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N n : β
y : Fin N β Fin n β β
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|
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
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N n : β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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[33, 1]
|
[53, 22]
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norm_num
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hR : R.PosDef
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i : Fin N
β’ ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
case h.hx
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
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case h.hy
N n : β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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case h.hy
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N n : β
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|
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
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case h.hx
N n : β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
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N n : β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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[33, 1]
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[53, 22]
|
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
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case h.hy
N n : β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
exact exp_ne_zero _
|
case h.hy
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
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no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
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|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
refine' ne_of_gt (sqrt_pos.2 (mul_pos _ hR.det_pos))
|
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N n : β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
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no goals
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
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|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
positivity
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
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no goals
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
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log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
positivity
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 0 < 2
|
no goals
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
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log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
positivity
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 0 β€ 2
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
norm_num
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 1 β 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
by_cases h : m = 0
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
{ subst h; simp }
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp only [Matrix.quadForm, Matrix.trace, covarianceMatrix, diag, mul_apply, Finset.sum_mul,
Finset.sum_div]
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β x : Fin m, y x β¬α΅₯ R.mulVec (y x) =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
erw [Finset.sum_comm (Ξ³ := Fin m)]
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β x : Fin m, y x β¬α΅₯ R.mulVec (y x) =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp_rw [Finset.mul_sum]
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
congr
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
case neg.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ (fun y_1 => β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x =>
β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
ext i
|
case neg.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ (fun y_1 => β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x =>
β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
have hmnz : (m : β) β 0 := by simp [h]
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp_rw [β mul_assoc, mul_div_cancelβ _ hmnz]
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
erw [Finset.sum_comm (Ξ± := Fin m)]
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β y_1 : Fin m, β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
congr
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β y_1 : Fin m, β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
ext j
|
case neg.e_f.h.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = β x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp_rw [mul_assoc, β Finset.mul_sum]
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = β x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
apply congr_arg
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ R.mulVec (y j) i = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
unfold Matrix.mulVec
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ R.mulVec (y j) i = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
(fun j => R i j) β¬α΅₯ y j) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
unfold dotProduct
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
(fun j => R i j) β¬α΅₯ y j) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
β i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp only [mul_comm (R _ _)]
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
β i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ β x : Fin n, y j x * R i x = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
congr
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ β x : Fin n, y j x * R i x = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
subst h
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin 0 β Fin n β β
β’ β i : Fin 0, R.quadForm (y i) = β0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin 0 β Fin n β β
β’ β i : Fin 0, R.quadForm (y i) = β0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp [h]
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
β’ βm β 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
Real.inverse_eq_inv
|
[75, 1]
|
[75, 68]
|
simp
|
a : β
β’ Ring.inverse a = aβ»ΒΉ
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_zero
|
[20, 1]
|
[22, 39]
|
funext i j
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
β’ toUpperTri 0 = 0
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
i j : m
β’ toUpperTri 0 i j = 0 i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_zero
|
[20, 1]
|
[22, 39]
|
simp [Matrix.toUpperTri]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
i j : m
β’ toUpperTri 0 i j = 0 i j
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_smul
|
[24, 1]
|
[28, 34]
|
funext i j
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
β’ ΞΊ β’ A.toUpperTri = (ΞΊ β’ A).toUpperTri
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
i j : m
β’ (ΞΊ β’ A.toUpperTri) i j = (ΞΊ β’ A).toUpperTri i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_smul
|
[24, 1]
|
[28, 34]
|
rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
i j : m
β’ (ΞΊ β’ A.toUpperTri) i j = (ΞΊ β’ A).toUpperTri i j
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
i j : m
β’ ΞΊ β’ A.toUpperTri i j = (ΞΊ β’ A).toUpperTri i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_smul
|
[24, 1]
|
[28, 34]
|
simp only [Matrix.toUpperTri]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
i j : m
β’ ΞΊ β’ A.toUpperTri i j = (ΞΊ β’ A).toUpperTri i j
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
i j : m
β’ (ΞΊ β’ if i β€ j then A i j else 0) = if i β€ j then (ΞΊ β’ A) i j else 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_smul
|
[24, 1]
|
[28, 34]
|
by_cases h : i β€ j <;> simp [h]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
ΞΊ : β
i j : m
β’ (ΞΊ β’ if i β€ j then A i j else 0) = if i β€ j then (ΞΊ β’ A) i j else 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_add
|
[30, 1]
|
[34, 34]
|
funext i j
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
β’ (A + B).toUpperTri = A.toUpperTri + B.toUpperTri
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
i j : m
β’ (A + B).toUpperTri i j = (A.toUpperTri + B.toUpperTri) i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_add
|
[30, 1]
|
[34, 34]
|
rw [Pi.add_apply, Pi.add_apply]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
i j : m
β’ (A + B).toUpperTri i j = (A.toUpperTri + B.toUpperTri) i j
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
i j : m
β’ (A + B).toUpperTri i j = A.toUpperTri i j + B.toUpperTri i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_add
|
[30, 1]
|
[34, 34]
|
simp only [Matrix.toUpperTri]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
i j : m
β’ (A + B).toUpperTri i j = A.toUpperTri i j + B.toUpperTri i j
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
i j : m
β’ (if i β€ j then (A + B) i j else 0) = (if i β€ j then A i j else 0) + if i β€ j then B i j else 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.toUpperTri_add
|
[30, 1]
|
[34, 34]
|
by_cases h : i β€ j <;> simp [h]
|
case h.h
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A B : Matrix m m β
i j : m
β’ (if i β€ j then (A + B) i j else 0) = (if i β€ j then A i j else 0) + if i β€ j then B i j else 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular_toUpperTri
|
[36, 1]
|
[41, 18]
|
intros i j hij
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
β’ A.toUpperTri.upperTriangular
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
i j : m
hij : id j < id i
β’ A.toUpperTri i j = 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular_toUpperTri
|
[36, 1]
|
[41, 18]
|
unfold toUpperTri
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
i j : m
hij : id j < id i
β’ A.toUpperTri i j = 0
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
i j : m
hij : id j < id i
β’ (if i β€ j then A i j else 0) = 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular_toUpperTri
|
[36, 1]
|
[41, 18]
|
rw [if_neg]
|
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
i j : m
hij : id j < id i
β’ (if i β€ j then A i j else 0) = 0
|
case hnc
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
i j : m
hij : id j < id i
β’ Β¬i β€ j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular_toUpperTri
|
[36, 1]
|
[41, 18]
|
simpa using hij
|
case hnc
n : Type
instβΒ³ : Fintype n
instβΒ² : LinearOrder n
instβΒΉ : LocallyFiniteOrderBot n
m : Type u_1
instβ : LinearOrder m
A : Matrix m m β
i j : m
hij : id j < id i
β’ Β¬i β€ j
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
|
[43, 1]
|
[48, 44]
|
ext i j
|
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
β’ A.toUpperTri = A
|
case a
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
β’ A.toUpperTri i j = A i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
|
[43, 1]
|
[48, 44]
|
by_cases h : i β€ j
|
case a
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
β’ A.toUpperTri i j = A i j
|
case pos
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
h : i β€ j
β’ A.toUpperTri i j = A i j
case neg
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
h : Β¬i β€ j
β’ A.toUpperTri i j = A i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
|
[43, 1]
|
[48, 44]
|
simp [toUpperTri, h]
|
case pos
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
h : i β€ j
β’ A.toUpperTri i j = A i j
case neg
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
h : Β¬i β€ j
β’ A.toUpperTri i j = A i j
|
case neg
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
h : Β¬i β€ j
β’ A.toUpperTri i j = A i j
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/ToUpperTri.lean
|
Matrix.upperTriangular.toUpperTri_eq
|
[43, 1]
|
[48, 44]
|
simp [toUpperTri, h, hA (lt_of_not_ge h)]
|
case neg
n : Type
instβΒ² : Fintype n
instβΒΉ : LinearOrder n
instβ : LocallyFiniteOrderBot n
A : Matrix n n β
hA : A.upperTriangular
i j : n
h : Β¬i β€ j
β’ A.toUpperTri i j = A i j
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
gaussianPdf_pos
|
[24, 1]
|
[27, 53]
|
refine' mul_pos (div_pos zero_lt_one (sqrt_pos.2 (mul_pos _ h.det_pos))) (exp_pos _)
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin n β β
h : R.PosDef
β’ 0 < gaussianPdf R y
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin n β β
h : R.PosDef
β’ 0 < (2 * Ο) ^ n
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
gaussianPdf_pos
|
[24, 1]
|
[27, 53]
|
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) n)
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin n β β
h : R.PosDef
β’ 0 < (2 * Ο) ^ n
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
gaussianPdf_pos
|
[24, 1]
|
[27, 53]
|
positivity
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin n β β
h : R.PosDef
β’ 0 < 2
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
have : β i,
i β Finset.univ β gaussianPdf R (y i) β 0 := fun i _ => ne_of_gt (gaussianPdf_pos _ _ hR)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
β’ (β i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
β’ (β i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
have sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero: sqrt ((2 * Ο) ^ n * R.det) β 0 := by
refine' ne_of_gt (sqrt_pos.2 (mul_pos _ hR.det_pos))
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
β’ (β i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ (β i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
rw [log_prod Finset.univ (fun i => gaussianPdf R (y i)) this]
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ (β i : Fin N, gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ β i : Fin N, (gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
unfold gaussianPdf
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ β i : Fin N, (gaussianPdf R (y i)).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ β i : Fin N, (1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt * (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
apply congr_arg (Finset.sum Finset.univ)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ β i : Fin N, (1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt * (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp).log =
β i : Fin N, (-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ (fun i => (1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt * (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp).log) = fun i =>
-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
ext i
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
β’ (fun i => (1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt * (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp).log) = fun i =>
-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2
|
case h
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt * (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp).log =
-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
rw [log_mul, log_div, sqrt_mul, log_mul, log_exp, log_one, zero_sub]
|
case h
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt * (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp).log =
-(((2 * Ο) ^ n).sqrt.log + R.det.sqrt.log) + -Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2
|
case h.hx
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ ((2 * Ο) ^ n).sqrt β 0
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
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[33, 1]
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
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norm_num
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hR : R.PosDef
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sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
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case h.hy
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hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
exact sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero
|
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
case h.hx
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
|
case h.hx
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
exact div_ne_zero (by norm_num) sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero
|
case h.hx
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 1 / ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
|
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
exact exp_ne_zero _
|
case h.hy
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ (-Rβ»ΒΉ.quadForm (y i) / 2).exp β 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
refine' ne_of_gt (sqrt_pos.2 (mul_pos _ hR.det_pos))
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
β’ ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
β’ 0 < (2 * Ο) ^ n
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
exact (pow_pos (mul_pos (by positivity) pi_pos) _)
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
β’ 0 < (2 * Ο) ^ n
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
positivity
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
β’ 0 < 2
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
positivity
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 0 < 2
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
positivity
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 0 β€ 2
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
log_prod_gaussianPdf
|
[33, 1]
|
[53, 22]
|
norm_num
|
N n : β
y : Fin N β Fin n β β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
hR : R.PosDef
this : β i β Finset.univ, gaussianPdf R (y i) β 0
sqrt_2_pi_n_R_det_ne_zero : ((2 * Ο) ^ n * R.det).sqrt β 0
i : Fin N
β’ 1 β 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
by_cases h : m = 0
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
{ subst h; simp }
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp only [Matrix.quadForm, Matrix.trace, covarianceMatrix, diag, mul_apply, Finset.sum_mul,
Finset.sum_div]
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β x : Fin m, y x β¬α΅₯ R.mulVec (y x) =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
erw [Finset.sum_comm (Ξ³ := Fin m)]
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β x : Fin m, y x β¬α΅₯ R.mulVec (y x) =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp_rw [Finset.mul_sum]
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
βm * β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
congr
|
case neg
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ β y_1 : Fin n, β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1 =
β x : Fin n, β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
case neg.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ (fun y_1 => β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x =>
β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
ext i
|
case neg.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
β’ (fun y_1 => β x : Fin m, y x y_1 * R.mulVec (y x) y_1) = fun x =>
β x_1 : Fin n, β i : Fin m, βm * (y i x * y i x_1 / βm * R.transpose x_1 x)
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
have hmnz : (m : β) β 0 := by simp [h]
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp_rw [β mul_assoc, mul_div_cancelβ _ hmnz]
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β i_1 : Fin m, βm * (y i_1 i * y i_1 x / βm * R.transpose x i)
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
erw [Finset.sum_comm (Ξ± := Fin m)]
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β x : Fin n, β x_1 : Fin m, y x_1 i * y x_1 x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β y_1 : Fin m, β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
congr
|
case neg.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ β x : Fin m, y x i * R.mulVec (y x) i = β y_1 : Fin m, β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
ext j
|
case neg.e_f.h.e_f
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
β’ (fun x => y x i * R.mulVec (y x) i) = fun y_1 => β x : Fin n, y y_1 i * y y_1 x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = β x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp_rw [mul_assoc, β Finset.mul_sum]
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = β x : Fin n, y j i * y j x * R.transpose x i
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
apply congr_arg
|
case neg.e_f.h.e_f.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ y j i * R.mulVec (y j) i = y j i * β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ R.mulVec (y j) i = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
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sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
unfold Matrix.mulVec
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ R.mulVec (y j) i = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
(fun j => R i j) β¬α΅₯ y j) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
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CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
unfold dotProduct
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
(fun j => R i j) β¬α΅₯ y j) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
β i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp only [mul_comm (R _ _)]
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ (let i := i;
β i_1 : Fin n, (fun j => R i j) i_1 * y j i_1) =
β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ β x : Fin n, y j x * R i x = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
congr
|
case neg.e_f.h.e_f.h.h
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
hmnz : βm β 0
j : Fin m
β’ β x : Fin n, y j x * R i x = β i_1 : Fin n, y j i_1 * R.transpose i_1 i
|
no goals
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https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
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c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
subst h
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : m = 0
β’ β i : Fin m, R.quadForm (y i) = βm * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin 0 β Fin n β β
β’ β i : Fin 0, R.quadForm (y i) = β0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp
|
case pos
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
y : Fin 0 β Fin n β β
β’ β i : Fin 0, R.quadForm (y i) = β0 * (covarianceMatrix y * R.transpose).trace
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
sum_quadForm
|
[55, 1]
|
[73, 8]
|
simp [h]
|
n : β
R : Matrix (Fin n) (Fin n) β
m : β
y : Fin m β Fin n β β
h : Β¬m = 0
i : Fin n
β’ βm β 0
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/CovarianceEstimation.lean
|
Real.inverse_eq_inv
|
[75, 1]
|
[75, 68]
|
simp
|
a : β
β’ Ring.inverse a = aβ»ΒΉ
|
no goals
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
|
Matrix.BlockTriangular_blockDiagonal'
|
[36, 1]
|
[40, 71]
|
rintro β¨i, i'β© β¨j, j'β© h
|
Ξ± : Type u_1
Ξ² : Type ?u.1255
m : Type ?u.1258
n : Type ?u.1261
o : Type ?u.1264
m' : Ξ± β Type u_2
n' : Ξ± β Type ?u.1274
R : Type v
instβΒ² : CommRing R
M : Matrix m m R
b : m β Ξ±
instβΒΉ : Preorder Ξ±
instβ : DecidableEq Ξ±
d : (i : Ξ±) β Matrix (m' i) (m' i) R
β’ (blockDiagonal' d).BlockTriangular Sigma.fst
|
case mk.mk
Ξ± : Type u_1
Ξ² : Type ?u.1255
m : Type ?u.1258
n : Type ?u.1261
o : Type ?u.1264
m' : Ξ± β Type u_2
n' : Ξ± β Type ?u.1274
R : Type v
instβΒ² : CommRing R
M : Matrix m m R
b : m β Ξ±
instβΒΉ : Preorder Ξ±
instβ : DecidableEq Ξ±
d : (i : Ξ±) β Matrix (m' i) (m' i) R
i : Ξ±
i' : m' i
j : Ξ±
j' : m' j
h : β¨j, j'β©.fst < β¨i, i'β©.fst
β’ blockDiagonal' d β¨i, i'β© β¨j, j'β© = 0
|
https://github.com/verified-optimization/CvxLean.git
|
c62c2f292c6420f31a12e738ebebdfed50f6f840
|
CvxLean/Lib/Math/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
|
Matrix.BlockTriangular_blockDiagonal'
|
[36, 1]
|
[40, 71]
|
apply blockDiagonal'_apply_ne d i' j' (fun h' => ne_of_lt h h'.symm)
|
case mk.mk
Ξ± : Type u_1
Ξ² : Type ?u.1255
m : Type ?u.1258
n : Type ?u.1261
o : Type ?u.1264
m' : Ξ± β Type u_2
n' : Ξ± β Type ?u.1274
R : Type v
instβΒ² : CommRing R
M : Matrix m m R
b : m β Ξ±
instβΒΉ : Preorder Ξ±
instβ : DecidableEq Ξ±
d : (i : Ξ±) β Matrix (m' i) (m' i) R
i : Ξ±
i' : m' i
j : Ξ±
j' : m' j
h : β¨j, j'β©.fst < β¨i, i'β©.fst
β’ blockDiagonal' d β¨i, i'β© β¨j, j'β© = 0
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no goals
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