen. Daher können die Investoren nicht
  unterscheiden zwischen

  1.  einem zufälligen Fehlerterm,

  2.  Pech, weil Noise Trader zunehmend verwirrt sind, oder

  3.  fehlenden Fähigkeiten des Arbitrageurs.

- Insbesondere werden Arbitrageure, die in der ersten Periode schlechte
  Renditen erzielt haben, Ressourcen an Arbitrageure verlieren, die
  bessere Renditen erzielt haben.

- Führen wir G(x) = ax + 1 − a als die Funktion ein, die die
  Umverteilung der Mittel in t = 2 organisiert, wobei a ≥ 1 ist.

- Dann ist das Geldangebot der Arbitrageure in t = 2 gegeben durch
  F₂ = F₁ − aD₁(1 − p₂/p₁).

- Bei einer Rendite von Null (p₂ = p₁) gewinnen oder verlieren
  Arbitrageure keine Mittel; bei höheren Renditen gewinnen sie Mittel;
  bei niedrigeren Renditen verlieren sie Mittel.

- Dabei bezeichnet a die Sensitivität der Investoren gegenüber der
  vergangenen Wertentwicklung. Bei höheren Werten von a verliert der
  Arbitrageur als Reaktion auf eine schlechte Performance mehr Mittel.

- Dies ist eine rationale Reaktion auf den Versuch, aus den Renditen der
  Vergangenheit auf die Fähigkeiten des Managements und die zukünftigen
  Chancen zu schließen.

- Diese leistungsbezogene Mittelzuweisung im Modell führt zu einem
  interessanten Effekt: Das Kapital ist vor allem dann niedrig, wenn die
  erwarteten Erträge hoch sind. Wenn die Fehlbewertung zunimmt, sind die
  Gewinne der Arbitrageure in der ersten Periode niedrig, aber — da die
  Preise in t = 3 bekannt sind — ist dies genau der Zeitpunkt, an dem
  die zukünftigen Renditen am höchsten sind.

- Betrachten wir abschließend noch das Optimierungsproblem der
  Arbitrageure.

- Arbitrageure maximieren ihren erwarteten Gewinn in t = 3 — was
  gleichbedeutend damit ist, dass sie ihr verwaltetes Vermögen
  maximieren, da sie einen konstanten Grenzsatz verlangen.

- Arbitrageure maximieren
  $$\begin{gathered}
  \mbox{E}[W] = (1-q) \left[a\left(\frac{D_1 V}{p_1} + F_1 - D_1 \right) + (1-a) F_1 \right] \\
  + q \cdot \frac{V}{p_2} \cdot \left[a \left(\frac{D_1 p_2}{p_1} + F_1 - D_1\right) + (1 - a) F_1 \right]. 
  \end{gathered}$$

- Im ersten Fall halten die Arbitrageure in der letzten Periode Bargeld;
  im zweiten Fall investieren sie ihre gesamten verfügbaren Mittel in
  den Vermögenswert.

- Ihre Bedingung erster Ordnung ist gegeben durch (erste Ableitung!):
  $$(1-q) \left(\frac{V}{p_1} -1 \right) + q \left(\frac{p_2}{p_1} -1 \right) \frac{V}{p_2} \geq 0.$$

- Der erste Term erfasst den zusätzlichen Nutzen, wenn sich der Preis in
  t = 2 erholt. Der zweite Term ist der Verlust an Nutzen, wenn der
  Preis fällt, bevor er sich in t = 3 erholt.

- Wir sehen also, dass die optimale Entscheidung, Arbitrage zu nutzen,
  und das Ausmaß, in dem sie genutzt werden sollte, von der
  Wahrscheinlichkeit abhängt, dass die Fehlbewertung sofort korrigiert
  wird, und vom Ausmaß der Fehlbewertung.

- Am wichtigsten ist, dass es viele Umstände gibt, unter denen
  Arbitrageure sich nicht dafür entscheiden, in t = 1 voll investiert zu
  sein.

- Mit anderen Worten, wir beobachten Grenzen der Arbitrage, die nicht
  explizit durch eingeschränkte Ressourcen, sondern eher durch das
  allgemeine Modell bedingt sind.

Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung und Ausblick

- Heute haben wir uns mit einem bekannten
  Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, dem Capital Asset Pricing Model
  (CAPM), beschäftigt.

- Wir haben die Effizienzmarkthypothese kennengelernt.

- Wir haben über verschiedene Abweichungen von effizienten Märkten, sog.
  Marktanomalien, gesprochen, die in dem großen Bereich der
  Verhaltensökonomie diskutiert werden.

- Zuletzt haben wir die Grenzen der Arbitrage kennengelernt.

- In der nächsten Vorlesung diskutieren wir die Behavioral Finance noch
  detaillierter.

Literatur

Literatur