file_path
stringlengths 11
79
| full_name
stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
list | commit
stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
list |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
|
Ordinal.not_succ_isLimit
|
[] |
[
253,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
252,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
|
nat_smul_eq_nsmul
|
[
{
"state_after": "α : Type ?u.134610\nR : Type ?u.134613\nk : Type ?u.134616\nS : Type ?u.134619\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.134625\nM₃ : Type ?u.134628\nι : Type ?u.134631\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nh : Module ℕ M\nn : ℕ\nx : M\n⊢ SMul.smul n x = n • x",
"state_before": "α : Type ?u.134610\nR : Type ?u.134613\nk : Type ?u.134616\nS : Type ?u.134619\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.134625\nM₃ : Type ?u.134628\nι : Type ?u.134631\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nh : Module ℕ M\nn : ℕ\nx : M\n⊢ SMul.smul n x = n • x",
"tactic": "rw [nsmul_eq_smul_cast ℕ n x, Nat.cast_id]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.134610\nR : Type ?u.134613\nk : Type ?u.134616\nS : Type ?u.134619\nM : Type u_1\nM₂ : Type ?u.134625\nM₃ : Type ?u.134628\nι : Type ?u.134631\ninst✝² : Semiring R\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nh : Module ℕ M\nn : ℕ\nx : M\n⊢ SMul.smul n x = n • x",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
404,
94
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
403,
1
] |
Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
|
NNReal.sqrt_pos
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x y : ℝ≥0\n⊢ 0 < ↑sqrt x ↔ 0 < x",
"tactic": "simp [pos_iff_ne_zero]"
}
] |
[
128,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
128,
9
] |
Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
|
FirstOrder.Language.Relations.realize_transitive
|
[] |
[
1024,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1021,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean
|
Set.Iic_prod_Iic
|
[] |
[
1883,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1882,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
|
Polynomial.mem_degreeLT
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), f ∈ ⨅ (_ : i ≥ n), LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ degree f < ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ f ∈ degreeLT R n ↔ degree f < ↑n",
"tactic": "rw [degreeLT, Submodule.mem_iInf]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ degree f < ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), f ∈ ⨅ (_ : i ≥ n), LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ degree f < ↑n",
"tactic": "conv_lhs => intro i; rw [Submodule.mem_iInf]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ sup (support f) WithBot.some < ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ degree f < ↑n",
"tactic": "rw [degree, Finset.max_eq_sup_coe]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), b ∈ support f → ↑b < ↑n\n\nR : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ ⊥ < ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ sup (support f) WithBot.some < ↑n",
"tactic": "rw [Finset.sup_lt_iff ?_]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ ⊥ < ↑n\n\nR : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), b ∈ support f → ↑b < ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), b ∈ support f → ↑b < ↑n\n\nR : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ ⊥ < ↑n",
"tactic": "rotate_left"
},
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), b ∈ support f → ↑b < ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ ⊥ < ↑n\n\nR : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), b ∈ support f → ↑b < ↑n",
"tactic": "apply WithBot.bot_lt_coe"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type ?u.11734\ninst✝ : Semiring R\nn : ℕ\nf : R[X]\n⊢ (∀ (i : ℕ), i ≥ n → f ∈ LinearMap.ker (lcoeff R i)) ↔ ∀ (b : ℕ), b ∈ support f → ↑b < ↑n",
"tactic": "conv_rhs =>\n simp only [mem_support_iff]\n intro b\n rw [Nat.cast_withBot, WithBot.coe_lt_coe, lt_iff_not_le, Ne, not_imp_not]"
}
] |
[
108,
78
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
98,
1
] |
Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
|
IsUpperSet.exists_subset_ball
|
[
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + dist (x + const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ\n\ncase refine'_2\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s",
"state_before": "α : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ ∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s",
"tactic": "refine' ⟨x + const _ (3 / 4 * δ), closedBall_subset_closedBall' _, _⟩"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : dist x y < δ / 4\n⊢ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s",
"state_before": "case refine'_2\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s",
"tactic": "obtain ⟨y, hy, hxy⟩ := Metric.mem_closure_iff.1 hx _ (div_pos hδ zero_lt_four)"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : dist x y < δ / 4\nz : ι → ℝ\nhz : z ∈ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)\ni : ι\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : dist x y < δ / 4\n⊢ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s",
"tactic": "refine' fun z hz => hs.mem_interior_of_forall_lt (subset_closure hy) fun i => _"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : dist x y < δ / 4\nz : ι → ℝ\nhz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4\ni : ι\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : dist x y < δ / 4\nz : ι → ℝ\nhz : z ∈ closedBall (x + const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)\ni : ι\n⊢ y i < z i",
"tactic": "rw [mem_closedBall, dist_eq_norm'] at hz"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : ‖x - y‖ < δ / 4\nz : ι → ℝ\nhz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4\ni : ι\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : dist x y < δ / 4\nz : ι → ℝ\nhz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4\ni : ι\n⊢ y i < z i",
"tactic": "rw [dist_eq_norm] at hxy"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\nhz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4\ni : ι\nhxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nhxy : ‖x - y‖ < δ / 4\nz : ι → ℝ\nhz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4\ni : ι\n⊢ y i < z i",
"tactic": "replace hxy := (norm_le_pi_norm _ i).trans hxy.le"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\ni : ι\nhxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4\nhz : ‖(x + const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\nhz : ‖x + const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4\ni : ι\nhxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"tactic": "replace hz := (norm_le_pi_norm _ i).trans hz"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\ni : ι\nhxy : abs (x i - y i) ≤ δ / 4\nhz : abs (x i + 3 / 4 * δ - z i) ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\ni : ι\nhxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4\nhz : ‖(x + const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"tactic": "dsimp at hxy hz"
},
{
"state_after": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\ni : ι\nhxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4\nhz : x i + 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i + 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\ni : ι\nhxy : abs (x i - y i) ≤ δ / 4\nhz : abs (x i + 3 / 4 * δ - z i) ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"tactic": "rw [abs_sub_le_iff] at hxy hz"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2.intro.intro\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y✝ : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\ny : ι → ℝ\nhy : y ∈ s\nz : ι → ℝ\ni : ι\nhxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4\nhz : x i + 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i + 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4\n⊢ y i < z i",
"tactic": "linarith"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + ‖const ι (3 / 4 * δ)‖ ≤ δ",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + dist (x + const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ",
"tactic": "rw [dist_self_add_left]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + ‖3 / 4 * δ‖ = δ",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + ‖const ι (3 / 4 * δ)‖ ≤ δ",
"tactic": "refine' (add_le_add_left (pi_norm_const_le <| 3 / 4 * δ) _).trans_eq _"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + abs 3 / abs 4 * abs δ = δ",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + ‖3 / 4 * δ‖ = δ",
"tactic": "simp [Real.norm_of_nonneg, hδ.le, zero_le_three]"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + 3 / 4 * δ = δ",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + abs 3 / abs 4 * abs δ = δ",
"tactic": "simp [abs_of_pos, abs_of_pos hδ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1\nα : Type ?u.9777\nι : Type u_1\ninst✝ : Fintype ι\ns : Set (ι → ℝ)\nx y : ι → ℝ\nδ : ℝ\nhs : IsUpperSet s\nhx : x ∈ closure s\nhδ : 0 < δ\n⊢ δ / 4 + 3 / 4 * δ = δ",
"tactic": "ring"
}
] |
[
136,
11
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
120,
1
] |
Mathlib/Data/Option/Basic.lean
|
Option.pbind_eq_none
|
[
{
"state_after": "case none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nf : (a : α) → a ∈ none → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ none), f a H = none → none = none\n⊢ pbind none f = none ↔ none = none\n\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nval✝ : α\nf : (a : α) → a ∈ some val✝ → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ some val✝), f a H = none → some val✝ = none\n⊢ pbind (some val✝) f = none ↔ some val✝ = none",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nx : Option α\nf : (a : α) → a ∈ x → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ x), f a H = none → x = none\n⊢ pbind x f = none ↔ x = none",
"tactic": "cases x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nf : (a : α) → a ∈ none → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ none), f a H = none → none = none\n⊢ pbind none f = none ↔ none = none",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "case some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nval✝ : α\nf : (a : α) → a ∈ some val✝ → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ some val✝), f a H = none → some val✝ = none\n⊢ ¬f val✝ (_ : some val✝ = some val✝) = none",
"state_before": "case some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nval✝ : α\nf : (a : α) → a ∈ some val✝ → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ some val✝), f a H = none → some val✝ = none\n⊢ pbind (some val✝) f = none ↔ some val✝ = none",
"tactic": "simp only [pbind, iff_false]"
},
{
"state_after": "case some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nval✝ : α\nf : (a : α) → a ∈ some val✝ → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ some val✝), f a H = none → some val✝ = none\nh : f val✝ (_ : some val✝ = some val✝) = none\n⊢ False",
"state_before": "case some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nval✝ : α\nf : (a : α) → a ∈ some val✝ → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ some val✝), f a H = none → some val✝ = none\n⊢ ¬f val✝ (_ : some val✝ = some val✝) = none",
"tactic": "intro h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.11082\nδ : Type ?u.11085\np : α → Prop\nf✝ : (a : α) → p a → β\nval✝ : α\nf : (a : α) → a ∈ some val✝ → Option β\nh' : ∀ (a : α) (H : a ∈ some val✝), f a H = none → some val✝ = none\nh : f val✝ (_ : some val✝ = some val✝) = none\n⊢ False",
"tactic": "cases h' _ rfl h"
}
] |
[
219,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
213,
1
] |
Mathlib/FieldTheory/RatFunc.lean
|
RatFunc.ofFractionRing_sub
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "K : Type u\ninst✝ : CommRing K\np q : FractionRing K[X]\n⊢ { toFractionRing := p - q } = { toFractionRing := p } - { toFractionRing := q }",
"tactic": "simp only [Sub.sub, HSub.hSub, RatFunc.sub]"
}
] |
[
344,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
342,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/LinearIsometry.lean
|
LinearIsometryEquiv.norm_map
|
[] |
[
604,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
603,
1
] |
Mathlib/Computability/Halting.lean
|
Partrec.dom_re
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : Primcodable α\ninst✝ : Primcodable β\nf : α →. β\nh : Partrec f\nn : α\nx✝ : Unit\n⊢ x✝ ∈ Part.map (fun b => ()) (f n) ↔ x✝ ∈ Part.assert ((fun a => (f a).Dom) n) fun x => Part.some ()",
"tactic": "simp [Part.dom_iff_mem]"
}
] |
[
157,
96
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
155,
1
] |
Mathlib/Topology/Category/Profinite/Basic.lean
|
CompHaus.toProfinite_obj'
|
[] |
[
223,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
221,
1
] |
Mathlib/Order/Ideal.lean
|
Order.Ideal.mem_sup
|
[] |
[
423,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
422,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Alternating.lean
|
AlternatingMap.domDomCongr_trans
|
[] |
[
745,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
743,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
|
Finset.mul_nonempty
|
[] |
[
374,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
373,
1
] |
Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
|
Set.definable_finset_biUnion
|
[
{
"state_after": "M : Type w\nA : Set M\nL : Language\ninst✝ : Structure L M\nα : Type u₁\nβ : Type ?u.15580\nB : Set M\ns✝ : Set (α → M)\nι : Type u_1\nf : ι → Set (α → M)\nhf : ∀ (i : ι), Definable A L (f i)\ns : Finset ι\n⊢ Definable A L (Finset.sup s fun i => f i)",
"state_before": "M : Type w\nA : Set M\nL : Language\ninst✝ : Structure L M\nα : Type u₁\nβ : Type ?u.15580\nB : Set M\ns✝ : Set (α → M)\nι : Type u_1\nf : ι → Set (α → M)\nhf : ∀ (i : ι), Definable A L (f i)\ns : Finset ι\n⊢ Definable A L (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i)",
"tactic": "rw [← Finset.sup_set_eq_biUnion]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type w\nA : Set M\nL : Language\ninst✝ : Structure L M\nα : Type u₁\nβ : Type ?u.15580\nB : Set M\ns✝ : Set (α → M)\nι : Type u_1\nf : ι → Set (α → M)\nhf : ∀ (i : ι), Definable A L (f i)\ns : Finset ι\n⊢ Definable A L (Finset.sup s fun i => f i)",
"tactic": "exact definable_finset_sup hf s"
}
] |
[
137,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
134,
1
] |
Mathlib/Order/SymmDiff.lean
|
symmDiff_left_injective
|
[] |
[
518,
61
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
517,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
|
finSuccEquiv_succ
|
[] |
[
206,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
205,
1
] |
Mathlib/Algebra/Periodic.lean
|
Function.Antiperiodic.const_smul
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nf g : α → β\nc c₁ c₂ x✝ : α\ninst✝³ : AddMonoid α\ninst✝² : Neg β\ninst✝¹ : Group γ\ninst✝ : DistribMulAction γ α\nh : Antiperiodic f c\na : γ\nx : α\n⊢ (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x",
"tactic": "simpa only [smul_add, smul_inv_smul] using h (a • x)"
}
] |
[
460,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
458,
1
] |
Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
|
TrivSqZeroExt.algHom_ext'
|
[] |
[
796,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
794,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/PSub.lean
|
Nat.ppred_succ
|
[] |
[
42,
52
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
42,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
|
IsLocalizedModule.mk'_neg
|
[
{
"state_after": "R : Type u_3\ninst✝¹² : CommRing R\nS : Submonoid R\nM✝ : Type ?u.858600\nM'✝ : Type ?u.858603\nM'' : Type ?u.858606\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M''\ninst✝⁸ : Module R M✝\ninst✝⁷ : Module R M'✝\ninst✝⁶ : Module R M''\nf✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝\ng : M✝ →ₗ[R] M''\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝\nM : Type u_1\nM' : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm : M\ns : { x // x ∈ S }\n⊢ ↑(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (-m) s) = -↑(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)",
"state_before": "R : Type u_3\ninst✝¹² : CommRing R\nS : Submonoid R\nM✝ : Type ?u.858600\nM'✝ : Type ?u.858603\nM'' : Type ?u.858606\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M''\ninst✝⁸ : Module R M✝\ninst✝⁷ : Module R M'✝\ninst✝⁶ : Module R M''\nf✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝\ng : M✝ →ₗ[R] M''\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝\nM : Type u_1\nM' : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm : M\ns : { x // x ∈ S }\n⊢ mk' f (-m) s = -mk' f m s",
"tactic": "delta mk'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_3\ninst✝¹² : CommRing R\nS : Submonoid R\nM✝ : Type ?u.858600\nM'✝ : Type ?u.858603\nM'' : Type ?u.858606\ninst✝¹¹ : AddCommMonoid M✝\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝\ninst✝⁹ : AddCommMonoid M''\ninst✝⁸ : Module R M✝\ninst✝⁷ : Module R M'✝\ninst✝⁶ : Module R M''\nf✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝\ng : M✝ →ₗ[R] M''\ninst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝\nM : Type u_1\nM' : Type u_2\ninst✝⁴ : AddCommGroup M\ninst✝³ : AddCommGroup M'\ninst✝² : Module R M\ninst✝¹ : Module R M'\nf : M →ₗ[R] M'\ninst✝ : IsLocalizedModule S f\nm : M\ns : { x // x ∈ S }\n⊢ ↑(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (-m) s) = -↑(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)",
"tactic": "rw [LocalizedModule.mk_neg, map_neg]"
}
] |
[
986,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
983,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
|
Real.continuous_log'
|
[] |
[
317,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
316,
1
] |
Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
|
Int.modEq_add_fac
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ\nha : a ≡ b [ZMOD n]\n⊢ b + 0 ≡ b [ZMOD n]",
"tactic": "rw [add_zero]"
}
] |
[
289,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
285,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleNumber.lean
|
LiouvilleNumber.partialSum_add_remainder
|
[] |
[
104,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
102,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
|
ConvexCone.coe_top
|
[] |
[
191,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
190,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Valuation.lean
|
Valuation.subgroups_basis
|
[
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ₀ γ₁ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ k, ltAddSubgroup v k ≤ ltAddSubgroup v γ₀ ⊓ ltAddSubgroup v γ₁",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\n⊢ ∀ (i j : Γ₀ˣ), ∃ k, ltAddSubgroup v k ≤ ltAddSubgroup v i ⊓ ltAddSubgroup v j",
"tactic": "rintro γ₀ γ₁"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ₀ γ₁ : Γ₀ˣ\n⊢ ltAddSubgroup v (min γ₀ γ₁) ≤ ltAddSubgroup v γ₀ ⊓ ltAddSubgroup v γ₁",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ₀ γ₁ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ k, ltAddSubgroup v k ≤ ltAddSubgroup v γ₀ ⊓ ltAddSubgroup v γ₁",
"tactic": "use min γ₀ γ₁"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ₀ γ₁ : Γ₀ˣ\n⊢ ∀ (a : R), ↑v a < ↑γ₀ → ↑v a < ↑γ₁ → ↑v a < ↑γ₀",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ₀ γ₁ : Γ₀ˣ\n⊢ ltAddSubgroup v (min γ₀ γ₁) ≤ ltAddSubgroup v γ₀ ⊓ ltAddSubgroup v γ₁",
"tactic": "simp [Valuation.ltAddSubgroup]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ₀ γ₁ : Γ₀ˣ\n⊢ ∀ (a : R), ↑v a < ↑γ₀ → ↑v a < ↑γ₁ → ↑v a < ↑γ₀",
"tactic": "tauto"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) * ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\n⊢ ∀ (i : Γ₀ˣ), ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) * ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v i)",
"tactic": "rintro γ"
},
{
"state_after": "case intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) * ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) * ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "cases' exists_square_le γ with γ₀ h"
},
{
"state_after": "case intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v γ₀) * ↑(ltAddSubgroup v γ₀) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) * ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "use γ₀"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\nr s : R\nr_in : r ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ₀)\ns_in : s ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ₀)\n⊢ (fun x x_1 => x * x_1) r s ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v γ₀) * ↑(ltAddSubgroup v γ₀) ⊆ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rintro - ⟨r, s, r_in, s_in, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\nr s : R\nr_in : r ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ₀)\ns_in : s ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ₀)\n⊢ (fun x x_1 => x * x_1) r s ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "calc\n (v (r * s) : Γ₀) = v r * v s := Valuation.map_mul _ _ _\n _ < γ₀ * γ₀ := (mul_lt_mul₀ r_in s_in)\n _ ≤ γ := by exact_mod_cast h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nγ γ₀ : Γ₀ˣ\nh : γ₀ * γ₀ ≤ γ\nr s : R\nr_in : r ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ₀)\ns_in : s ∈ ↑(ltAddSubgroup v γ₀)\n⊢ ↑γ₀ * ↑γ₀ ≤ ↑γ",
"tactic": "exact_mod_cast h"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\n⊢ ∀ (x : R) (i : Γ₀ˣ), ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v i)",
"tactic": "rintro x γ"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)\n\ncase inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rcases GroupWithZero.eq_zero_or_unit (v x) with (Hx | ⟨γx, Hx⟩)"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v 1) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "use (1 : Γ₀ˣ)"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v 1) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rintro y _"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ ↑v (x * y) < ↑γ",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "change v (x * y) < _"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ 0 < ↑γ",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ ↑v (x * y) < ↑γ",
"tactic": "rw [Valuation.map_mul, Hx, MulZeroClass.zero_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ 0 < ↑γ",
"tactic": "exact Units.zero_lt γ"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "simp only [image_subset_iff, setOf_subset_setOf, preimage_setOf_eq, Valuation.map_mul]"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "use γx⁻¹ * γ"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rintro y (vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ))"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v (x * y) < ↑γ",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "change (v (x * y) : Γ₀) < γ"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v (x * y) < ↑γ",
"tactic": "rw [Valuation.map_mul, Hx, mul_comm]"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑γ * ↑γx⁻¹\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"tactic": "rw [Units.val_mul, mul_comm] at vy_lt"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑γ * ↑γx⁻¹\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"tactic": "simpa using mul_inv_lt_of_lt_mul₀ vy_lt"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\n⊢ ∀ (x : R) (i : Γ₀ˣ), ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v i)",
"tactic": "rintro x γ"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)\n\ncase inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rcases GroupWithZero.eq_zero_or_unit (v x) with (Hx | ⟨γx, Hx⟩)"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v 1) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "use 1"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v 1) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rintro y _"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ ↑v (y * x) < ↑γ",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "change v (y * x) < _"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ 0 < ↑γ",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ ↑v (y * x) < ↑γ",
"tactic": "rw [Valuation.map_mul, Hx, MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nHx : ↑v x = 0\ny : R\na✝ : y ∈ ↑(ltAddSubgroup v 1)\n⊢ 0 < ↑γ",
"tactic": "exact Units.zero_lt γ"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ∃ j, ↑(ltAddSubgroup v j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "use γx⁻¹ * γ"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\n⊢ ↑(ltAddSubgroup v (γx⁻¹ * γ)) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "rintro y (vy_lt : v y < ↑(γx⁻¹ * γ))"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v (y * x) < ↑γ",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ y ∈ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(ltAddSubgroup v γ)",
"tactic": "change (v (y * x) : Γ₀) < γ"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v (y * x) < ↑γ",
"tactic": "rw [Valuation.map_mul, Hx]"
},
{
"state_after": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑γ * ↑γx⁻¹\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑(γx⁻¹ * γ)\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"tactic": "rw [Units.val_mul, mul_comm] at vy_lt"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nΓ₀ : Type v\ninst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀\nv : Valuation R Γ₀\nx : R\nγ : Γ₀ˣ\nγx : ((fun x => Γ₀) x)ˣ\nHx : ↑v x = ↑γx\ny : R\nvy_lt : ↑v y < ↑γ * ↑γx⁻¹\n⊢ ↑v y * ↑γx < ↑γ",
"tactic": "simpa using mul_inv_lt_of_lt_mul₀ vy_lt"
}
] |
[
82,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
39,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
|
MetricSpace.replaceUniformity_eq
|
[
{
"state_after": "case h.dist.h.h\nα : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.562313\nι : Type ?u.562316\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nγ✝ : Type w\ninst✝ : MetricSpace γ✝\nγ : Type u_1\nU : UniformSpace γ\nm : MetricSpace γ\nH : 𝓤 γ = 𝓤 γ\nx✝¹ x✝ : γ\n⊢ dist x✝¹ x✝ = dist x✝¹ x✝",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.562313\nι : Type ?u.562316\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nγ✝ : Type w\ninst✝ : MetricSpace γ✝\nγ : Type u_1\nU : UniformSpace γ\nm : MetricSpace γ\nH : 𝓤 γ = 𝓤 γ\n⊢ replaceUniformity m H = m",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.dist.h.h\nα : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.562313\nι : Type ?u.562316\ninst✝¹ : PseudoMetricSpace α\nγ✝ : Type w\ninst✝ : MetricSpace γ✝\nγ : Type u_1\nU : UniformSpace γ\nm : MetricSpace γ\nH : 𝓤 γ = 𝓤 γ\nx✝¹ x✝ : γ\n⊢ dist x✝¹ x✝ = dist x✝¹ x✝",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
2977,
11
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2975,
1
] |
Mathlib/Data/Subtype.lean
|
Subtype.coe_injective
|
[] |
[
122,
91
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
122,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
|
IsAbsoluteValue.abs_abv_sub_le_abv_sub
|
[] |
[
442,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
441,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
|
integral_comp_polarCoord_symm
|
[
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"tactic": "set B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p =>\n LinearMap.toContinuousLinearMap (Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)\n !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"tactic": "have A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt polarCoord.symm (B p) p := fun p _ =>\n hasFDerivAt_polarCoord_symm p"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"tactic": "have B_det : ∀ p, (B p).det = p.1 := by\n intro p\n conv_rhs => rw [← one_mul p.1, ← cos_sq_add_sin_sq p.2]\n simp only [neg_mul, LinearMap.det_toContinuousLinearMap, LinearMap.det_toLin,\n Matrix.det_fin_two_of, sub_neg_eq_add]\n ring"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ), f p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p",
"tactic": "symm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ), f p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)",
"tactic": "calc\n (∫ p, f p) = ∫ p in polarCoord.source, f p := by\n rw [← integral_univ]\n apply set_integral_congr_set_ae\n exact polarCoord_source_ae_eq_univ.symm\n _ = ∫ p in polarCoord.target, abs (B p).det • f (polarCoord.symm p) := by\n apply integral_target_eq_integral_abs_det_fderiv_smul volume A\n _ = ∫ p in polarCoord.target, p.1 • f (polarCoord.symm p) := by\n apply set_integral_congr polarCoord.open_target.measurableSet fun x hx => ?_\n rw [B_det, abs_of_pos]\n exact hx.1"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\np : ℝ × ℝ\n⊢ ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\n⊢ ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst",
"tactic": "intro p"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\np : ℝ × ℝ\n⊢ ContinuousLinearMap.det (B p) = (cos p.snd ^ 2 + sin p.snd ^ 2) * p.fst",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\np : ℝ × ℝ\n⊢ ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst",
"tactic": "conv_rhs => rw [← one_mul p.1, ← cos_sq_add_sin_sq p.2]"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\np : ℝ × ℝ\n⊢ cos p.snd * (p.fst * cos p.snd) + p.fst * sin p.snd * sin p.snd = (cos p.snd ^ 2 + sin p.snd ^ 2) * p.fst",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\np : ℝ × ℝ\n⊢ ContinuousLinearMap.det (B p) = (cos p.snd ^ 2 + sin p.snd ^ 2) * p.fst",
"tactic": "simp only [neg_mul, LinearMap.det_toContinuousLinearMap, LinearMap.det_toLin,\n Matrix.det_fin_two_of, sub_neg_eq_add]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\np : ℝ × ℝ\n⊢ cos p.snd * (p.fst * cos p.snd) + p.fst * sin p.snd * sin p.snd = (cos p.snd ^ 2 + sin p.snd ^ 2) * p.fst",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (x : ℝ × ℝ) in univ, f x) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.source, f p",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ), f p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.source, f p",
"tactic": "rw [← integral_univ]"
},
{
"state_after": "case hst\nE : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ univ =ᵐ[volume] polarCoord.source",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (x : ℝ × ℝ) in univ, f x) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.source, f p",
"tactic": "apply set_integral_congr_set_ae"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hst\nE : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ univ =ᵐ[volume] polarCoord.source",
"tactic": "exact polarCoord_source_ae_eq_univ.symm"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.source, f p) =\n ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, abs (ContinuousLinearMap.det (B p)) • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)",
"tactic": "apply integral_target_eq_integral_abs_det_fderiv_smul volume A"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\nx : ℝ × ℝ\nhx : x ∈ polarCoord.target\n⊢ abs (ContinuousLinearMap.det (B x)) • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) x) =\n x.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) x)",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\n⊢ (∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, abs (ContinuousLinearMap.det (B p)) • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)) =\n ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) p)",
"tactic": "apply set_integral_congr polarCoord.open_target.measurableSet fun x hx => ?_"
},
{
"state_after": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\nx : ℝ × ℝ\nhx : x ∈ polarCoord.target\n⊢ 0 < x.fst",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\nx : ℝ × ℝ\nhx : x ∈ polarCoord.target\n⊢ abs (ContinuousLinearMap.det (B x)) • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) x) =\n x.fst • f (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord) x)",
"tactic": "rw [B_det, abs_of_pos]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : Type u_1\ninst✝² : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ E\ninst✝ : CompleteSpace E\nf : ℝ × ℝ → E\nB : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ :=\n fun p =>\n ↑LinearMap.toContinuousLinearMap\n (↑(Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ))\n (↑Matrix.of ![![cos p.snd, -p.fst * sin p.snd], ![sin p.snd, p.fst * cos p.snd]]))\nA :\n ∀ (p : ℝ × ℝ),\n p ∈ (LocalHomeomorph.symm polarCoord).toLocalEquiv.source → HasFDerivAt (↑(LocalHomeomorph.symm polarCoord)) (B p) p\nB_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), ContinuousLinearMap.det (B p) = p.fst\nx : ℝ × ℝ\nhx : x ∈ polarCoord.target\n⊢ 0 < x.fst",
"tactic": "exact hx.1"
}
] |
[
158,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
133,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Option.lean
|
Equiv.optionCongr_eq_equivFunctor_mapEquiv
|
[] |
[
66,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
64,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
|
Basis.equivFun_ofEquivFun
|
[
{
"state_after": "case h.h\nι : Type u_3\nι' : Type ?u.700635\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.700641\nK : Type ?u.700644\nM : Type u_2\nM' : Type ?u.700650\nM'' : Type ?u.700653\nV : Type u\nV' : Type ?u.700658\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommMonoid M'\ninst✝¹ : Module R M'\ninst✝ : Fintype ι\nb : Basis ι R M\ne : M ≃ₗ[R] ι → R\nj : M\nx✝ : ι\n⊢ ↑(equivFun (ofEquivFun e)) j x✝ = ↑e j x✝",
"state_before": "ι : Type u_3\nι' : Type ?u.700635\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.700641\nK : Type ?u.700644\nM : Type u_2\nM' : Type ?u.700650\nM'' : Type ?u.700653\nV : Type u\nV' : Type ?u.700658\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommMonoid M'\ninst✝¹ : Module R M'\ninst✝ : Fintype ι\nb : Basis ι R M\ne : M ≃ₗ[R] ι → R\n⊢ equivFun (ofEquivFun e) = e",
"tactic": "ext j"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.h\nι : Type u_3\nι' : Type ?u.700635\nR : Type u_1\nR₂ : Type ?u.700641\nK : Type ?u.700644\nM : Type u_2\nM' : Type ?u.700650\nM'' : Type ?u.700653\nV : Type u\nV' : Type ?u.700658\ninst✝⁵ : Semiring R\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : AddCommMonoid M'\ninst✝¹ : Module R M'\ninst✝ : Fintype ι\nb : Basis ι R M\ne : M ≃ₗ[R] ι → R\nj : M\nx✝ : ι\n⊢ ↑(equivFun (ofEquivFun e)) j x✝ = ↑e j x✝",
"tactic": "simp_rw [Basis.equivFun_apply, Basis.ofEquivFun_repr_apply]"
}
] |
[
986,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
984,
1
] |
Mathlib/Control/Traversable/Instances.lean
|
Sum.comp_traverse
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "σ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝³ : Applicative F\ninst✝² : Applicative G\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα β γ : Type u\nf : β → F γ\ng : α → G β\nx : σ ⊕ α\n⊢ Sum.traverse (Comp.mk ∘ (fun x x_1 => x <$> x_1) f ∘ g) x = Comp.mk (Sum.traverse f <$> Sum.traverse g x)",
"tactic": "cases x <;> simp! [Sum.traverse, map_id, functor_norm] <;> rfl"
}
] |
[
174,
65
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
171,
11
] |
Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
|
IsLocallyConstant.iff_isOpen_fiber_apply
|
[] |
[
107,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
106,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
|
uniformContinuous_of_tendsto_one
|
[
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\nthis : ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) = fun x => ↑f (x.snd / x.fst)\n⊢ UniformContinuous ↑f",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\n⊢ UniformContinuous ↑f",
"tactic": "have :\n ((fun x : β × β => x.2 / x.1) ∘ fun x : α × α => (f x.1, f x.2)) = fun x : α × α =>\n f (x.2 / x.1) := by ext; simp only [Function.comp_apply, map_div]"
},
{
"state_after": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\nthis : ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) = fun x => ↑f (x.snd / x.fst)\n⊢ Tendsto (fun x => ↑f (x.snd / x.fst)) (comap (fun x => x.snd / x.fst) (𝓝 1)) (𝓝 1)",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\nthis : ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) = fun x => ↑f (x.snd / x.fst)\n⊢ UniformContinuous ↑f",
"tactic": "rw [UniformContinuous, uniformity_eq_comap_nhds_one α, uniformity_eq_comap_nhds_one β,\n tendsto_comap_iff, this]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\nthis : ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) = fun x => ↑f (x.snd / x.fst)\n⊢ Tendsto (fun x => ↑f (x.snd / x.fst)) (comap (fun x => x.snd / x.fst) (𝓝 1)) (𝓝 1)",
"tactic": "exact Tendsto.comp h tendsto_comap"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\nx✝ : α × α\n⊢ ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) x✝ = ↑f (x✝.snd / x✝.fst)",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\n⊢ ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) = fun x => ↑f (x.snd / x.fst)",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_3\nβ : Type u_2\ninst✝⁶ : UniformSpace α\ninst✝⁵ : Group α\ninst✝⁴ : UniformGroup α\nhom : Type u_1\ninst✝³ : UniformSpace β\ninst✝² : Group β\ninst✝¹ : UniformGroup β\ninst✝ : MonoidHomClass hom α β\nf : hom\nh : Tendsto (↑f) (𝓝 1) (𝓝 1)\nx✝ : α × α\n⊢ ((fun x => x.snd / x.fst) ∘ fun x => (↑f x.fst, ↑f x.snd)) x✝ = ↑f (x✝.snd / x✝.fst)",
"tactic": "simp only [Function.comp_apply, map_div]"
}
] |
[
391,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
384,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
|
TendstoUniformly.mul
|
[] |
[
512,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
510,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean
|
List.subset_def
|
[] |
[
229,
83
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
229,
1
] |
Mathlib/Algebra/Hom/Iterate.lean
|
RingHom.iterate_map_zero
|
[] |
[
136,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
135,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
|
isBounded_ge_atTop
|
[] |
[
118,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
116,
1
] |
Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
|
Finset.toFinset_coe
|
[] |
[
804,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
803,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Intervals/Basic.lean
|
Set.not_mem_Icc_of_lt
|
[] |
[
718,
79
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
718,
1
] |
Mathlib/Order/Antichain.lean
|
IsLeast.antichain_iff
|
[] |
[
245,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
244,
1
] |
Mathlib/Data/Num/Bitwise.lean
|
SNum.bit_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "b : Bool\n⊢ (b::zero b) = zero b",
"tactic": "cases b <;> rfl"
}
] |
[
331,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
331,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
|
isComplete_iff_clusterPt
|
[] |
[
322,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
319,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Image.lean
|
Set.range_inl_union_range_inr
|
[] |
[
899,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
898,
1
] |
Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
|
Order.succ_eq_iff_isMax
|
[] |
[
405,
67
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
404,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
|
MeasureTheory.nonempty_inter_of_measure_lt_add
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.43834\nγ : Type ?u.43837\nδ : Type ?u.43840\nι : Type ?u.43843\nR : Type ?u.43846\nR' : Type ?u.43849\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ μ₁ μ₂ : Measure α\ns✝ s₁ s₂ t✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\ns t u : Set α\nht : MeasurableSet t\nh's : s ⊆ u\nh't : t ⊆ u\nh : ↑↑μ u < ↑↑μ s + ↑↑μ t\n⊢ ¬Disjoint s t",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.43834\nγ : Type ?u.43837\nδ : Type ?u.43840\nι : Type ?u.43843\nR : Type ?u.43846\nR' : Type ?u.43849\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ μ₁ μ₂ : Measure α\ns✝ s₁ s₂ t✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\ns t u : Set α\nht : MeasurableSet t\nh's : s ⊆ u\nh't : t ⊆ u\nh : ↑↑μ u < ↑↑μ s + ↑↑μ t\n⊢ Set.Nonempty (s ∩ t)",
"tactic": "rw [← Set.not_disjoint_iff_nonempty_inter]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.43834\nγ : Type ?u.43837\nδ : Type ?u.43840\nι : Type ?u.43843\nR : Type ?u.43846\nR' : Type ?u.43849\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ μ₁ μ₂ : Measure α\ns✝ s₁ s₂ t✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\ns t u : Set α\nht : MeasurableSet t\nh's : s ⊆ u\nh't : t ⊆ u\nh : Disjoint s t\n⊢ ↑↑μ s + ↑↑μ t ≤ ↑↑μ u",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.43834\nγ : Type ?u.43837\nδ : Type ?u.43840\nι : Type ?u.43843\nR : Type ?u.43846\nR' : Type ?u.43849\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ μ₁ μ₂ : Measure α\ns✝ s₁ s₂ t✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\ns t u : Set α\nht : MeasurableSet t\nh's : s ⊆ u\nh't : t ⊆ u\nh : ↑↑μ u < ↑↑μ s + ↑↑μ t\n⊢ ¬Disjoint s t",
"tactic": "contrapose! h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.43834\nγ : Type ?u.43837\nδ : Type ?u.43840\nι : Type ?u.43843\nR : Type ?u.43846\nR' : Type ?u.43849\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ μ₁ μ₂ : Measure α\ns✝ s₁ s₂ t✝ : Set α\nm : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\ns t u : Set α\nht : MeasurableSet t\nh's : s ⊆ u\nh't : t ⊆ u\nh : Disjoint s t\n⊢ ↑↑μ s + ↑↑μ t ≤ ↑↑μ u",
"tactic": "calc\n μ s + μ t = μ (s ∪ t) := (measure_union h ht).symm\n _ ≤ μ u := measure_mono (union_subset h's h't)"
}
] |
[
435,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
428,
1
] |
Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
|
Bool.or_le
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "⊢ ∀ {x y z : Bool}, x ≤ z → y ≤ z → (x || y) ≤ z",
"tactic": "decide"
}
] |
[
370,
69
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
370,
1
] |
Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
|
IsBaseChange.comp
|
[
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²³ : AddCommMonoid M\ninst✝²² : AddCommMonoid N\ninst✝²¹ : CommRing R\ninst✝²⁰ : CommRing S\ninst✝¹⁹ : Algebra R S\ninst✝¹⁸ : Module R M\ninst✝¹⁷ : Module R N\ninst✝¹⁶ : Module S N\ninst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid P\ninst✝¹³ : Module R P\ninst✝¹² : AddCommMonoid Q\ninst✝¹¹ : Module S Q\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing T\ninst✝⁹ : Algebra R T\ninst✝⁸ : Algebra S T\ninst✝⁷ : IsScalarTower R S T\ninst✝⁶ : AddCommMonoid O\ninst✝⁵ : Module R O\ninst✝⁴ : Module S O\ninst✝³ : Module T O\ninst✝² : IsScalarTower S T O\ninst✝¹ : IsScalarTower R S O\ninst✝ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\n⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ u_2 u_3)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module T Q]\n [inst_3 : IsScalarTower R T Q] (g_1 : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = g_1",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²³ : AddCommMonoid M\ninst✝²² : AddCommMonoid N\ninst✝²¹ : CommRing R\ninst✝²⁰ : CommRing S\ninst✝¹⁹ : Algebra R S\ninst✝¹⁸ : Module R M\ninst✝¹⁷ : Module R N\ninst✝¹⁶ : Module S N\ninst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid P\ninst✝¹³ : Module R P\ninst✝¹² : AddCommMonoid Q\ninst✝¹¹ : Module S Q\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing T\ninst✝⁹ : Algebra R T\ninst✝⁸ : Algebra S T\ninst✝⁷ : IsScalarTower R S T\ninst✝⁶ : AddCommMonoid O\ninst✝⁵ : Module R O\ninst✝⁴ : Module S O\ninst✝³ : Module T O\ninst✝² : IsScalarTower S T O\ninst✝¹ : IsScalarTower R S O\ninst✝ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\n⊢ IsBaseChange T (LinearMap.comp (↑R g) f)",
"tactic": "apply IsBaseChange.of_lift_unique"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²³ : AddCommMonoid M\ninst✝²² : AddCommMonoid N\ninst✝²¹ : CommRing R\ninst✝²⁰ : CommRing S\ninst✝¹⁹ : Algebra R S\ninst✝¹⁸ : Module R M\ninst✝¹⁷ : Module R N\ninst✝¹⁶ : Module S N\ninst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁴ : AddCommMonoid P\ninst✝¹³ : Module R P\ninst✝¹² : AddCommMonoid Q\ninst✝¹¹ : Module S Q\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁰ : CommRing T\ninst✝⁹ : Algebra R T\ninst✝⁸ : Algebra S T\ninst✝⁷ : IsScalarTower R S T\ninst✝⁶ : AddCommMonoid O\ninst✝⁵ : Module R O\ninst✝⁴ : Module S O\ninst✝³ : Module T O\ninst✝² : IsScalarTower S T O\ninst✝¹ : IsScalarTower R S O\ninst✝ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\n⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ u_2 u_3)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module T Q]\n [inst_3 : IsScalarTower R T Q] (g_1 : M →ₗ[R] Q), ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = g_1",
"tactic": "intro Q _ _ _ _ i"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"tactic": "letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"tactic": "haveI : IsScalarTower S T Q :=\n ⟨fun x y z => by\n rw [Algebra.smul_def, mul_smul]\n rfl⟩"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"tactic": "have : IsScalarTower R S Q := by\n refine' ⟨fun x y z => _⟩\n change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z\n rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]\n rfl"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\n⊢ ∀ (y : O →ₗ[T] Q), (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i) y → y = lift hg (lift hf i)",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\n⊢ ∃! g', LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i",
"tactic": "refine'\n ⟨hg.lift (hf.lift i), by\n ext\n simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\n⊢ g' = lift hg (lift hf i)",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\n⊢ ∀ (y : O →ₗ[T] Q), (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i) y → y = lift hg (lift hf i)",
"tactic": "rintro g' (e : _ = _)"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\n⊢ LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f = LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S (lift hg (lift hf i))) g)) f",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\n⊢ g' = lift hg (lift hf i)",
"tactic": "refine' hg.alg_hom_ext' _ _ (hf.alg_hom_ext' _ _ _)"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\n⊢ LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f = LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f)",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\n⊢ LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f = LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S (lift hg (lift hf i))) g)) f",
"tactic": "rw [IsBaseChange.lift_comp, IsBaseChange.lift_comp, ← e]"
},
{
"state_after": "case h.h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\nx✝ : M\n⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f) x✝ = ↑(LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f)) x✝",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\n⊢ LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f = LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f)",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\ng' : O →ₗ[T] Q\ne : LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i\nx✝ : M\n⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (LinearMap.comp (↑S g') g)) f) x✝ = ↑(LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f)) x✝",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nx : S\ny : T\nz : Q\n⊢ ↑(algebraMap S T) x • y • z = x • y • z",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nx : S\ny : T\nz : Q\n⊢ (x • y) • z = x • y • z",
"tactic": "rw [Algebra.smul_def, mul_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nx : S\ny : T\nz : Q\n⊢ ↑(algebraMap S T) x • y • z = x • y • z",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\nx : R\ny : S\nz : Q\n⊢ (x • y) • z = x • y • z",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\n⊢ IsScalarTower R S Q",
"tactic": "refine' ⟨fun x y z => _⟩"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\nx : R\ny : S\nz : Q\n⊢ ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • ↑(algebraMap S T) y • z",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\nx : R\ny : S\nz : Q\n⊢ (x • y) • z = x • y • z",
"tactic": "change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z"
},
{
"state_after": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\nx : R\ny : S\nz : Q\n⊢ x • ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S T) y • z = x • ↑(algebraMap S T) y • z",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\nx : R\ny : S\nz : Q\n⊢ ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • ↑(algebraMap S T) y • z",
"tactic": "rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis : IsScalarTower S T Q\nx : R\ny : S\nz : Q\n⊢ x • ↑(IsScalarTower.toAlgHom R S T) y • z = x • ↑(algebraMap S T) y • z",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\nx✝ : M\n⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (lift hg (lift hf i))) (LinearMap.comp (↑R g) f)) x✝ = ↑i x✝",
"state_before": "R : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\n⊢ (fun g' => LinearMap.comp (↑R g') (LinearMap.comp (↑R g) f) = i) (lift hg (lift hf i))",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nR : Type u_1\nM : Type v₁\nN : Type v₂\nS : Type v₃\ninst✝²⁷ : AddCommMonoid M\ninst✝²⁶ : AddCommMonoid N\ninst✝²⁵ : CommRing R\ninst✝²⁴ : CommRing S\ninst✝²³ : Algebra R S\ninst✝²² : Module R M\ninst✝²¹ : Module R N\ninst✝²⁰ : Module S N\ninst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N\nf✝ : M →ₗ[R] N\nh : IsBaseChange S f✝\nP : Type ?u.535021\nQ✝ : Type ?u.535024\ninst✝¹⁸ : AddCommMonoid P\ninst✝¹⁷ : Module R P\ninst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝\ninst✝¹⁵ : Module S Q✝\nT : Type u_3\nO : Type u_2\ninst✝¹⁴ : CommRing T\ninst✝¹³ : Algebra R T\ninst✝¹² : Algebra S T\ninst✝¹¹ : IsScalarTower R S T\ninst✝¹⁰ : AddCommMonoid O\ninst✝⁹ : Module R O\ninst✝⁸ : Module S O\ninst✝⁷ : Module T O\ninst✝⁶ : IsScalarTower S T O\ninst✝⁵ : IsScalarTower R S O\ninst✝⁴ : IsScalarTower R T O\nf : M →ₗ[R] N\nhf : IsBaseChange S f\ng : N →ₗ[S] O\nhg : IsBaseChange T g\nQ : Type (max v₁ u_2 u_3)\ninst✝³ : AddCommMonoid Q\ninst✝² : Module R Q\ninst✝¹ : Module T Q\ninst✝ : IsScalarTower R T Q\ni : M →ₗ[R] Q\nthis✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)\nthis✝ : IsScalarTower S T Q\nthis : IsScalarTower R S Q\nx✝ : M\n⊢ ↑(LinearMap.comp (↑R (lift hg (lift hf i))) (LinearMap.comp (↑R g) f)) x✝ = ↑i x✝",
"tactic": "simp [IsBaseChange.lift_eq]"
}
] |
[
360,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
338,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
|
lift_nhds_right
|
[
{
"state_after": "α : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.77892\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\ng : Set α → Filter β\nhg : Monotone g\n⊢ Filter.lift (𝓤 α) (g ∘ preimage fun y => (y, x)) = Filter.lift (𝓤 α) fun s => g {y | (y, x) ∈ s}",
"state_before": "α : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.77892\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\ng : Set α → Filter β\nhg : Monotone g\n⊢ Filter.lift (𝓝 x) g = Filter.lift (𝓤 α) fun s => g {y | (y, x) ∈ s}",
"tactic": "rw [nhds_eq_comap_uniformity', comap_lift_eq2 hg]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ua\nβ : Type ub\nγ : Type uc\nδ : Type ud\nι : Sort ?u.77892\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\ng : Set α → Filter β\nhg : Monotone g\n⊢ Filter.lift (𝓤 α) (g ∘ preimage fun y => (y, x)) = Filter.lift (𝓤 α) fun s => g {y | (y, x) ∈ s}",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
876,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
873,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Eval.lean
|
Polynomial.isRoot_prod
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R✝ : Type u\nS : Type v\nT : Type w\nι✝ : Type y\na b : R✝\nm n : ℕ\ninst✝³ : CommSemiring R✝\np✝ q : R✝[X]\nx✝ : R✝\ninst✝² : CommSemiring S\nf : R✝ →+* S\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : IsDomain R\nι : Type u_2\ns : Finset ι\np : ι → R[X]\nx : R\n⊢ IsRoot (∏ j in s, p j) x ↔ ∃ i, i ∈ s ∧ IsRoot (p i) x",
"tactic": "simp only [IsRoot, eval_prod, Finset.prod_eq_zero_iff]"
}
] |
[
1153,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1151,
1
] |
Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
|
QuaternionAlgebra.self_add_star
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "S : Type ?u.309689\nT : Type ?u.309692\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nc₁ c₂ r x y z : R\na b c : ℍ[R,c₁,c₂]\n⊢ a + star a = 2 * ↑a.re",
"tactic": "simp only [self_add_star', two_mul, coe_add]"
}
] |
[
652,
97
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
652,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
|
IsCompact.cthickening_eq_biUnion_closedBall
|
[
{
"state_after": "case inl\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nhδ : 0 ≤ δ\nhE : IsCompact ∅\n⊢ cthickening δ ∅ = ⋃ (x : α) (_ : x ∈ ∅), closedBall x δ\n\ncase inr\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\n⊢ cthickening δ E = ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"state_before": "ι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\n⊢ cthickening δ E = ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"tactic": "rcases eq_empty_or_nonempty E with (rfl | hne)"
},
{
"state_after": "case inr\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"state_before": "case inr\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\n⊢ cthickening δ E = ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"tactic": "refine Subset.antisymm (fun x hx ↦ ?_)\n (iUnion₂_subset fun x hx ↦ closedBall_subset_cthickening hx _)"
},
{
"state_after": "case inr.intro.intro\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"state_before": "case inr\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"tactic": "obtain ⟨y, yE, hy⟩ : ∃ y ∈ E, infEdist x E = edist x y := hE.exists_infEdist_eq_edist hne _"
},
{
"state_after": "case inr.intro.intro\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"state_before": "case inr.intro.intro\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"tactic": "have D1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ := (le_of_eq hy.symm).trans hx"
},
{
"state_after": "case inr.intro.intro\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ\nD2 : dist x y ≤ δ\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"state_before": "case inr.intro.intro\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"tactic": "have D2 : dist x y ≤ δ := by\n rw [edist_dist] at D1\n exact (ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff hδ).1 D1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.intro.intro\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ\nD2 : dist x y ≤ δ\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ E), closedBall x δ",
"tactic": "exact mem_biUnion yE D2"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nhδ : 0 ≤ δ\nhE : IsCompact ∅\n⊢ cthickening δ ∅ = ⋃ (x : α) (_ : x ∈ ∅), closedBall x δ",
"tactic": "simp only [cthickening_empty, biUnion_empty]"
},
{
"state_after": "ι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ\n⊢ dist x y ≤ δ",
"state_before": "ι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ\n⊢ dist x y ≤ δ",
"tactic": "rw [edist_dist] at D1"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Sort ?u.147332\nα✝ : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝\nδ✝ ε : ℝ\ns t : Set α✝\nx✝ : α✝\nα : Type u_1\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nδ : ℝ\nE : Set α\nhE : IsCompact E\nhδ : 0 ≤ δ\nhne : Set.Nonempty E\nx : α\nhx : x ∈ cthickening δ E\ny : α\nyE : y ∈ E\nhy : infEdist x E = edist x y\nD1 : ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ\n⊢ dist x y ≤ δ",
"tactic": "exact (ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff hδ).1 D1"
}
] |
[
1419,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1407,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
|
Multiset.Rel.countp_eq
|
[
{
"state_after": "case empty\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns t✝ : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s t✝\nt : Multiset α\nh : Rel r 0 t\n⊢ countp (r x) 0 = countp (r x) t\n\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t✝ : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t✝\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nt : Multiset α\nh : Rel r (y ::ₘ s) t\n⊢ countp (r x) (y ::ₘ s) = countp (r x) t",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh : Rel r s t\n⊢ countp (r x) s = countp (r x) t",
"tactic": "induction' s using Multiset.induction_on with y s ih generalizing t"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case empty\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns t✝ : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s t✝\nt : Multiset α\nh : Rel r 0 t\n⊢ countp (r x) 0 = countp (r x) t",
"tactic": "rw [rel_zero_left.mp h]"
},
{
"state_after": "case cons.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nb : α\nbs : Multiset α\nhb1 : r y b\nhb2 : Rel r s bs\nh : Rel r (y ::ₘ s) (b ::ₘ bs)\n⊢ countp (r x) (y ::ₘ s) = countp (r x) (b ::ₘ bs)",
"state_before": "case cons\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t✝ : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t✝\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nt : Multiset α\nh : Rel r (y ::ₘ s) t\n⊢ countp (r x) (y ::ₘ s) = countp (r x) t",
"tactic": "obtain ⟨b, bs, hb1, hb2, rfl⟩ := rel_cons_left.mp h"
},
{
"state_after": "case cons.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nb : α\nbs : Multiset α\nhb1 : r y b\nhb2 : Rel r s bs\nh : Rel r (y ::ₘ s) (b ::ₘ bs)\n⊢ (countp (r x) bs + if r x y then 1 else 0) = countp (r x) bs + if r x b then 1 else 0",
"state_before": "case cons.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nb : α\nbs : Multiset α\nhb1 : r y b\nhb2 : Rel r s bs\nh : Rel r (y ::ₘ s) (b ::ₘ bs)\n⊢ countp (r x) (y ::ₘ s) = countp (r x) (b ::ₘ bs)",
"tactic": "rw [countp_cons, countp_cons, ih hb2]"
},
{
"state_after": "case cons.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nb : α\nbs : Multiset α\nhb1 : r y b\nhb2 : Rel r s bs\nh : Rel r (y ::ₘ s) (b ::ₘ bs)\n⊢ (if r x y then 1 else 0) = if r x b then 1 else 0",
"state_before": "case cons.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nb : α\nbs : Multiset α\nhb1 : r y b\nhb2 : Rel r s bs\nh : Rel r (y ::ₘ s) (b ::ₘ bs)\n⊢ (countp (r x) bs + if r x y then 1 else 0) = countp (r x) bs + if r x b then 1 else 0",
"tactic": "simp only [decide_eq_true_eq, add_right_inj]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case cons.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.476873\nγ : Type ?u.476876\nδ : Type ?u.476879\nr✝ : α → β → Prop\np : γ → δ → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝² : IsTrans α r\ninst✝¹ : IsSymm α r\ns✝ t : Multiset α\nx : α\ninst✝ : DecidablePred (r x)\nh✝ : Rel r s✝ t\ny : α\ns : Multiset α\nih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countp (r x) s = countp (r x) t\nb : α\nbs : Multiset α\nhb1 : r y b\nhb2 : Rel r s bs\nh : Rel r (y ::ₘ s) (b ::ₘ bs)\n⊢ (if r x y then 1 else 0) = if r x b then 1 else 0",
"tactic": "refine' (if_congr ⟨fun h => _root_.trans h hb1, fun h => _root_.trans h (symm hb1)⟩ rfl rfl)"
}
] |
[
2843,
97
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2836,
1
] |
Mathlib/Topology/Sets/Order.lean
|
ClopenUpperSet.upper
|
[] |
[
48,
11
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
47,
1
] |
Mathlib/Algebra/Hom/Group.lean
|
MulHom.cancel_left
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.168920\nβ : Type ?u.168923\nM : Type u_1\nN : Type u_2\nP : Type u_3\nG : Type ?u.168935\nH : Type ?u.168938\nF : Type ?u.168941\ninst✝² : Mul M\ninst✝¹ : Mul N\ninst✝ : Mul P\ng : N →ₙ* P\nf₁ f₂ : M →ₙ* N\nhg : Function.Injective ↑g\nh : comp g f₁ = comp g f₂\nx : M\n⊢ ↑g (↑f₁ x) = ↑g (↑f₂ x)",
"tactic": "rw [← MulHom.comp_apply, h, MulHom.comp_apply]"
}
] |
[
1199,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1196,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
|
PowerBasis.repr_pow_isIntegral
|
[
{
"state_after": "K : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i)",
"state_before": "K : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i)",
"tactic": "nontriviality A using Subsingleton.elim (x ^ n) 0, isIntegral_zero"
},
{
"state_after": "K : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\n⊢ (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i)",
"state_before": "K : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i)",
"tactic": "revert hx"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\n⊢ (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n 0\n\ncase refine'_2\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn✝ : ℕ\n✝ : Nontrivial A\nn : ℕ\nhn :\n ∀ (m : ℕ),\n m ≤ n →\n (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n m\n⊢ (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n (Nat.succ n)",
"state_before": "K : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\n⊢ (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i)",
"tactic": "refine' Nat.case_strong_induction_on\n (p := fun n ↦ _ → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (B.basis.repr (x ^ n) i))\n n _ fun n hn => _"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\n⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ 0)) i)",
"state_before": "case refine'_1\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\n⊢ (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n 0",
"tactic": "intro _ i"
},
{
"state_after": "case refine'_1\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\n⊢ IsIntegral R (if { val := 0, isLt := (_ : 0 < B.dim) } = i then 1 else 0)",
"state_before": "case refine'_1\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\n⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ 0)) i)",
"tactic": "rw [pow_zero, ← pow_zero B.gen, ← Fin.val_mk B.dim_pos, ← B.basis_eq_pow,\n B.basis.repr_self_apply]"
},
{
"state_after": "case refine'_1.inl\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\nh✝ : { val := 0, isLt := (_ : 0 < B.dim) } = i\n⊢ IsIntegral R 1\n\ncase refine'_1.inr\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\nh✝ : ¬{ val := 0, isLt := (_ : 0 < B.dim) } = i\n⊢ IsIntegral R 0",
"state_before": "case refine'_1\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\n⊢ IsIntegral R (if { val := 0, isLt := (_ : 0 < B.dim) } = i then 1 else 0)",
"tactic": "split_ifs"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1.inl\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\nh✝ : { val := 0, isLt := (_ : 0 < B.dim) } = i\n⊢ IsIntegral R 1",
"tactic": "exact isIntegral_one"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_1.inr\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn : ℕ\n✝ : Nontrivial A\na✝ : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\ni : Fin B.dim\nh✝ : ¬{ val := 0, isLt := (_ : 0 < B.dim) } = i\n⊢ IsIntegral R 0",
"tactic": "exact isIntegral_zero"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn✝ : ℕ\n✝ : Nontrivial A\nn : ℕ\nhn :\n ∀ (m : ℕ),\n m ≤ n →\n (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n m\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ Nat.succ n)) i)",
"state_before": "case refine'_2\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn✝ : ℕ\n✝ : Nontrivial A\nn : ℕ\nhn :\n ∀ (m : ℕ),\n m ≤ n →\n (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n m\n⊢ (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n (Nat.succ n)",
"tactic": "intro hx"
},
{
"state_after": "case refine'_2\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn✝ : ℕ\n✝ : Nontrivial A\nn : ℕ\nhn :\n ∀ (m : ℕ),\n m ≤ n →\n (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n m\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x * x ^ n)) i)",
"state_before": "case refine'_2\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn✝ : ℕ\n✝ : Nontrivial A\nn : ℕ\nhn :\n ∀ (m : ℕ),\n m ≤ n →\n (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n m\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ Nat.succ n)) i)",
"tactic": "rw [pow_succ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine'_2\nK : Type ?u.206197\nS : Type u_1\ninst✝¹¹ : Field K\ninst✝¹⁰ : CommRing S\ninst✝⁹ : Algebra K S\nR : Type u_3\ninst✝⁸ : CommRing R\ninst✝⁷ : Algebra R S\ninst✝⁶ : Algebra R K\ninst✝⁵ : IsScalarTower R K S\nA : Type u_2\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : Algebra R A\ninst✝² : Algebra S A\ninst✝¹ : IsScalarTower R S A\nB : PowerBasis S A\nhB : IsIntegral R B.gen\ninst✝ : IsDomain S\nx : A\nhmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)\nn✝ : ℕ\n✝ : Nontrivial A\nn : ℕ\nhn :\n ∀ (m : ℕ),\n m ≤ n →\n (fun n =>\n (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)) →\n ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x ^ n)) i))\n m\nhx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)\n⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x * x ^ n)) i)",
"tactic": "exact repr_mul_isIntegral hB hx (fun _ => hn _ le_rfl (fun _ => hx _) _) hmin"
}
] |
[
174,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
157,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
|
mul_add_mul_lt_mul_add_mul'
|
[
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type ?u.13770\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring α\na b c d : α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nhba : b < a\nhdc : d < c\n⊢ b • c + a • d < b • d + a • c",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type ?u.13770\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring α\na b c d : α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nhba : b < a\nhdc : d < c\n⊢ a • d + b • c < a • c + b • d",
"tactic": "rw [add_comm (a • d), add_comm (a • c)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type ?u.13770\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring α\na b c d : α\ninst✝ : ExistsAddOfLE α\nhba : b < a\nhdc : d < c\n⊢ b • c + a • d < b • d + a • c",
"tactic": "exact mul_add_mul_lt_mul_add_mul hba hdc"
}
] |
[
81,
43
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
78,
1
] |
Mathlib/Order/Category/LinOrdCat.lean
|
LinOrdCat.coe_of
|
[] |
[
51,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
50,
1
] |
Mathlib/Computability/Partrec.lean
|
Partrec.of_eq
|
[] |
[
433,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
432,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
|
ContinuousAt.cpow
|
[] |
[
139,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
137,
8
] |
Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
|
Computation.bind_pure
|
[
{
"state_after": "case bisim\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\n⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s\n\ncase r\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\n⊢ bind s (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, bind s (pure ∘ f) = bind s_1 (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\n⊢ bind s (pure ∘ f) = map f s",
"tactic": "apply eq_of_bisim fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s"
},
{
"state_after": "case bisim\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\nc₁ c₂ : Computation β\nh : c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s\n⊢ BisimO (fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s) (destruct c₁) (destruct c₂)",
"state_before": "case bisim\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\n⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s",
"tactic": "intro c₁ c₂ h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case bisim\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\nc₁ c₂ : Computation β\nh : c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s\n⊢ BisimO (fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s) (destruct c₁) (destruct c₂)",
"tactic": "exact\n match c₁, c₂, h with\n | _, c₂, Or.inl (Eq.refl _) => by cases' destruct c₂ with b cb <;> simp\n | _, _, Or.inr ⟨s, rfl, rfl⟩ => by\n apply recOn s <;> intro s <;> simp\n exact Or.inr ⟨s, rfl, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\nc₁ c₂✝ : Computation β\nh : c₁ = c₂✝ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂✝ = map f s\nc₂ : Computation β\n⊢ BisimO (fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s) (destruct c₂) (destruct c₂)",
"tactic": "cases' destruct c₂ with b cb <;> simp"
},
{
"state_after": "case h2\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns✝¹ : Computation α\nc₁ c₂ : Computation β\nh : c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s\ns✝ s : Computation α\n⊢ bind s (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, bind s (pure ∘ f) = bind s_1 (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns✝ : Computation α\nc₁ c₂ : Computation β\nh : c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s\ns : Computation α\n⊢ BisimO (fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s) (destruct (bind s (pure ∘ f)))\n (destruct (map f s))",
"tactic": "apply recOn s <;> intro s <;> simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h2\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns✝¹ : Computation α\nc₁ c₂ : Computation β\nh : c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = bind s (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s\ns✝ s : Computation α\n⊢ bind s (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, bind s (pure ∘ f) = bind s_1 (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1",
"tactic": "exact Or.inr ⟨s, rfl, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case r\nα : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\nf : α → β\ns : Computation α\n⊢ bind s (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, bind s (pure ∘ f) = bind s_1 (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1",
"tactic": "exact Or.inr ⟨s, rfl, rfl⟩"
}
] |
[
757,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
748,
1
] |
Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
|
BoxIntegral.hasIntegral_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u\nE : Type v\nF : Type w\ninst✝⁴ : NormedAddCommGroup E\ninst✝³ : NormedSpace ℝ E\ninst✝² : NormedAddCommGroup F\ninst✝¹ : NormedSpace ℝ F\nI J : Box ι\nπ : TaggedPrepartition I\ninst✝ : Fintype ι\nl : IntegrationParams\nf g : (ι → ℝ) → E\nvol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F\ny y' : F\n⊢ HasIntegral I l (fun x => 0) vol 0",
"tactic": "simpa only [← (vol I).map_zero] using hasIntegral_const (0 : E)"
}
] |
[
331,
66
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
330,
1
] |
Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
|
Pmf.bindOnSupport_pure
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.116357\nγ : Type ?u.116360\np✝ : Pmf α\nf : (a : α) → a ∈ support p✝ → Pmf β\np : Pmf α\n⊢ (bindOnSupport p fun a x => pure a) = p",
"tactic": "simp only [Pmf.bind_pure, Pmf.bindOnSupport_eq_bind]"
}
] |
[
274,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
273,
1
] |
Mathlib/Topology/LocalHomeomorph.lean
|
LocalHomeomorph.eqOnSource_iff
|
[] |
[
935,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
933,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Variables.lean
|
MvPolynomial.totalDegree_monomial
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.460088\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nc : R\nhc : c ≠ 0\n⊢ totalDegree (↑(monomial s) c) = sum s fun x e => e",
"tactic": "classical simp [totalDegree, support_monomial, if_neg hc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.460088\nr : R\ne : ℕ\nn m : σ\ns✝ : σ →₀ ℕ\ninst✝ : CommSemiring R\np q : MvPolynomial σ R\ns : σ →₀ ℕ\nc : R\nhc : c ≠ 0\n⊢ totalDegree (↑(monomial s) c) = sum s fun x e => e",
"tactic": "simp [totalDegree, support_monomial, if_neg hc]"
}
] |
[
718,
60
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
716,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullbacks.lean
|
CategoryTheory.Limits.pullbackConeOfRightIso_π_app_right
|
[] |
[
1715,
9
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1714,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
|
Real.cos_pi
|
[
{
"state_after": "⊢ 2 * 0 ^ 2 - 1 = -1",
"state_before": "⊢ cos π = -1",
"tactic": "rw [← mul_div_cancel_left π (two_ne_zero' ℝ), mul_div_assoc, cos_two_mul, cos_pi_div_two]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "⊢ 2 * 0 ^ 2 - 1 = -1",
"tactic": "norm_num"
}
] |
[
219,
11
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
217,
1
] |
Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
|
ContinuousMap.Homotopy.apply_zero
|
[] |
[
144,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
143,
1
] |
Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
|
intCast_smul
|
[] |
[
878,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
876,
1
] |
Mathlib/Algebra/Associated.lean
|
of_irreducible_mul
|
[] |
[
211,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
210,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
|
CategoryTheory.Limits.parallelPairHom_app_zero
|
[] |
[
271,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
268,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Rename.lean
|
MvPolynomial.exists_fin_rename
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\n⊢ ∃ n f _hf q_1, ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename f) q_1",
"state_before": "σ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\np : MvPolynomial σ R\n⊢ ∃ n f _hf q, p = ↑(rename f) q",
"tactic": "obtain ⟨s, q, rfl⟩ := exists_finset_rename p"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\n⊢ ∃ n f _hf q_1, ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename f) q_1",
"state_before": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\n⊢ ∃ n f _hf q_1, ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename f) q_1",
"tactic": "let n := Fintype.card { x // x ∈ s }"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\ne : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }\n⊢ ∃ n f _hf q_1, ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename f) q_1",
"state_before": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\n⊢ ∃ n f _hf q_1, ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename f) q_1",
"tactic": "let e := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\ne : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }\n⊢ ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename (Subtype.val ∘ ↑e.symm)) (↑(rename ↑e) q)",
"state_before": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\ne : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }\n⊢ ∃ n f _hf q_1, ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename f) q_1",
"tactic": "refine' ⟨n, (↑) ∘ e.symm, Subtype.val_injective.comp e.symm.injective, rename e q, _⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\ne : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }\n⊢ ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename Subtype.val) (↑(rename (↑e.symm ∘ ↑e)) q)",
"state_before": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\ne : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }\n⊢ ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename (Subtype.val ∘ ↑e.symm)) (↑(rename ↑e) q)",
"tactic": "rw [← rename_rename, rename_rename e]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nσ : Type u_1\nτ : Type ?u.859965\nα : Type ?u.859968\nR : Type u_2\nS : Type ?u.859974\ninst✝¹ : CommSemiring R\ninst✝ : CommSemiring S\ns : Finset σ\nq : MvPolynomial { x // x ∈ s } R\nn : ℕ := Fintype.card { x // x ∈ s }\ne : { x // x ∈ s } ≃ Fin (Fintype.card { x // x ∈ s }) := Fintype.equivFin { x // x ∈ s }\n⊢ ↑(rename Subtype.val) q = ↑(rename Subtype.val) (↑(rename (↑e.symm ∘ ↑e)) q)",
"tactic": "simp only [Function.comp, Equiv.symm_apply_apply, rename_rename]"
}
] |
[
281,
67
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
274,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
|
Real.sin_le_one
|
[] |
[
1267,
34
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1266,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff.lean
|
ContinuousLinearEquiv.comp_contDiff_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜\nD : Type uD\ninst✝⁹ : NormedAddCommGroup D\ninst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D\nE : Type uE\ninst✝⁷ : NormedAddCommGroup E\ninst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E\nF : Type uF\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F\nG : Type uG\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\nX : Type ?u.315358\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup X\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 X\ns s₁ t u : Set E\nf f₁ : E → F\ng : F → G\nx x₀ : E\nc : F\nb : E × F → G\nm n : ℕ∞\np : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F\ne : F ≃L[𝕜] G\n⊢ ContDiff 𝕜 n (↑e ∘ f) ↔ ContDiff 𝕜 n f",
"tactic": "simp only [← contDiffOn_univ, e.comp_contDiffOn_iff]"
}
] |
[
351,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
349,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
|
Polynomial.mem_annIdeal_iff_aeval_eq_zero
|
[] |
[
65,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
64,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Monad.lean
|
MvPolynomial.bind₁_id
|
[] |
[
219,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
218,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
|
inf_le_of_mem_convexHull
|
[] |
[
101,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
98,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
|
LipschitzWith.memℒp_comp_iff_of_antilipschitz
|
[] |
[
888,
98
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
885,
1
] |
Mathlib/Computability/Language.lean
|
Language.one_add_self_mul_kstar_eq_kstar
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.122274\nγ : Type ?u.122277\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\n⊢ (l ^ 0 + ⨆ (i : ℕ), l ^ (i + 1)) = ⨆ (i : ℕ), l ^ i",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.122274\nγ : Type ?u.122277\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\n⊢ 1 + l * l∗ = l∗",
"tactic": "simp only [kstar_eq_iSup_pow, mul_iSup, ← pow_succ, ← pow_zero l]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.122274\nγ : Type ?u.122277\nl✝ m : Language α\na b x : List α\nl : Language α\n⊢ (l ^ 0 + ⨆ (i : ℕ), l ^ (i + 1)) = ⨆ (i : ℕ), l ^ i",
"tactic": "exact sup_iSup_nat_succ _"
}
] |
[
287,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
285,
1
] |
Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
|
Cubic.of_d_eq_zero'
|
[] |
[
170,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
169,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Basic.lean
|
Set.subsingleton_of_subset_singleton
|
[] |
[
2354,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2353,
1
] |
Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
|
Set.toFinset_subset
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.85647\nγ : Type ?u.85650\ns t✝ : Set α\ninst✝ : Fintype ↑s\nt : Finset α\n⊢ toFinset s ⊆ t ↔ s ⊆ ↑t",
"tactic": "rw [← Finset.coe_subset, coe_toFinset]"
}
] |
[
678,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
677,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
|
MeasureTheory.ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_2\nE : Type ?u.1053184\nF : Type ?u.1053187\n𝕜 : Type ?u.1053190\ninst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E\ninst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E\ninst✝⁹ : CompleteSpace E\ninst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜\ninst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E\ninst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup F\ninst✝⁴ : NormedSpace ℝ F\ninst✝³ : CompleteSpace F\nf✝ g : α → E\nm : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\nX : Type ?u.1055881\ninst✝² : TopologicalSpace X\ninst✝¹ : FirstCountableTopology X\nG : Type u_1\ninst✝ : NormedAddCommGroup G\nf : α → G\nhf : Integrable f\n⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ",
"tactic": "rw [integral_norm_eq_lintegral_nnnorm hf.aestronglyMeasurable,\n ENNReal.ofReal_toReal (lt_top_iff_ne_top.mp hf.2)]"
}
] |
[
1149,
55
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1146,
1
] |
Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
|
zero_div
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.23516\nM₀ : Type ?u.23519\nG₀ : Type u_1\nM₀' : Type ?u.23525\nG₀' : Type ?u.23528\nF : Type ?u.23531\nF' : Type ?u.23534\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na✝ b c a : G₀\n⊢ 0 / a = 0",
"tactic": "rw [div_eq_mul_inv, zero_mul]"
}
] |
[
335,
74
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
335,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/EMetricSpace.lean
|
EMetric.isOpen_ball
|
[] |
[
691,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
690,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
|
Filter.tendsto_atTop_atTop_iff_of_monotone
|
[] |
[
1311,
70
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1308,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
|
Multiset.subset_of_le
|
[] |
[
518,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
517,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Degree/Definitions.lean
|
Polynomial.degree_update_le
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\n⊢ Finset.max (if a = 0 then Finset.erase (support p) n else insert n (support p)) ≤ max (degree p) ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\n⊢ degree (update p n a) ≤ max (degree p) ↑n",
"tactic": "rw [degree, support_update]"
},
{
"state_after": "case inl\nR : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\nh✝ : a = 0\n⊢ Finset.max (Finset.erase (support p) n) ≤ max (degree p) ↑n\n\ncase inr\nR : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\nh✝ : ¬a = 0\n⊢ Finset.max (insert n (support p)) ≤ max (degree p) ↑n",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\n⊢ Finset.max (if a = 0 then Finset.erase (support p) n else insert n (support p)) ≤ max (degree p) ↑n",
"tactic": "split_ifs"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nR : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\nh✝ : a = 0\n⊢ Finset.max (Finset.erase (support p) n) ≤ max (degree p) ↑n",
"tactic": "exact (Finset.max_mono (erase_subset _ _)).trans (le_max_left _ _)"
},
{
"state_after": "case inr\nR : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\nh✝ : ¬a = 0\n⊢ max (Finset.max (support p)) ↑n ≤ max (degree p) ↑n",
"state_before": "case inr\nR : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\nh✝ : ¬a = 0\n⊢ Finset.max (insert n (support p)) ≤ max (degree p) ↑n",
"tactic": "rw [max_insert, max_comm]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nR : Type u\nS : Type v\na✝ b c d : R\nn✝ m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np✝ q : R[X]\nι : Type ?u.562120\np : R[X]\nn : ℕ\na : R\nh✝ : ¬a = 0\n⊢ max (Finset.max (support p)) ↑n ≤ max (degree p) ↑n",
"tactic": "exact le_rfl"
}
] |
[
752,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
747,
1
] |
Mathlib/Data/Real/CauSeq.lean
|
CauSeq.const_zero
|
[] |
[
274,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
273,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
|
Set.image_mul_right_Icc
|
[
{
"state_after": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b c : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ c\nh✝ : 0 = c\n⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)\n\ncase inr\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b c : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ c\nh✝ : 0 < c\n⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b c : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ c\n⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)",
"tactic": "cases eq_or_lt_of_le hc"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b c : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ c\nh✝ : 0 < c\n⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)",
"tactic": "exact image_mul_right_Icc' a b ‹0 < c›"
},
{
"state_after": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ 0\n⊢ (fun x => x * 0) '' Icc a b = Icc (a * 0) (b * 0)",
"state_before": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b c : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ c\nh✝ : 0 = c\n⊢ (fun x => x * c) '' Icc a b = Icc (a * c) (b * c)",
"tactic": "subst c"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedField α\na✝ a b : α\nhab : a ≤ b\nhc : 0 ≤ 0\n⊢ (fun x => x * 0) '' Icc a b = Icc (a * 0) (b * 0)",
"tactic": "simp [(nonempty_Icc.2 hab).image_const]"
}
] |
[
739,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
734,
1
] |
Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
|
AddCircle.liftIco_coe_apply
|
[
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\nthis : ↑(equivIco p a) ↑x = { val := x, property := hx }\n⊢ liftIco p a f ↑x = f x",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\n⊢ liftIco p a f ↑x = f x",
"tactic": "have : (equivIco p a) x = ⟨x, hx⟩ := by\n rw [Equiv.apply_eq_iff_eq_symm_apply]\n rfl"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\nthis : ↑(equivIco p a) ↑x = { val := x, property := hx }\n⊢ restrict (Ico a (a + p)) f { val := x, property := hx } = f x",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\nthis : ↑(equivIco p a) ↑x = { val := x, property := hx }\n⊢ liftIco p a f ↑x = f x",
"tactic": "rw [liftIco, comp_apply, this]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\nthis : ↑(equivIco p a) ↑x = { val := x, property := hx }\n⊢ restrict (Ico a (a + p)) f { val := x, property := hx } = f x",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\n⊢ ↑x = ↑(equivIco p a).symm { val := x, property := hx }",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\n⊢ ↑(equivIco p a) ↑x = { val := x, property := hx }",
"tactic": "rw [Equiv.apply_eq_iff_eq_symm_apply]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\nB : Type u_2\ninst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜\ninst✝² : TopologicalSpace 𝕜\ninst✝¹ : OrderTopology 𝕜\np : 𝕜\nhp : Fact (0 < p)\na : 𝕜\ninst✝ : Archimedean 𝕜\nf : 𝕜 → B\nx : 𝕜\nhx : x ∈ Ico a (a + p)\n⊢ ↑x = ↑(equivIco p a).symm { val := x, property := hx }",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
253,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
247,
1
] |
Std/Data/Int/Lemmas.lean
|
Int.add_lt_add
|
[] |
[
803,
70
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
802,
11
] |
Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Free.lean
|
CategoryTheory.FreeBicategory.liftHom_id
|
[] |
[
333,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
332,
1
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean
|
List.bind_map
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "β : Type u_1\nγ : Type u_2\nα : Type u_3\nf : β → γ\ng : α → List β\na : α\nl : List α\n⊢ map f (List.bind (a :: l) g) = List.bind (a :: l) fun a => map f (g a)",
"tactic": "simp only [cons_bind, map_append, bind_map _ _ l]"
}
] |
[
205,
65
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
202,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
|
Multiset.countp_zero
|
[] |
[
2204,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2203,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
|
Finset.Nonempty.div_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "F : Type ?u.663683\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.663689\nγ : Type ?u.663692\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : DecidableEq β\ninst✝ : GroupWithZero α\ns t : Finset α\nhs : Finset.Nonempty s\n⊢ 0 ⊆ s / 0",
"tactic": "simpa [mem_div] using hs"
}
] |
[
1196,
60
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1195,
1
] |
Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
|
Sym.erase_mk
|
[
{
"state_after": "α : Type ?u.16480\nβ : Type ?u.16483\nn n' m✝ : ℕ\ns : Sym α n\na✝ b : α\ninst✝ : DecidableEq α\nm : Multiset α\nhc : ↑Multiset.card m = n + 1\na : α\nh : a ∈ m\n⊢ Nat.pred (n + 1) = n",
"state_before": "α : Type ?u.16480\nβ : Type ?u.16483\nn n' m✝ : ℕ\ns : Sym α n\na✝ b : α\ninst✝ : DecidableEq α\nm : Multiset α\nhc : ↑Multiset.card m = n + 1\na : α\nh : a ∈ m\n⊢ ↑Multiset.card (Multiset.erase m a) = n",
"tactic": "rw [Multiset.card_erase_of_mem h, hc]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.16480\nβ : Type ?u.16483\nn n' m✝ : ℕ\ns : Sym α n\na✝ b : α\ninst✝ : DecidableEq α\nm : Multiset α\nhc : ↑Multiset.card m = n + 1\na : α\nh : a ∈ m\n⊢ Nat.pred (n + 1) = n",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
214,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
210,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Interval.lean
|
NonemptyInterval.snd_sub
|
[] |
[
363,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
362,
1
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.