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| traced_tactics
list | end
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stringclasses 4
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list |
|---|---|---|---|---|---|---|
src/lean/Init/Data/Nat/Linear.lean
|
Nat.Linear.Certificate.of_combine_isUnsat
|
[] |
[
693,
43
] |
d5348dfac847a56a4595fb6230fd0708dcb4e7e9
|
https://github.com/leanprover/lean4
|
[
691,
1
] |
Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
|
Set.toFinset_eq_univ
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.92677\nγ : Type ?u.92680\ns t : Set α\ninst✝¹ : Fintype α\ninst✝ : Fintype ↑s\n⊢ toFinset s = Finset.univ ↔ s = univ",
"tactic": "rw [← coe_inj, coe_toFinset, coe_univ]"
}
] |
[
753,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
752,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Function.lean
|
Set.InjOn.leftInvOn_invFunOn
|
[] |
[
1248,
67
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1247,
1
] |
Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
|
eventually_gt_nhds
|
[] |
[
1200,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1200,
1
] |
Mathlib/Algebra/GroupPower/Order.lean
|
le_max_of_sq_le_mul
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "β : Type ?u.175159\nA : Type ?u.175162\nG : Type ?u.175165\nM : Type u_1\nR : Type ?u.175171\ninst✝³ : Monoid M\ninst✝² : LinearOrder M\ninst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\ninst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1\na b c : M\nh : a ^ 2 ≤ b * c\n⊢ a ≤ max b c",
"tactic": "simpa using min_le_max_of_mul_le_mul ((pow_two _).symm.trans_le h)"
}
] |
[
335,
69
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
334,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
|
Ordinal.apply_lt_nfpBFamily
|
[
{
"state_after": "o : Ordinal\nf : (b : Ordinal) → b < o → Ordinal → Ordinal\nH : ∀ (i : Ordinal) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)\na b : Ordinal\nhb : b < nfpBFamily o f a\ni : Ordinal\nhi : i < o\n⊢ familyOfBFamily o f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i (_ : i < type fun x x_1 => x < x_1)) b < nfpBFamily o f a",
"state_before": "o : Ordinal\nf : (b : Ordinal) → b < o → Ordinal → Ordinal\nH : ∀ (i : Ordinal) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)\na b : Ordinal\nhb : b < nfpBFamily o f a\ni : Ordinal\nhi : i < o\n⊢ f i hi b < nfpBFamily o f a",
"tactic": "rw [←familyOfBFamily_enum o f]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "o : Ordinal\nf : (b : Ordinal) → b < o → Ordinal → Ordinal\nH : ∀ (i : Ordinal) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)\na b : Ordinal\nhb : b < nfpBFamily o f a\ni : Ordinal\nhi : i < o\n⊢ familyOfBFamily o f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i (_ : i < type fun x x_1 => x < x_1)) b < nfpBFamily o f a",
"tactic": "apply apply_lt_nfpFamily (fun _ => H _ _) hb"
}
] |
[
299,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
296,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/RieszLemma.lean
|
riesz_lemma_of_norm_lt
|
[
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"tactic": "have Rpos : 0 < R := (norm_nonneg _).trans_lt hR"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"tactic": "have : ‖c‖ / R < 1 := by\n rw [div_lt_iff Rpos]\n simpa using hR"
},
{
"state_after": "case intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"tactic": "rcases riesz_lemma hFc hF this with ⟨x, xF, hx⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"state_before": "case intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"tactic": "have x0 : x ≠ 0 := fun H => by simp [H] at xF"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"state_before": "case intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"tactic": "obtain ⟨d, d0, dxlt, ledx, -⟩ :\n ∃ d : 𝕜, d ≠ 0 ∧ ‖d • x‖ < R ∧ R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖ ∧ ‖d‖⁻¹ ≤ R⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖ :=\n rescale_to_shell hc Rpos x0"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\n⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\n⊢ ∃ x₀, ‖x₀‖ ≤ R ∧ ∀ (y : E), y ∈ F → 1 ≤ ‖x₀ - y‖",
"tactic": "refine' ⟨d • x, dxlt.le, fun y hy => _⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\n⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\n⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖",
"tactic": "set y' := d⁻¹ • y"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\n⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖",
"tactic": "have yy' : y = d • y' := by simp [smul_smul, mul_inv_cancel d0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ 1 ≤ ‖d • x - y‖",
"tactic": "calc\n 1 = ‖c‖ / R * (R / ‖c‖) := by field_simp [Rpos.ne', (zero_lt_one.trans hc).ne']\n _ ≤ ‖c‖ / R * ‖d • x‖ := by gcongr\n _ = ‖d‖ * (‖c‖ / R * ‖x‖) := by\n simp [norm_smul]\n ring\n _ ≤ ‖d‖ * ‖x - y'‖ := by gcongr; exact hx y' (by simp [Submodule.smul_mem _ _ hy])\n _ = ‖d • x - y‖ := by rw [yy', ←smul_sub, norm_smul]"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\n⊢ ‖c‖ < 1 * R",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\n⊢ ‖c‖ / R < 1",
"tactic": "rw [div_lt_iff Rpos]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\n⊢ ‖c‖ < 1 * R",
"tactic": "simpa using hR"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nH : x = 0\n⊢ False",
"tactic": "simp [H] at xF"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\n⊢ y = d • y'",
"tactic": "simp [smul_smul, mul_inv_cancel d0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ 1 = ‖c‖ / R * (R / ‖c‖)",
"tactic": "field_simp [Rpos.ne', (zero_lt_one.trans hc).ne']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖c‖ / R * (R / ‖c‖) ≤ ‖c‖ / R * ‖d • x‖",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖c‖ / R * (‖d‖ * ‖x‖) = ‖d‖ * (‖c‖ / R * ‖x‖)",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖c‖ / R * ‖d • x‖ = ‖d‖ * (‖c‖ / R * ‖x‖)",
"tactic": "simp [norm_smul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖c‖ / R * (‖d‖ * ‖x‖) = ‖d‖ * (‖c‖ / R * ‖x‖)",
"tactic": "ring"
},
{
"state_after": "case h\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y'‖",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖d‖ * (‖c‖ / R * ‖x‖) ≤ ‖d‖ * ‖x - y'‖",
"tactic": "gcongr"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\n𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y'‖",
"tactic": "exact hx y' (by simp [Submodule.smul_mem _ _ hy])"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ y' ∈ F",
"tactic": "simp [Submodule.smul_mem _ _ hy]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u_1\ninst✝⁴ : NormedField 𝕜\nE : Type u_2\ninst✝³ : NormedAddCommGroup E\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 E\nF✝ : Type ?u.15017\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝\ninst✝ : NormedSpace ℝ F✝\nc : 𝕜\nhc : 1 < ‖c‖\nR : ℝ\nhR : ‖c‖ < R\nF : Subspace 𝕜 E\nhFc : IsClosed ↑F\nhF : ∃ x, ¬x ∈ F\nRpos : 0 < R\nthis : ‖c‖ / R < 1\nx : E\nxF : ¬x ∈ F\nhx : ∀ (y : E), y ∈ F → ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖\nx0 : x ≠ 0\nd : 𝕜\nd0 : d ≠ 0\ndxlt : ‖d • x‖ < R\nledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖\ny : E\nhy : y ∈ F\ny' : E := d⁻¹ • y\nyy' : y = d • y'\n⊢ ‖d‖ * ‖x - y'‖ = ‖d • x - y‖",
"tactic": "rw [yy', ←smul_sub, norm_smul]"
}
] |
[
109,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
87,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
|
Matrix.kroneckerTMul_diagonal
|
[] |
[
504,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
502,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear.lean
|
LinearIsometry.norm_compContinuousMultilinearMap
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "𝕜 : Type u\nι : Type v\nι' : Type v'\nn : ℕ\nE : ι → Type wE\nE₁ : ι → Type wE₁\nE' : ι' → Type wE'\nEi : Fin (Nat.succ n) → Type wEi\nG : Type wG\nG' : Type wG'\ninst✝¹⁴ : Fintype ι\ninst✝¹³ : Fintype ι'\ninst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜\ninst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)\ninst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)\ninst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)\ninst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)\ninst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)\ninst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)\ninst✝⁵ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)\ninst✝⁴ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)\ninst✝³ : NormedAddCommGroup G\ninst✝² : NormedSpace 𝕜 G\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup G'\ninst✝ : NormedSpace 𝕜 G'\ng : G →ₗᵢ[𝕜] G'\nf : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G\n⊢ ‖ContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (toContinuousLinearMap g) f‖ = ‖f‖",
"tactic": "simp only [ContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap_coe,\n LinearIsometry.coe_toContinuousLinearMap, LinearIsometry.norm_map,\n ContinuousMultilinearMap.norm_def, Function.comp_apply]"
}
] |
[
1051,
60
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1046,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
|
Equiv.Perm.support_refl
|
[] |
[
317,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
316,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
|
Polynomial.nextCoeffUp_of_pos_natTrailingDegree
|
[
{
"state_after": "case hnc\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : 0 < natTrailingDegree p\n⊢ ¬natTrailingDegree p = 0",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : 0 < natTrailingDegree p\n⊢ nextCoeffUp p = coeff p (natTrailingDegree p + 1)",
"tactic": "rw [nextCoeffUp, if_neg]"
},
{
"state_after": "case hnc\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : natTrailingDegree p = 0\n⊢ natTrailingDegree p ≤ 0",
"state_before": "case hnc\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : 0 < natTrailingDegree p\n⊢ ¬natTrailingDegree p = 0",
"tactic": "contrapose! hp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hnc\nR : Type u\nS : Type v\na b : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np : R[X]\nhp : natTrailingDegree p = 0\n⊢ natTrailingDegree p ≤ 0",
"tactic": "simpa"
}
] |
[
498,
8
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
494,
1
] |
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
Finset.closure_biUnion
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nf : ι → Set α\n⊢ closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), closure (f i)",
"tactic": "classical\n refine' s.induction_on (by simp) _\n intro i s _ h₂\n simp [h₂]"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nf : ι → Set α\n⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},\n ¬a ∈ s →\n (closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), closure (f i)) →\n closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), closure (f i)",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nf : ι → Set α\n⊢ closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), closure (f i)",
"tactic": "refine' s.induction_on (by simp) _"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝¹ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns✝ : Finset ι\nf : ι → Set α\ni : ι\ns : Finset ι\na✝ : ¬i ∈ s\nh₂ : closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), closure (f i)\n⊢ closure (⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ insert i s), f i_1) = ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ insert i s), closure (f i_1)",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nf : ι → Set α\n⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},\n ¬a ∈ s →\n (closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), closure (f i)) →\n closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), closure (f i)",
"tactic": "intro i s _ h₂"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝¹ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns✝ : Finset ι\nf : ι → Set α\ni : ι\ns : Finset ι\na✝ : ¬i ∈ s\nh₂ : closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), closure (f i)\n⊢ closure (⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ insert i s), f i_1) = ⋃ (i_1 : ι) (_ : i_1 ∈ insert i s), closure (f i_1)",
"tactic": "simp [h₂]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Sort w\na : α\ns✝ s₁ s₂ t : Set α\np p₁ p₂ : α → Prop\ninst✝ : TopologicalSpace α\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nf : ι → Set α\n⊢ closure (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ∅), f i) = ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ∅), closure (f i)",
"tactic": "simp"
}
] |
[
531,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
526,
1
] |
Mathlib/Logic/Basic.lean
|
or_of_or_of_imp_of_imp
|
[] |
[
334,
97
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
334,
1
] |
Mathlib/Order/Bounded.lean
|
Set.unbounded_le_Ici
|
[] |
[
288,
52
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
286,
1
] |
Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
|
TopCat.id_app
|
[] |
[
67,
70
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
67,
1
] |
Std/Data/Int/DivMod.lean
|
Int.div_eq_iff_eq_mul_right
|
[] |
[
757,
64
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
755,
11
] |
Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
|
isCoprime_of_dvd
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\n⊢ IsUnit (gcd x y)",
"state_before": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\n⊢ IsCoprime x y",
"tactic": "rw [← gcd_isUnit_iff]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\nh : ¬IsUnit (gcd x y)\n⊢ False",
"state_before": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\n⊢ IsUnit (gcd x y)",
"tactic": "by_contra h"
},
{
"state_after": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\nh : ¬IsUnit (gcd x y)\n⊢ gcd x y ≠ 0",
"state_before": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\nh : ¬IsUnit (gcd x y)\n⊢ False",
"tactic": "refine' H _ h _ (gcd_dvd_left _ _) (gcd_dvd_right _ _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nM : Type v\ninst✝³ : CommRing R\ninst✝² : IsDomain R\ninst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R\ninst✝ : GCDMonoid R\nx y : R\nnonzero : ¬(x = 0 ∧ y = 0)\nH : ∀ (z : R), z ∈ nonunits R → z ≠ 0 → z ∣ x → ¬z ∣ y\nh : ¬IsUnit (gcd x y)\n⊢ gcd x y ≠ 0",
"tactic": "rwa [Ne, gcd_eq_zero_iff]"
}
] |
[
397,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
392,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
|
MeasureTheory.integrable_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type u_1\nγ : Type ?u.938698\nδ : Type ?u.938701\nm : MeasurableSpace α\nμ ν : Measure α\ninst✝² : MeasurableSpace δ\ninst✝¹ : NormedAddCommGroup β\ninst✝ : NormedAddCommGroup γ\n⊢ Integrable fun x => 0",
"tactic": "simp [Integrable, aestronglyMeasurable_const]"
}
] |
[
649,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
648,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Interval.lean
|
NonemptyInterval.length_pure
|
[] |
[
647,
13
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
646,
1
] |
Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
|
Vector.head_ofFn
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n✝ : ℕ\nα : Type u_1\nn : ℕ\nf : Fin (Nat.succ n) → α\n⊢ head (ofFn f) = f 0",
"tactic": "rw [← get_zero, get_ofFn]"
}
] |
[
263,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
262,
1
] |
Mathlib/Init/Data/Ordering/Lemmas.lean
|
cmpUsing_eq_eq
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nlt : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel lt\na b : α\n⊢ (cmpUsing lt a b = Ordering.eq) = (¬lt a b ∧ ¬lt b a)",
"tactic": "simp"
}
] |
[
70,
100
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
70,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
|
sameRay_smul_left_iff_of_ne
|
[] |
[
554,
66
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
552,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
|
Cardinal.add_eq_self
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "c : Cardinal\nh : ℵ₀ ≤ c\n⊢ c + c ≤ c",
"tactic": "convert mul_le_mul_right' ((nat_lt_aleph0 2).le.trans h) c using 1\n<;> simp [two_mul, mul_eq_self h]"
}
] |
[
723,
27
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
718,
1
] |
Mathlib/Topology/LocalHomeomorph.lean
|
LocalHomeomorph.IsImage.of_symm_image_eq
|
[] |
[
548,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
547,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
|
iInf_unpair
|
[] |
[
197,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
195,
1
] |
Mathlib/Data/Rel.lean
|
Rel.image_comp
|
[
{
"state_after": "case h\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ z ∈ image (r • s) t ↔ z ∈ image s (image r t)",
"state_before": "α : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\n⊢ image (r • s) t = image s (image r t)",
"tactic": "ext z"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ (∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z) ↔ ∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z",
"state_before": "case h\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ z ∈ image (r • s) t ↔ z ∈ image s (image r t)",
"tactic": "simp only [mem_image]"
},
{
"state_after": "case h.mp\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ (∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z) → ∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z\n\ncase h.mpr\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ (∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z) → ∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z",
"state_before": "case h\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ (∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z) ↔ ∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case h.mp.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\nx : α\nxt : x ∈ t\ny : β\nrxy : r x y\nsyz : s y z\n⊢ ∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z",
"state_before": "case h.mp\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ (∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z) → ∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z",
"tactic": "rintro ⟨x, xt, y, rxy, syz⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.mp.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\nx : α\nxt : x ∈ t\ny : β\nrxy : r x y\nsyz : s y z\n⊢ ∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z",
"tactic": "exact ⟨y, ⟨x, xt, rxy⟩, syz⟩"
},
{
"state_after": "case h.mpr.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\ny : β\nsyz : s y z\nx : α\nxt : x ∈ t\nrxy : r x y\n⊢ ∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z",
"state_before": "case h.mpr\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\n⊢ (∃ x, (∃ x_1, x_1 ∈ t ∧ r x_1 x) ∧ s x z) → ∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z",
"tactic": "rintro ⟨y, ⟨x, xt, rxy⟩, syz⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.mpr.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_3\nβ : Type u_1\nγ : Type u_2\nr : Rel α β\ns : Rel β γ\nt : Set α\nz : γ\ny : β\nsyz : s y z\nx : α\nxt : x ∈ t\nrxy : r x y\n⊢ ∃ x, x ∈ t ∧ (r • s) x z",
"tactic": "exact ⟨x, xt, y, rxy, syz⟩"
}
] |
[
166,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
163,
1
] |
Mathlib/Topology/Basic.lean
|
ContinuousAt.preimage_mem_nhds
|
[] |
[
1608,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1606,
1
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity.lean
|
SimpleGraph.Walk.exists_length_eq_zero_iff
|
[
{
"state_after": "case mp\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\n⊢ (∃ p, length p = 0) → u = v\n\ncase mpr\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\n⊢ u = v → ∃ p, length p = 0",
"state_before": "V : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\n⊢ (∃ p, length p = 0) ↔ u = v",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case mp.intro\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\np : Walk G u v\nhp : length p = 0\n⊢ u = v",
"state_before": "case mp\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\n⊢ (∃ p, length p = 0) → u = v",
"tactic": "rintro ⟨p, hp⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mp.intro\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\np : Walk G u v\nhp : length p = 0\n⊢ u = v",
"tactic": "exact eq_of_length_eq_zero hp"
},
{
"state_after": "case mpr\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu : V\n⊢ ∃ p, length p = 0",
"state_before": "case mpr\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu v : V\n⊢ u = v → ∃ p, length p = 0",
"tactic": "rintro rfl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr\nV : Type u\nV' : Type v\nV'' : Type w\nG : SimpleGraph V\nG' : SimpleGraph V'\nG'' : SimpleGraph V''\nu : V\n⊢ ∃ p, length p = 0",
"tactic": "exact ⟨nil, rfl⟩"
}
] |
[
435,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
430,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
|
PartENat.natCast_get
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "x : PartENat\nh : x.Dom\n⊢ ↑(Part.get x h) = x",
"tactic": "exact Part.ext' (iff_of_true trivial h) fun _ _ => rfl"
}
] |
[
172,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
171,
1
] |
Mathlib/Algebra/IndicatorFunction.lean
|
Set.mulIndicator_union_mul_inter
|
[] |
[
380,
53
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
378,
1
] |
Mathlib/Order/Cover.lean
|
Wcovby.Icc_eq
|
[
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.17119\ninst✝ : PartialOrder α\na b c✝ : α\nh : a ⩿ b\nc : α\n⊢ c ∈ Icc a b ↔ c ∈ {a, b}",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.17119\ninst✝ : PartialOrder α\na b c : α\nh : a ⩿ b\n⊢ Icc a b = {a, b}",
"tactic": "ext c"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.17119\ninst✝ : PartialOrder α\na b c✝ : α\nh : a ⩿ b\nc : α\n⊢ c ∈ Icc a b ↔ c ∈ {a, b}",
"tactic": "exact h.le_and_le_iff"
}
] |
[
177,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
175,
1
] |
Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
|
RelHom.injective_of_increasing
|
[] |
[
184,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
182,
1
] |
Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
|
Quaternion.continuous_imI
|
[] |
[
214,
64
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
213,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
|
idRel_sub_separationRel
|
[
{
"state_after": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\n⊢ idRel ⊆ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\n⊢ idRel ⊆ 𝓢 α",
"tactic": "unfold separationRel"
},
{
"state_after": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\n⊢ ∀ (a : α), (a, a) ∈ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\n⊢ idRel ⊆ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"tactic": "rw [idRel_subset]"
},
{
"state_after": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\n⊢ (x, x) ∈ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\n⊢ ∀ (a : α), (a, a) ∈ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"tactic": "intro x"
},
{
"state_after": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\n⊢ ∀ (t : Set (α × α)), t ∈ 𝓤 α → (x, x) ∈ t",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\n⊢ (x, x) ∈ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"tactic": "suffices ∀ t ∈ 𝓤 α, (x, x) ∈ t by simpa only [refl_mem_uniformity]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\n⊢ ∀ (t : Set (α × α)), t ∈ 𝓤 α → (x, x) ∈ t",
"tactic": "exact fun t => refl_mem_uniformity"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ : Type u\nβ : Type v\nγ : Type w\ninst✝³ : UniformSpace α✝\ninst✝² : UniformSpace β\ninst✝¹ : UniformSpace γ\nα : Type u_1\ninst✝ : UniformSpace α\nx : α\nthis : ∀ (t : Set (α × α)), t ∈ 𝓤 α → (x, x) ∈ t\n⊢ (x, x) ∈ ⋂₀ (𝓤 α).sets",
"tactic": "simpa only [refl_mem_uniformity]"
}
] |
[
174,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
169,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
|
Ideal.prod_mem_prod
|
[
{
"state_after": "case refine_1\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\n⊢ (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → x i ∈ I i) → ∏ i in ∅, x i ∈ ∏ i in ∅, I i\n\ncase refine_2\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\n⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},\n ¬a ∈ s →\n ((∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i) →\n (∀ (i : ι), i ∈ insert a s → x i ∈ I i) → ∏ i in insert a s, x i ∈ ∏ i in insert a s, I i",
"state_before": "R : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\n⊢ (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i",
"tactic": "refine Finset.induction_on s ?_ ?_"
},
{
"state_after": "case refine_1\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na✝ : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → x i ∈ I i\n⊢ ∏ i in ∅, x i ∈ ∏ i in ∅, I i",
"state_before": "case refine_1\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\n⊢ (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → x i ∈ I i) → ∏ i in ∅, x i ∈ ∏ i in ∅, I i",
"tactic": "intro"
},
{
"state_after": "case refine_1\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na✝ : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → x i ∈ I i\n⊢ 1 ∈ ⊤",
"state_before": "case refine_1\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na✝ : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → x i ∈ I i\n⊢ ∏ i in ∅, x i ∈ ∏ i in ∅, I i",
"tactic": "rw [Finset.prod_empty, Finset.prod_empty, one_eq_top]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine_1\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na✝ : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → x i ∈ I i\n⊢ 1 ∈ ⊤",
"tactic": "exact Submodule.mem_top"
},
{
"state_after": "case refine_2\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns✝ : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na : ι\ns : Finset ι\nha : ¬a ∈ s\nIH : (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i\nh : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → x i ∈ I i\n⊢ ∏ i in insert a s, x i ∈ ∏ i in insert a s, I i",
"state_before": "case refine_2\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\n⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},\n ¬a ∈ s →\n ((∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i) →\n (∀ (i : ι), i ∈ insert a s → x i ∈ I i) → ∏ i in insert a s, x i ∈ ∏ i in insert a s, I i",
"tactic": "intro a s ha IH h"
},
{
"state_after": "case refine_2\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns✝ : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na : ι\ns : Finset ι\nha : ¬a ∈ s\nIH : (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i\nh : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → x i ∈ I i\n⊢ x a * ∏ x_1 in s, x x_1 ∈ I a * ∏ x in s, I x",
"state_before": "case refine_2\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns✝ : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na : ι\ns : Finset ι\nha : ¬a ∈ s\nIH : (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i\nh : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → x i ∈ I i\n⊢ ∏ i in insert a s, x i ∈ ∏ i in insert a s, I i",
"tactic": "rw [Finset.prod_insert ha, Finset.prod_insert ha]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case refine_2\nR : Type u\nι✝ : Type ?u.211911\ninst✝ : CommSemiring R\nI✝ J K L : Ideal R\nι : Type u_1\ns✝ : Finset ι\nI : ι → Ideal R\nx : ι → R\na : ι\ns : Finset ι\nha : ¬a ∈ s\nIH : (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ I i) → ∏ i in s, x i ∈ ∏ i in s, I i\nh : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → x i ∈ I i\n⊢ x a * ∏ x_1 in s, x x_1 ∈ I a * ∏ x in s, I x",
"tactic": "exact\n mul_mem_mul (h a <| Finset.mem_insert_self a s)\n (IH fun i hi => h i <| Finset.mem_insert_of_mem hi)"
}
] |
[
470,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
459,
1
] |
Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
|
Asymptotics.isBigOWith_of_le'
|
[] |
[
544,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
543,
1
] |
Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
|
upperBounds_singleton
|
[] |
[
642,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
641,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/SingleObj.lean
|
CategoryTheory.SingleObj.id_as_one
|
[] |
[
75,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
74,
1
] |
Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
|
LieSubalgebra.subset_lieSpan
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\nm : L\nhm : m ∈ s\n⊢ m ∈ ↑(lieSpan R L s)",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\n⊢ s ⊆ ↑(lieSpan R L s)",
"tactic": "intro m hm"
},
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\nm : L\nhm : m ∈ s\n⊢ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → m ∈ K",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\nm : L\nhm : m ∈ s\n⊢ m ∈ ↑(lieSpan R L s)",
"tactic": "erw [mem_lieSpan]"
},
{
"state_after": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK✝ K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\nm : L\nhm : m ∈ s\nK : LieSubalgebra R L\nhK : s ⊆ ↑K\n⊢ m ∈ K",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\nm : L\nhm : m ∈ s\n⊢ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → m ∈ K",
"tactic": "intro K hK"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nL : Type v\ninst✝⁴ : CommRing R\ninst✝³ : LieRing L\ninst✝² : LieAlgebra R L\nL₂ : Type w\ninst✝¹ : LieRing L₂\ninst✝ : LieAlgebra R L₂\nf : L →ₗ⁅R⁆ L₂\nK✝ K' : LieSubalgebra R L\nK₂ : LieSubalgebra R L₂\ns : Set L\nm : L\nhm : m ∈ s\nK : LieSubalgebra R L\nhK : s ⊆ ↑K\n⊢ m ∈ K",
"tactic": "exact hK hm"
}
] |
[
688,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
684,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
|
List.toFinset_replicate_of_ne_zero
|
[
{
"state_after": "case a\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.473165\nγ : Type ?u.473168\ninst✝ : DecidableEq α\nl l' : List α\na : α\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nx : α\n⊢ x ∈ toFinset (replicate n a) ↔ x ∈ {a}",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.473165\nγ : Type ?u.473168\ninst✝ : DecidableEq α\nl l' : List α\na : α\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\n⊢ toFinset (replicate n a) = {a}",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.473165\nγ : Type ?u.473168\ninst✝ : DecidableEq α\nl l' : List α\na : α\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nx : α\n⊢ x ∈ toFinset (replicate n a) ↔ x ∈ {a}",
"tactic": "simp [hn, List.mem_replicate]"
}
] |
[
3317,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
3314,
1
] |
Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
|
Antitone.comp_antitoneOn
|
[] |
[
667,
36
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
665,
11
] |
Std/Data/PairingHeap.lean
|
Std.PairingHeapImp.Heap.noSibling_tail?
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\n⊢ Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s' → NoSibling s'",
"state_before": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\n⊢ tail? le s = some s' → NoSibling s'",
"tactic": "simp only [Heap.tail?]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\neq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'\n⊢ NoSibling s'",
"state_before": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\n⊢ Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s' → NoSibling s'",
"tactic": "intro eq"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\neq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'\n⊢ NoSibling s'",
"tactic": "match eq₂ : s.deleteMin le, eq with\n| some (a, tl), rfl => exact noSibling_deleteMin eq₂"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nle : α → α → Bool\ns' s : Heap α\neq : Option.map (fun x => x.snd) (deleteMin le s) = some s'\na : α\ntl : Heap α\neq₂ : deleteMin le s = some (a, tl)\n⊢ NoSibling ((fun x => x.snd) (a, tl))",
"tactic": "exact noSibling_deleteMin eq₂"
}
] |
[
112,
55
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
108,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Pointwise.lean
|
Subgroup.smul_closure
|
[] |
[
309,
28
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
308,
1
] |
Mathlib/Topology/Separation.lean
|
biInter_basis_nhds
|
[
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\n⊢ (∀ (i : ι), p i → x ∈ s i) ∧ ∀ (x_1 : α), (∀ (i : ι), p i → x_1 ∈ s i) → x_1 = x",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\n⊢ (⋂ (i : ι) (_ : p i), s i) = {x}",
"tactic": "simp only [eq_singleton_iff_unique_mem, mem_iInter]"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\ny : α\nhy : ∀ (i : ι), p i → y ∈ s i\n⊢ y = x",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\n⊢ (∀ (i : ι), p i → x ∈ s i) ∧ ∀ (x_1 : α), (∀ (i : ι), p i → x_1 ∈ s i) → x_1 = x",
"tactic": "refine' ⟨fun i hi => mem_of_mem_nhds <| h.mem_of_mem hi, fun y hy => _⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\ny : α\nhy : y ≠ x\n⊢ ∃ i, p i ∧ ¬y ∈ s i",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\ny : α\nhy : ∀ (i : ι), p i → y ∈ s i\n⊢ y = x",
"tactic": "contrapose! hy"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\ny : α\nhy : y ≠ x\ni : ι\nhi : p i\nhsub : s i ⊆ {y}ᶜ\n⊢ ∃ i, p i ∧ ¬y ∈ s i",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\ny : α\nhy : y ≠ x\n⊢ ∃ i, p i ∧ ¬y ∈ s i",
"tactic": "rcases h.mem_iff.1 (compl_singleton_mem_nhds hy.symm) with ⟨i, hi, hsub⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : T1Space α\nι : Sort u_1\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nx : α\nh : HasBasis (𝓝 x) p s\ny : α\nhy : y ≠ x\ni : ι\nhi : p i\nhsub : s i ⊆ {y}ᶜ\n⊢ ∃ i, p i ∧ ¬y ∈ s i",
"tactic": "exact ⟨i, hi, fun h => hsub h rfl⟩"
}
] |
[
672,
37
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
666,
1
] |
Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean
|
ConvexBody.bounded
|
[] |
[
169,
22
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
168,
11
] |
Mathlib/Data/Stream/Init.lean
|
Stream'.head_map
|
[] |
[
161,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
160,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
|
MeasureTheory.lintegral_sum_measure
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }) (s : Finset ι), ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ i)) =\n ⨆ (s : Finset ι), ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (∫⁻ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i",
"tactic": "simp only [lintegral, iSup_subtype', SimpleFunc.lintegral_sum, ENNReal.tsum_eq_iSup_sum]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (j : Finset ι) (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in j, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ⨆ (s : Finset ι), ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }) (s : Finset ι), ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ i)) =\n ⨆ (s : Finset ι), ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"tactic": "rw [iSup_comm]"
},
{
"state_after": "case e_s\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (fun j => ⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in j, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) = fun s =>\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (j : Finset ι) (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in j, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ⨆ (s : Finset ι), ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"tactic": "congr"
},
{
"state_after": "case e_s.h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ns : Finset ι\n⊢ (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"state_before": "case e_s\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (fun j => ⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in j, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) = fun s =>\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"tactic": "funext s"
},
{
"state_after": "case e_s.h.empty\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in ∅, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in ∅, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n\ncase e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n⊢ (⨆ (i_1 : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i in insert i s, SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i)) =\n ∑ a in insert i s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"state_before": "case e_s.h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ns : Finset ι\n⊢ (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"tactic": "induction' s using Finset.induction_on with i s hi hs"
},
{
"state_after": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n⊢ (⨆ (i_1 : { i // ↑i ≤ fun a => f a }),\n SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i)) =\n (⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ i)) +\n ⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)",
"state_before": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n⊢ (⨆ (i_1 : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i in insert i s, SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i)) =\n ∑ a in insert i s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"tactic": "simp only [Finset.sum_insert hi, ← hs]"
},
{
"state_after": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n⊢ ∀ (i_1 j : { i // ↑i ≤ fun a => f a }),\n ∃ k,\n SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑j) (μ i) ≤\n SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i)",
"state_before": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n⊢ (⨆ (i_1 : { i // ↑i ≤ fun a => f a }),\n SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i)) =\n (⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ i)) +\n ⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)",
"tactic": "refine' (ENNReal.iSup_add_iSup _).symm"
},
{
"state_after": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\nφ ψ : { i // ↑i ≤ fun a => f a }\n⊢ ∃ k,\n SimpleFunc.lintegral (↑φ) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑ψ) (μ i) ≤\n SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i)",
"state_before": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\n⊢ ∀ (i_1 j : { i // ↑i ≤ fun a => f a }),\n ∃ k,\n SimpleFunc.lintegral (↑i_1) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑j) (μ i) ≤\n SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i)",
"tactic": "intro φ ψ"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_s.h.insert\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\ni : ι\ns : Finset ι\nhi : ¬i ∈ s\nhs :\n (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in s, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in s, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)\nφ ψ : { i // ↑i ≤ fun a => f a }\n⊢ ∃ k,\n SimpleFunc.lintegral (↑φ) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑ψ) (μ i) ≤\n SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i) + ∑ i in s, SimpleFunc.lintegral (↑k) (μ i)",
"tactic": "exact\n ⟨⟨φ ⊔ ψ, fun x => sup_le (φ.2 x) (ψ.2 x)⟩,\n add_le_add (SimpleFunc.lintegral_mono le_sup_left le_rfl)\n (Finset.sum_le_sum fun j _ => SimpleFunc.lintegral_mono le_sup_right le_rfl)⟩"
},
{
"state_after": "case e_s.h.empty.h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in ∅, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) ≤ ⊥",
"state_before": "case e_s.h.empty\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in ∅, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) =\n ∑ a in ∅, ⨆ (x : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), SimpleFunc.lintegral (↑x) (μ a)",
"tactic": "apply bot_unique"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_s.h.empty.h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.906802\nγ : Type ?u.906805\nδ : Type ?u.906808\nm✝ : MeasurableSpace α\nμ✝ ν : Measure α\nm : MeasurableSpace α\nι : Type u_2\nf : α → ℝ≥0∞\nμ : ι → Measure α\n⊢ (⨆ (i : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∑ i_1 in ∅, SimpleFunc.lintegral (↑i) (μ i_1)) ≤ ⊥",
"tactic": "simp"
}
] |
[
622,
86
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
608,
1
] |
Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
|
Set.image_neg_uIcc
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\na b c d : α\n⊢ Neg.neg '' [[a, b]] = [[-a, -b]]",
"tactic": "simp"
}
] |
[
474,
69
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
474,
1
] |
Std/Logic.lean
|
false_ne_true
|
[] |
[
761,
66
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
761,
1
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/FDerivMeasurable.lean
|
aestronglyMeasurable_derivWithin_Ici
|
[] |
[
801,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
799,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility.lean
|
dvd_sub_comm
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.11880\ninst✝ : NonUnitalRing α\na b c : α\n⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ c - b",
"tactic": "rw [← dvd_neg (α := α), neg_sub]"
}
] |
[
123,
84
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
123,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
|
Multiset.filter_le
|
[] |
[
1944,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1943,
1
] |
Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
|
Fin.natAdd_zero
|
[
{
"state_after": "case h.h\nn✝ m n : ℕ\nx✝ : Fin n\n⊢ ↑(↑(natAdd 0) x✝) = ↑(↑(RelIso.toRelEmbedding (cast (_ : n = 0 + n))) x✝)",
"state_before": "n✝ m n : ℕ\n⊢ natAdd 0 = RelIso.toRelEmbedding (cast (_ : n = 0 + n))",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h.h\nn✝ m n : ℕ\nx✝ : Fin n\n⊢ ↑(↑(natAdd 0) x✝) = ↑(↑(RelIso.toRelEmbedding (cast (_ : n = 0 + n))) x✝)",
"tactic": "simp"
}
] |
[
1412,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1410,
1
] |
Mathlib/Logic/Relation.lean
|
WellFounded.transGen
|
[] |
[
451,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
450,
1
] |
Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
|
Fin.succAbove_lt_gt
|
[] |
[
2083,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2081,
1
] |
Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
|
Function.Surjective.of_comp_iff'
|
[] |
[
184,
24
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
179,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Subring/Basic.lean
|
SubringClass.coeSubtype
|
[] |
[
164,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
163,
1
] |
Mathlib/Algebra/Hom/NonUnitalAlg.lean
|
NonUnitalAlgHom.map_smul
|
[] |
[
232,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
231,
11
] |
Std/Data/List/Lemmas.lean
|
List.filter_filter
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α✝ : Type u_1\np q : α✝ → Bool\na : α✝\nl : List α✝\n⊢ filter p (filter q (a :: l)) = filter (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) (a :: l)",
"tactic": "by_cases hp : p a <;> by_cases hq : q a <;> simp [hp, hq, filter_filter _ l]"
}
] |
[
1237,
94
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
1235,
9
] |
Mathlib/RepresentationTheory/Action.lean
|
Action.functorCategoryMonoidalEquivalence.counit_app
|
[] |
[
676,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
674,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
|
Finset.inf_induction
|
[] |
[
467,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
465,
1
] |
Mathlib/Data/MvPolynomial/Basic.lean
|
MvPolynomial.support_smul
|
[] |
[
563,
23
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
561,
1
] |
Mathlib/Topology/SubsetProperties.lean
|
CompactSpace.elim_nhds_subcover
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type ?u.75608\nπ : ι → Type ?u.75613\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalSpace β\ns✝ t✝ : Set α\ninst✝ : CompactSpace α\nU : α → Set α\nhU : ∀ (x : α), U x ∈ 𝓝 x\nt : Finset α\ns : univ ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), U x\n⊢ ∃ t, (⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), U x) = ⊤",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nι : Type ?u.75608\nπ : ι → Type ?u.75613\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalSpace β\ns t : Set α\ninst✝ : CompactSpace α\nU : α → Set α\nhU : ∀ (x : α), U x ∈ 𝓝 x\n⊢ ∃ t, (⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), U x) = ⊤",
"tactic": "obtain ⟨t, -, s⟩ := IsCompact.elim_nhds_subcover isCompact_univ U fun x _ => hU x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type ?u.75608\nπ : ι → Type ?u.75613\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalSpace β\ns✝ t✝ : Set α\ninst✝ : CompactSpace α\nU : α → Set α\nhU : ∀ (x : α), U x ∈ 𝓝 x\nt : Finset α\ns : univ ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), U x\n⊢ ∃ t, (⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), U x) = ⊤",
"tactic": "exact ⟨t, top_unique s⟩"
}
] |
[
730,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
727,
1
] |
Mathlib/Data/Subtype.lean
|
Subtype.coe_eta
|
[] |
[
99,
18
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
98,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
|
Set.OrdConnected.measurableSet
|
[
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\n⊢ MeasurableSet s",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\n⊢ MeasurableSet s",
"tactic": "let u := ⋃ (x ∈ s) (y ∈ s), Ioo x y"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\n⊢ MeasurableSet s",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\n⊢ MeasurableSet s",
"tactic": "have huopen : IsOpen u := isOpen_biUnion fun _ _ => isOpen_biUnion fun _ _ => isOpen_Ioo"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\n⊢ MeasurableSet s",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\n⊢ MeasurableSet s",
"tactic": "have humeas : MeasurableSet u := huopen.measurableSet"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\nhfinite : Set.Finite (s \\ u)\n⊢ MeasurableSet s",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\n⊢ MeasurableSet s",
"tactic": "have hfinite : (s \\ u).Finite := s.finite_diff_iUnion_Ioo"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\nhfinite : Set.Finite (s \\ u)\nthis : u ⊆ s\n⊢ MeasurableSet s",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\nhfinite : Set.Finite (s \\ u)\n⊢ MeasurableSet s",
"tactic": "have : u ⊆ s := iUnion₂_subset fun x hx => iUnion₂_subset fun y hy =>\n Ioo_subset_Icc_self.trans (h.out hx hy)"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\nhfinite : Set.Finite (s \\ u)\nthis : u ⊆ s\n⊢ MeasurableSet (u ∪ s \\ u)",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\nhfinite : Set.Finite (s \\ u)\nthis : u ⊆ s\n⊢ MeasurableSet s",
"tactic": "rw [← union_diff_cancel this]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.603118\nγ : Type ?u.603121\nγ₂ : Type ?u.603124\nδ : Type ?u.603127\nι : Sort y\ns t u✝ : Set α\ninst✝¹⁶ : TopologicalSpace α\ninst✝¹⁵ : MeasurableSpace α\ninst✝¹⁴ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝¹³ : TopologicalSpace β\ninst✝¹² : MeasurableSpace β\ninst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace β\ninst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ\ninst✝⁹ : MeasurableSpace γ\ninst✝⁸ : BorelSpace γ\ninst✝⁷ : TopologicalSpace γ₂\ninst✝⁶ : MeasurableSpace γ₂\ninst✝⁵ : BorelSpace γ₂\ninst✝⁴ : MeasurableSpace δ\nα' : Type ?u.603220\ninst✝³ : TopologicalSpace α'\ninst✝² : MeasurableSpace α'\ninst✝¹ : LinearOrder α\ninst✝ : OrderClosedTopology α\na b x : α\nh : OrdConnected s\nu : Set α := ⋃ (x : α) (_ : x ∈ s) (y : α) (_ : y ∈ s), Ioo x y\nhuopen : IsOpen u\nhumeas : MeasurableSet u\nhfinite : Set.Finite (s \\ u)\nthis : u ⊆ s\n⊢ MeasurableSet (u ∪ s \\ u)",
"tactic": "exact humeas.union hfinite.measurableSet"
}
] |
[
561,
43
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
553,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
|
MeasureTheory.quasiMeasurePreserving_div_of_right_invariant
|
[
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁶ : MeasurableSpace G\ninst✝⁵ : Group G\ninst✝⁴ : MeasurableMul₂ G\nμ ν : Measure G\ninst✝³ : SigmaFinite ν\ninst✝² : SigmaFinite μ\ns : Set G\ninst✝¹ : MeasurableInv G\ninst✝ : IsMulRightInvariant μ\ny : G\n⊢ QuasiMeasurePreserving fun x => (x, y).fst / (x, y).snd",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁶ : MeasurableSpace G\ninst✝⁵ : Group G\ninst✝⁴ : MeasurableMul₂ G\nμ ν : Measure G\ninst✝³ : SigmaFinite ν\ninst✝² : SigmaFinite μ\ns : Set G\ninst✝¹ : MeasurableInv G\ninst✝ : IsMulRightInvariant μ\n⊢ QuasiMeasurePreserving fun p => p.fst / p.snd",
"tactic": "refine' QuasiMeasurePreserving.prod_of_left measurable_div (eventually_of_forall fun y => _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁶ : MeasurableSpace G\ninst✝⁵ : Group G\ninst✝⁴ : MeasurableMul₂ G\nμ ν : Measure G\ninst✝³ : SigmaFinite ν\ninst✝² : SigmaFinite μ\ns : Set G\ninst✝¹ : MeasurableInv G\ninst✝ : IsMulRightInvariant μ\ny : G\n⊢ QuasiMeasurePreserving fun x => (x, y).fst / (x, y).snd",
"tactic": "exact (measurePreserving_div_right μ y).quasiMeasurePreserving"
}
] |
[
472,
65
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
469,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
|
Metric.emetric_closedBall_nnreal
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nX : Type ?u.165907\nι : Type ?u.165910\ninst✝ : PseudoMetricSpace α\nx : α\nε : ℝ≥0\n⊢ EMetric.closedBall x ↑ε = closedBall x ↑ε",
"tactic": "rw [← Metric.emetric_closedBall ε.coe_nonneg, ENNReal.ofReal_coe_nnreal]"
}
] |
[
1220,
75
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1218,
1
] |
Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
|
spectrum.isUnit_resolvent
|
[] |
[
177,
27
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
176,
1
] |
Mathlib/Algebra/Homology/ImageToKernel.lean
|
imageToKernel_comp_left
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.13034\nV : Type u\ninst✝³ : Category V\ninst✝² : HasZeroMorphisms V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\ninst✝¹ : HasKernels V\ninst✝ : HasImages V\nZ : V\nh : Z ⟶ A\nw : f ≫ g = 0\n⊢ (h ≫ f) ≫ g = 0",
"tactic": "simp [w]"
},
{
"state_after": "case h\nι : Type ?u.13034\nV : Type u\ninst✝³ : Category V\ninst✝² : HasZeroMorphisms V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\ninst✝¹ : HasKernels V\ninst✝ : HasImages V\nZ : V\nh : Z ⟶ A\nw : f ≫ g = 0\n⊢ imageToKernel (h ≫ f) g (_ : (h ≫ f) ≫ g = 0) ≫ Subobject.arrow (kernelSubobject g) =\n (Subobject.ofLE (imageSubobject (h ≫ f)) (imageSubobject f) (_ : imageSubobject (h ≫ f) ≤ imageSubobject f) ≫\n imageToKernel f g w) ≫\n Subobject.arrow (kernelSubobject g)",
"state_before": "ι : Type ?u.13034\nV : Type u\ninst✝³ : Category V\ninst✝² : HasZeroMorphisms V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\ninst✝¹ : HasKernels V\ninst✝ : HasImages V\nZ : V\nh : Z ⟶ A\nw : f ≫ g = 0\n⊢ imageToKernel (h ≫ f) g (_ : (h ≫ f) ≫ g = 0) =\n Subobject.ofLE (imageSubobject (h ≫ f)) (imageSubobject f) (_ : imageSubobject (h ≫ f) ≤ imageSubobject f) ≫\n imageToKernel f g w",
"tactic": "ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nι : Type ?u.13034\nV : Type u\ninst✝³ : Category V\ninst✝² : HasZeroMorphisms V\nA B C : V\nf : A ⟶ B\ng : B ⟶ C\ninst✝¹ : HasKernels V\ninst✝ : HasImages V\nZ : V\nh : Z ⟶ A\nw : f ≫ g = 0\n⊢ imageToKernel (h ≫ f) g (_ : (h ≫ f) ≫ g = 0) ≫ Subobject.arrow (kernelSubobject g) =\n (Subobject.ofLE (imageSubobject (h ≫ f)) (imageSubobject f) (_ : imageSubobject (h ≫ f) ≤ imageSubobject f) ≫\n imageToKernel f g w) ≫\n Subobject.arrow (kernelSubobject g)",
"tactic": "simp"
}
] |
[
113,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
109,
1
] |
Mathlib/Algebra/Hom/Group.lean
|
OneHom.coe_inj
|
[] |
[
724,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
723,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
|
Filter.HasAntitoneBasis.map
|
[] |
[
850,
72
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
848,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
|
differentiable_circleMap
|
[] |
[
184,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
183,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subsemigroup/Basic.lean
|
Subsemigroup.mem_inf
|
[] |
[
230,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
229,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
|
Nat.gcd_mul_left_add_left
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n k : ℕ\n⊢ gcd (n * k + m) n = gcd m n",
"tactic": "rw [gcd_comm, gcd_mul_left_add_right, gcd_comm]"
}
] |
[
71,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
70,
1
] |
Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
|
inv_mul_cancel_right₀
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.19210\nM₀ : Type ?u.19213\nG₀ : Type u_1\nM₀' : Type ?u.19219\nG₀' : Type ?u.19222\nF : Type ?u.19225\nF' : Type ?u.19228\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na✝ b c g h✝ x : G₀\nh : b ≠ 0\na : G₀\n⊢ a * (b⁻¹ * b) = a",
"tactic": "simp [h]"
}
] |
[
282,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
279,
1
] |
Mathlib/Data/Dfinsupp/Basic.lean
|
AddSubmonoid.iSup_eq_mrange_dfinsupp_sumAddHom
|
[
{
"state_after": "case a\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ iSup S ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))\n\ncase a\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) ≤ iSup S",
"state_before": "ι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ iSup S = AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))",
"tactic": "apply le_antisymm"
},
{
"state_after": "ι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ ∀ (i : ι), S i ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))",
"state_before": "case a\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ iSup S ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))",
"tactic": "apply iSup_le _"
},
{
"state_after": "ι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\ni : ι\ny : γ\nhy : y ∈ S i\n⊢ y ∈ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))",
"state_before": "ι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ ∀ (i : ι), S i ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))",
"tactic": "intro i y hy"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\ni : ι\ny : γ\nhy : y ∈ S i\n⊢ y ∈ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))",
"tactic": "exact ⟨Dfinsupp.single i ⟨y, hy⟩, Dfinsupp.sumAddHom_single _ _ _⟩"
},
{
"state_after": "case a.intro\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\nv : Π₀ (i : ι), { x // x ∈ S i }\n⊢ ↑(sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) v ∈ iSup S",
"state_before": "case a\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\n⊢ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) ≤ iSup S",
"tactic": "rintro x ⟨v, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.intro\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : AddCommMonoid γ\nS : ι → AddSubmonoid γ\nv : Π₀ (i : ι), { x // x ∈ S i }\n⊢ ↑(sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) v ∈ iSup S",
"tactic": "exact dfinsupp_sumAddHom_mem _ v _ fun i _ => (le_iSup S i : S i ≤ _) (v i).prop"
}
] |
[
1956,
85
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1948,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
|
CategoryTheory.RanIsSheafOfCoverLifting.getSection_isAmalgamation
|
[] |
[
170,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
168,
1
] |
Mathlib/Algebra/Group/TypeTags.lean
|
ofMul_mul
|
[] |
[
160,
79
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
160,
1
] |
Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
|
Class.ext
|
[] |
[
1466,
10
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1465,
1
] |
Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
|
WithBot.succ_coe
|
[] |
[
1216,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1215,
1
] |
Mathlib/RingTheory/TensorProduct.lean
|
Algebra.TensorProduct.includeRight_apply
|
[] |
[
565,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
564,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
|
AbstractCompletion.closure_range
|
[] |
[
96,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
95,
1
] |
Mathlib/Order/Monotone/Monovary.lean
|
Subsingleton.antivaryOn
|
[] |
[
128,
95
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
127,
11
] |
Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
|
SimpleGraph.boxProd_adj_left
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.9064\nG : SimpleGraph α\nH : SimpleGraph β\na₁ : α\nb : β\na₂ : α\n⊢ Adj (G □ H) (a₁, b) (a₂, b) ↔ Adj G a₁ a₂",
"tactic": "simp only [boxProd_adj, and_true, SimpleGraph.irrefl, false_and, or_false]"
}
] |
[
63,
77
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
62,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
|
Filter.Tendsto.smul_const
|
[] |
[
96,
29
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
94,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Basic.lean
|
LinearMap.ker_comp
|
[] |
[
1347,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1345,
1
] |
Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
|
Function.Involutive.toPerm_symm
|
[] |
[
1713,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1712,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Subring/Basic.lean
|
Subring.toSubmonoid_injective
|
[] |
[
284,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
283,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
|
PythagoreanTriple.isClassified_of_isPrimitiveClassified
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nH :\n (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧\n Int.gcd m n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)\n⊢ IsClassified h",
"state_before": "x y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nhp : IsPrimitiveClassified h\n⊢ IsClassified h",
"tactic": "obtain ⟨m, n, H⟩ := hp"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nH :\n (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧\n Int.gcd m n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)\n⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ Int.gcd m n = 1",
"state_before": "case intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nH :\n (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧\n Int.gcd m n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)\n⊢ IsClassified h",
"tactic": "use 1, m, n"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nt : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2\nco : Int.gcd m n = 1\nright✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0\n⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ Int.gcd m n = 1",
"state_before": "case intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nH :\n (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧\n Int.gcd m n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)\n⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ Int.gcd m n = 1",
"tactic": "rcases H with ⟨t, co, _⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nt : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2\nco : Int.gcd m n = 1\nright✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0\n⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ Int.gcd m n = 1",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nt : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2\nco : Int.gcd m n = 1\nright✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0\n⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ Int.gcd m n = 1",
"tactic": "rw [one_mul, one_mul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nx y z : ℤ\nh : PythagoreanTriple x y z\nm n : ℤ\nt : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2\nco : Int.gcd m n = 1\nright✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0\n⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ Int.gcd m n = 1",
"tactic": "exact ⟨t, co⟩"
}
] |
[
215,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
210,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
|
Matrix.rank_eq_finrank_span_row
|
[
{
"state_after": "case intro\nl : Type ?u.285266\nm : Type u_2\nn : Type u_3\no : Type ?u.285275\nR : Type u_1\nm_fin : Fintype m\ninst✝³ : Fintype n\ninst✝² : Fintype o\ninst✝¹ : LinearOrderedField R\ninst✝ : Finite m\nA : Matrix m n R\nval✝ : Fintype m\n⊢ rank A = finrank R { x // x ∈ Submodule.span R (Set.range A) }",
"state_before": "l : Type ?u.285266\nm : Type u_2\nn : Type u_3\no : Type ?u.285275\nR : Type u_1\nm_fin : Fintype m\ninst✝³ : Fintype n\ninst✝² : Fintype o\ninst✝¹ : LinearOrderedField R\ninst✝ : Finite m\nA : Matrix m n R\n⊢ rank A = finrank R { x // x ∈ Submodule.span R (Set.range A) }",
"tactic": "cases nonempty_fintype m"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nl : Type ?u.285266\nm : Type u_2\nn : Type u_3\no : Type ?u.285275\nR : Type u_1\nm_fin : Fintype m\ninst✝³ : Fintype n\ninst✝² : Fintype o\ninst✝¹ : LinearOrderedField R\ninst✝ : Finite m\nA : Matrix m n R\nval✝ : Fintype m\n⊢ rank A = finrank R { x // x ∈ Submodule.span R (Set.range A) }",
"tactic": "rw [← rank_transpose, rank_eq_finrank_span_cols, transpose_transpose]"
}
] |
[
277,
72
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
274,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
|
Basis.orientation_eq_iff_det_pos
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_2\ninst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R\nM : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup M\ninst✝² : Module R M\nι : Type u_1\ninst✝¹ : Fintype ι\ninst✝ : DecidableEq ι\ne₁ e₂ : Basis ι R M\n⊢ SameRay R (det e₁) (det e₂) ↔ SameRay R (↑(det e₁) ↑e₂ • det e₂) (det e₂)",
"tactic": "rw [← e₁.det.eq_smul_basis_det e₂]"
}
] |
[
225,
95
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
220,
1
] |
Mathlib/Data/Polynomial/Degree/Definitions.lean
|
Polynomial.degree_quadratic
|
[
{
"state_after": "R : Type u\nS : Type v\na b c d : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np q : R[X]\nι : Type ?u.1058825\nha : a ≠ 0\n⊢ ↑2 = 2",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b c d : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np q : R[X]\nι : Type ?u.1058825\nha : a ≠ 0\n⊢ degree (↑C a * X ^ 2 + ↑C b * X + ↑C c) = 2",
"tactic": "rw [add_assoc, degree_add_eq_left_of_degree_lt <| degree_linear_lt_degree_C_mul_X_sq ha,\n degree_C_mul_X_pow 2 ha]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\nS : Type v\na b c d : R\nn m : ℕ\ninst✝ : Semiring R\np q : R[X]\nι : Type ?u.1058825\nha : a ≠ 0\n⊢ ↑2 = 2",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
1192,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1189,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
|
MeasureTheory.AEEqFun.coeFn_posPart
|
[] |
[
904,
19
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
903,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
|
Filter.Ici_mem_atTop
|
[] |
[
59,
14
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
58,
1
] |
Std/Data/RBMap/Lemmas.lean
|
Std.RBNode.Stream.toList_nil
|
[] |
[
373,
73
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
373,
9
] |
Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
|
εNFA.mem_stepSet_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nσ σ' : Type v\nM : εNFA α σ\nS : Set σ\nx : List α\ns : σ\na : α\n⊢ s ∈ stepSet M S a ↔ ∃ t, t ∈ S ∧ s ∈ εClosure M (step M t (some a))",
"tactic": "simp_rw [stepSet, mem_iUnion₂, exists_prop]"
}
] |
[
81,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
80,
1
] |
Mathlib/Data/List/Perm.lean
|
List.Perm.filter
|
[
{
"state_after": "α : Type uu\nβ : Type vv\nl₁✝ l₂✝ : List α\np : α → Bool\nl₁ l₂ : List α\ns : l₁ ~ l₂\n⊢ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ ~ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂",
"state_before": "α : Type uu\nβ : Type vv\nl₁✝ l₂✝ : List α\np : α → Bool\nl₁ l₂ : List α\ns : l₁ ~ l₂\n⊢ List.filter p l₁ ~ List.filter p l₂",
"tactic": "rw [← filterMap_eq_filter]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type uu\nβ : Type vv\nl₁✝ l₂✝ : List α\np : α → Bool\nl₁ l₂ : List α\ns : l₁ ~ l₂\n⊢ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ ~ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂",
"tactic": "apply s.filterMap _"
}
] |
[
275,
85
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
274,
1
] |
Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
|
DirectSum.IsInternal.collectedBasis_coe
|
[
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(collectedBasis h v) a = ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"state_before": "R : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\n⊢ ↑(collectedBasis h v) = fun a => ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "funext a"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(toModule R ι M fun i => Submodule.subtype (A i))\n (↑(LinearEquiv.symm (Dfinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr))\n (Dfinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(collectedBasis h v) a = ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "simp only [IsInternal.collectedBasis, coeLinearMap, Basis.coe_ofRepr, LinearEquiv.trans_symm,\n LinearEquiv.symm_symm, LinearEquiv.trans_apply, sigmaFinsuppLequivDfinsupp_apply,\n sigmaFinsuppEquivDfinsupp_single, LinearEquiv.ofBijective_apply,\n sigmaFinsuppAddEquivDfinsupp_apply]"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(toModule R ι M fun i => Submodule.subtype (A i))\n (↑(Dfinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => LinearEquiv.symm (v i).repr)\n (Dfinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(toModule R ι M fun i => Submodule.subtype (A i))\n (↑(LinearEquiv.symm (Dfinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr))\n (Dfinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "rw [Dfinsupp.mapRange.linearEquiv_symm]"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(toModule R ι M fun i => Submodule.subtype (A i))\n (Dfinsupp.mapRange (fun i x => ↑(LinearEquiv.symm (v i).repr) x)\n (_ : ∀ (i : ι), ↑(LinearEquiv.symm (v i).repr) 0 = 0) (Dfinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(toModule R ι M fun i => Submodule.subtype (A i))\n (↑(Dfinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => LinearEquiv.symm (v i).repr)\n (Dfinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "erw [Dfinsupp.mapRange.linearEquiv_apply]"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(↑(Dfinsupp.lsum ℕ) fun i => Submodule.subtype (A i)) (Dfinsupp.single a.fst (↑(v a.fst) a.snd)) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(toModule R ι M fun i => Submodule.subtype (A i))\n (Dfinsupp.mapRange (fun i x => ↑(LinearEquiv.symm (v i).repr) x)\n (_ : ∀ (i : ι), ↑(LinearEquiv.symm (v i).repr) 0 = 0) (Dfinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "simp only [Dfinsupp.mapRange_single, Basis.repr_symm_apply, Finsupp.total_single, one_smul,\n toModule]"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(Submodule.subtype (A a.fst)) (↑(v a.fst) a.snd) = ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(↑(Dfinsupp.lsum ℕ) fun i => Submodule.subtype (A i)) (Dfinsupp.single a.fst (↑(v a.fst) a.snd)) =\n ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "erw [Dfinsupp.lsum_single]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nι : Type v\ndec_ι : DecidableEq ι\nM : Type u_1\ninst✝¹ : AddCommMonoid M\ninst✝ : Module R M\nA : ι → Submodule R M\nh : IsInternal A\nα : ι → Type u_2\nv : (i : ι) → Basis (α i) R { x // x ∈ A i }\na : (i : ι) × α i\n⊢ ↑(Submodule.subtype (A a.fst)) (↑(v a.fst) a.snd) = ↑(↑(v a.fst) a.snd)",
"tactic": "simp only [Submodule.coeSubtype]"
}
] |
[
371,
35
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
351,
1
] |
Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
|
PiNat.dist_comm
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "E : ℕ → Type u_1\nx y : (n : ℕ) → E n\n⊢ dist x y = dist y x",
"tactic": "simp [dist, @eq_comm _ x y, firstDiff_comm]"
}
] |
[
284,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
283,
11
] |
Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
|
Besicovitch.exist_finset_disjoint_balls_large_measure
|
[
{
"state_after": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)\n\ncase inr\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "rcases le_or_lt (μ s) 0 with (hμs | hμs)"
},
{
"state_after": "case inr.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : IsEmpty α\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)\n\ncase inr.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "cases isEmpty_or_nonempty α"
},
{
"state_after": "case inr.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "have Npos : N ≠ 0 := by\n rintro rfl\n inhabit α\n exact not_isEmpty_of_nonempty _ hN"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "obtain ⟨o, so, omeas, μo⟩ : ∃ o : Set α, s ⊆ o ∧ MeasurableSet o ∧ μ o = μ s :=\n exists_measurable_superset μ s"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "let a : BallPackage s α :=\n { c := fun x => x\n r := fun x => r x\n rpos := fun x => rpos x x.2\n r_bound := 1\n r_le := fun x => rle x x.2 }"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "rcases exist_disjoint_covering_families hτ hN a with ⟨u, hu, hu'⟩"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "have u_count : ∀ i, (u i).Countable := by\n intro i\n refine' (hu i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => _\n have : (ball (j : α) (r j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (a.rpos _)\n exact this.mono ball_subset_interior_closedBall"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "let v : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : s) (_ : x ∈ u i), closedBall x (r x)"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "have A : s = ⋃ i : Fin N, s ∩ v i := by\n refine' Subset.antisymm _ (iUnion_subset fun i => inter_subset_left _ _)\n intro x hx\n obtain ⟨i, y, hxy, h'⟩ :\n ∃ (i : Fin N) (i_1 : ↥s), i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1) := by\n have : x ∈ range a.c := by simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]\n simpa only [mem_iUnion, bex_def] using hu' this\n refine' mem_iUnion.2 ⟨i, ⟨hx, _⟩⟩\n simp only [exists_prop, mem_iUnion, SetCoe.exists, exists_and_right, Subtype.coe_mk]\n exact ⟨y, ⟨y.2, by simpa only [Subtype.coe_eta]⟩, ball_subset_closedBall h'⟩"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "obtain ⟨i, -, hi⟩ : ∃ (i : Fin N), i ∈ Finset.univ ∧ μ s / N ≤ μ (s ∩ v i) := by\n apply ENNReal.exists_le_of_sum_le _ S\n exact ⟨⟨0, bot_lt_iff_ne_bot.2 Npos⟩, Finset.mem_univ _⟩"
},
{
"state_after": "case hi\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\n\ncase inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "replace hi : μ s / (N + 1) < μ (s ∩ v i)"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "obtain ⟨w, hw⟩ :\n ∃ w : Finset (u i), μ s / (N + 1) <\n ∑ x : u i in w, μ (o ∩ closedBall (x : α) (r (x : α))) := by\n have C : HasSum (fun x : u i => μ (o ∩ closedBall x (r x))) (μ (o ∩ v i)) := by\n rw [B]; exact ENNReal.summable.hasSum\n have : μ s / (N + 1) < μ (o ∩ v i) := hi.trans_le (measure_mono (inter_subset_inter_left _ so))\n exact ((tendsto_order.1 C).1 _ this).exists"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w) ⊆ s\n\ncase inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ Finset.image (fun x => ↑↑x) w), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n\ncase inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ PairwiseDisjoint ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w) fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "refine' ⟨Finset.image (fun x : u i => x) w, _, _, _⟩"
},
{
"state_after": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "have : μ s = 0 := le_bot_iff.1 hμs"
},
{
"state_after": "case inl.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ ∅), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n\ncase inl.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ PairwiseDisjoint ↑∅ fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "refine' ⟨∅, by simp only [Finset.coe_empty, empty_subset], _, _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ ↑∅ ⊆ s",
"tactic": "simp only [Finset.coe_empty, empty_subset]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ ∅), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "simp only [this, Finset.not_mem_empty, diff_empty, iUnion_false, iUnion_empty,\n nonpos_iff_eq_zero, MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : ↑↑μ s ≤ 0\nthis : ↑↑μ s = 0\n⊢ PairwiseDisjoint ↑∅ fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "simp only [Finset.coe_empty, pairwiseDisjoint_empty]"
},
{
"state_after": "case inr.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nh✝ : IsEmpty α\nhμs : 0 < 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"state_before": "case inr.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : IsEmpty α\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "simp only [eq_empty_of_isEmpty s, measure_empty] at hμs"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nh✝ : IsEmpty α\nhμs : 0 < 0\n⊢ ∃ t,\n ↑t ⊆ s ∧\n ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ∧\n PairwiseDisjoint ↑t fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "exact (lt_irrefl _ hμs).elim"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α 0 τ)\n⊢ False",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\n⊢ N ≠ 0",
"tactic": "rintro rfl"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α 0 τ)\ninhabited_h : Inhabited α\n⊢ False",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α 0 τ)\n⊢ False",
"tactic": "inhabit α"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α 0 τ)\ninhabited_h : Inhabited α\n⊢ False",
"tactic": "exact not_isEmpty_of_nonempty _ hN"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\ni : Fin N\n⊢ Set.Countable (u i)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\n⊢ ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)",
"tactic": "intro i"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\ni : Fin N\nj : ↑s\nx✝ : j ∈ u i\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\ni : Fin N\n⊢ Set.Countable (u i)",
"tactic": "refine' (hu i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\ni : Fin N\nj : ↑s\nx✝ : j ∈ u i\nthis : Set.Nonempty (ball (↑j) (r ↑j))\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\ni : Fin N\nj : ↑s\nx✝ : j ∈ u i\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)))",
"tactic": "have : (ball (j : α) (r j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (a.rpos _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\ni : Fin N\nj : ↑s\nx✝ : j ∈ u i\nthis : Set.Nonempty (ball (↑j) (r ↑j))\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)))",
"tactic": "exact this.mono ball_subset_interior_closedBall"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ s ⊆ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"tactic": "refine' Subset.antisymm _ (iUnion_subset fun i => inter_subset_left _ _)"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ x ∈ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ s ⊆ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (?m.204066 i y) (r ↑y)\n⊢ x ∈ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ x ∈ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"tactic": "obtain ⟨i, y, hxy, h'⟩ :\n ∃ (i : Fin N) (i_1 : ↥s), i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1) := by\n have : x ∈ range a.c := by simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]\n simpa only [mem_iUnion, bex_def] using hu' this"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)\n⊢ x ∈ v i",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (?m.204066 i y) (r ↑y)\n⊢ x ∈ ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i",
"tactic": "refine' mem_iUnion.2 ⟨i, ⟨hx, _⟩⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)\n⊢ ∃ x_1, (∃ x, { val := x_1, property := (_ : x_1 ∈ s) } ∈ u i) ∧ x ∈ closedBall x_1 (r x_1)",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)\n⊢ x ∈ v i",
"tactic": "simp only [exists_prop, mem_iUnion, SetCoe.exists, exists_and_right, Subtype.coe_mk]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)\n⊢ ∃ x_1, (∃ x, { val := x_1, property := (_ : x_1 ∈ s) } ∈ u i) ∧ x ∈ closedBall x_1 (r x_1)",
"tactic": "exact ⟨y, ⟨y.2, by simpa only [Subtype.coe_eta]⟩, ball_subset_closedBall h'⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\nthis : x ∈ range a.c\n⊢ ∃ i i_1, i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ ∃ i i_1, i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1)",
"tactic": "have : x ∈ range a.c := by simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\nthis : x ∈ range a.c\n⊢ ∃ i i_1, i_1 ∈ u i ∧ x ∈ ball (↑i_1) (r ↑i_1)",
"tactic": "simpa only [mem_iUnion, bex_def] using hu' this"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ x ∈ range a.c",
"tactic": "simpa only [Subtype.range_coe_subtype, setOf_mem_eq]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nx : α\nhx : x ∈ s\ni : Fin N\ny : ↑s\nhxy : y ∈ u i\nh' : x ∈ ball (↑y) (r ↑y)\n⊢ { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ s) } ∈ u i",
"tactic": "simpa only [Subtype.coe_eta]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑N * (↑↑μ s / ↑N) = ↑↑μ s",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N = ↑↑μ s",
"tactic": "simp only [Finset.card_fin, Finset.sum_const, nsmul_eq_mul]"
},
{
"state_after": "case h0\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑N ≠ 0\n\ncase hI\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑N ≠ ⊤",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑N * (↑↑μ s / ↑N) = ↑↑μ s",
"tactic": "rw [ENNReal.mul_div_cancel']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h0\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑N ≠ 0",
"tactic": "simp only [Npos, Ne.def, Nat.cast_eq_zero, not_false_iff]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hI\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑N ≠ ⊤",
"tactic": "exact ENNReal.nat_ne_top _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑↑μ (⋃ (i : Fin N), s ∩ v i) ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑↑μ s ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)",
"tactic": "conv_lhs => rw [A]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\n⊢ ↑↑μ (⋃ (i : Fin N), s ∩ v i) ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)",
"tactic": "apply measure_iUnion_fintype_le"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ Finset.Nonempty Finset.univ",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ∃ i, i ∈ Finset.univ ∧ ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)",
"tactic": "apply ENNReal.exists_le_of_sum_le _ S"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ Finset.Nonempty Finset.univ",
"tactic": "exact ⟨⟨0, bot_lt_iff_ne_bot.2 Npos⟩, Finset.mem_univ _⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ s / ↑N",
"state_before": "case hi\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)",
"tactic": "apply lt_of_lt_of_le _ hi"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ (↑N + 1)⁻¹ < (↑N)⁻¹",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ s / ↑N",
"tactic": "apply (ENNReal.mul_lt_mul_left hμs.ne' (measure_lt_top μ s).ne).2"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑N < ↑N + 1",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ (↑N + 1)⁻¹ < (↑N)⁻¹",
"tactic": "rw [ENNReal.inv_lt_inv]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑N + 0 < ↑N + 1",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑N < ↑N + 1",
"tactic": "conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / ↑N ≤ ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑N + 0 < ↑N + 1",
"tactic": "exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.nat_ne_top N) zero_lt_one"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nthis : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "have : o ∩ v i = ⋃ (x : s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall x (r x) := by simp only [inter_iUnion]"
},
{
"state_after": "case hd\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nthis : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ PairwiseDisjoint (u i) fun x => o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n\ncase h\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nthis : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ ∀ (b : ↑s), b ∈ u i → MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑b) (r ↑b))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nthis : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "rw [this, measure_biUnion (u_count i)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\n⊢ o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)",
"tactic": "simp only [inter_iUnion]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hd\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nthis : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ PairwiseDisjoint (u i) fun x => o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)",
"tactic": "exact (hu i).mono fun k => inter_subset_right _ _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nthis : o ∩ v i = ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall (↑x) (r ↑x)\n⊢ ∀ (b : ↑s), b ∈ u i → MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑b) (r ↑b))",
"tactic": "exact fun b _ => omeas.inter measurableSet_closedBall"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nC : HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))\n⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "have C : HasSum (fun x : u i => μ (o ∩ closedBall x (r x))) (μ (o ∩ v i)) := by\n rw [B]; exact ENNReal.summable.hasSum"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nC : HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))\nthis : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (o ∩ v i)\n⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nC : HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))\n⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "have : μ s / (N + 1) < μ (o ∩ v i) := hi.trans_le (measure_mono (inter_subset_inter_left _ so))"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nC : HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))\nthis : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (o ∩ v i)\n⊢ ∃ w, ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "exact ((tendsto_order.1 C).1 _ this).exists"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (↑↑μ (o ∩ v i))",
"tactic": "rw [B]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ HasSum (fun x => ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) (∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)))",
"tactic": "exact ENNReal.summable.hasSum"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑w ⊆ (fun x => ↑↑x) ⁻¹' s",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w) ⊆ s",
"tactic": "simp only [image_subset_iff, Finset.coe_image]"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\ny : ↑(u i)\na✝ : y ∈ ↑w\n⊢ y ∈ (fun x => ↑↑x) ⁻¹' s",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑w ⊆ (fun x => ↑↑x) ⁻¹' s",
"tactic": "intro y _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\ny : ↑(u i)\na✝ : y ∈ ↑w\n⊢ y ∈ (fun x => ↑↑x) ⁻¹' s",
"tactic": "simp only [Subtype.coe_prop, mem_preimage]"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nH : ↑↑μ (o \\ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ Finset.image (fun x => ↑↑x) w), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n\ncase H\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ (o \\ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ Finset.image (fun x => ↑↑x) w), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "suffices H : μ (o \\ ⋃ x ∈ w, closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ N / (N + 1) * μ s"
},
{
"state_after": "case H\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ o ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o) + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ MeasurableSet ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"state_before": "case H\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ (o \\ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "rw [← diff_inter_self_eq_diff,\n measure_diff_le_iff_le_add _ (inter_subset_right _ _) (measure_lt_top μ _).ne]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ MeasurableSet ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)\n\ncase H\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ o ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o) + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"state_before": "case H\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ o ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o) + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ MeasurableSet ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"tactic": "swap"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nH : ↑↑μ (o \\ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (y : ↑(u i)) (_ : y ∈ w), closedBall (↑↑y) (r ↑↑y)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nH : ↑↑μ (o \\ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ Finset.image (fun x => ↑↑x) w), closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "rw [Finset.set_biUnion_finset_image]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nH : ↑↑μ (o \\ ⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s\n⊢ ↑↑μ (s \\ ⋃ (y : ↑(u i)) (_ : y ∈ w), closedBall (↑↑y) (r ↑↑y)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "exact le_trans (measure_mono (diff_subset_diff so (Subset.refl _))) H"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ MeasurableSet (⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ MeasurableSet ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"tactic": "apply MeasurableSet.inter _ omeas"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nthis : Encodable ↑(u i)\n⊢ MeasurableSet (⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ MeasurableSet (⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "haveI : Encodable (u i) := (u_count i).toEncodable"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nthis : Encodable ↑(u i)\n⊢ MeasurableSet (⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "exact MeasurableSet.iUnion fun b => MeasurableSet.iUnion fun _ => measurableSet_closedBall"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ o = 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "rw [μo, ← add_mul, ENNReal.div_add_div_same, add_comm, ENNReal.div_self, one_mul] <;> simp"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s ≤\n ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o) + ↑N / (↑N + 1) * ↑↑μ s",
"tactic": "refine' add_le_add _ le_rfl"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ 1 / (↑N + 1) * ↑↑μ s ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"tactic": "rw [div_eq_mul_inv, one_mul, mul_comm, ← div_eq_mul_inv]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ↑↑μ s / (↑N + 1) ≤ ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"tactic": "apply hw.le.trans (le_of_eq _)"
},
{
"state_after": "case hd\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun x => o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)\n\ncase hm\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∀ (b : ↑(u i)), b ∈ w → MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑↑b) (r ↑↑b))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ ((⋃ (x : ↑(u i)) (_ : x ∈ w), closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) ∩ o)",
"tactic": "rw [← Finset.set_biUnion_coe, inter_comm _ o, inter_iUnion₂, Finset.set_biUnion_coe,\n measure_biUnion_finset]"
},
{
"state_after": "case hd\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nthis : PairwiseDisjoint ↑w fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)\n⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun x => o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)",
"state_before": "case hd\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun x => o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)",
"tactic": "have : (w : Set (u i)).PairwiseDisjoint\n fun b : u i => closedBall (b : α) (r (b : α)) := by\n intro k _ l _ hkl; exact hu i k.2 l.2 (Subtype.val_injective.ne hkl)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hd\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nthis : PairwiseDisjoint ↑w fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)\n⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun x => o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)",
"tactic": "exact this.mono fun k => inter_subset_right _ _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk : ↑(u i)\na✝¹ : k ∈ ↑w\nl : ↑(u i)\na✝ : l ∈ ↑w\nhkl : k ≠ l\n⊢ (Disjoint on fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)) k l",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ PairwiseDisjoint ↑w fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)",
"tactic": "intro k _ l _ hkl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk : ↑(u i)\na✝¹ : k ∈ ↑w\nl : ↑(u i)\na✝ : l ∈ ↑w\nhkl : k ≠ l\n⊢ (Disjoint on fun b => closedBall (↑↑b) (r ↑↑b)) k l",
"tactic": "exact hu i k.2 l.2 (Subtype.val_injective.ne hkl)"
},
{
"state_after": "case hm\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nb : ↑(u i)\na✝ : b ∈ w\n⊢ MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑↑b) (r ↑↑b))",
"state_before": "case hm\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ ∀ (b : ↑(u i)), b ∈ w → MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑↑b) (r ↑↑b))",
"tactic": "intro b _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hm\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nb : ↑(u i)\na✝ : b ∈ w\n⊢ MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑↑b) (r ↑↑b))",
"tactic": "apply omeas.inter measurableSet_closedBall"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk : α\nhk : k ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl : α\nhl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : k ≠ l\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) k l",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\n⊢ PairwiseDisjoint ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w) fun x => closedBall x (r x)",
"tactic": "intro k hk l hl hkl"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nl : α\nhl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nk' : ↑(u i)\nleft✝ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ l\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) (↑↑k') l",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk : α\nhk : k ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl : α\nhl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : k ≠ l\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) k l",
"tactic": "obtain ⟨k', _, rfl⟩ : ∃ k' : u i, k' ∈ w ∧ ↑k' = k := by\n simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hk"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) ↑↑k' ↑↑l'",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nl : α\nhl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nk' : ↑(u i)\nleft✝ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ l\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) (↑↑k') l",
"tactic": "obtain ⟨l', _, rfl⟩ : ∃ l' : u i, l' ∈ w ∧ ↑l' = l := by\n simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hl"
},
{
"state_after": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\nk'nel' : ↑k' ≠ ↑l'\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) ↑↑k' ↑↑l'",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) ↑↑k' ↑↑l'",
"tactic": "have k'nel' : (k' : s) ≠ l' := by intro h; rw [h] at hkl ; exact hkl rfl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\nk'nel' : ↑k' ≠ ↑l'\n⊢ (Disjoint on fun x => closedBall x (r x)) ↑↑k' ↑↑l'",
"tactic": "exact hu i k'.2 l'.2 k'nel'"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk : α\nhk : k ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl : α\nhl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : k ≠ l\n⊢ ∃ k', k' ∈ w ∧ ↑↑k' = k",
"tactic": "simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hk"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nl : α\nhl : l ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nk' : ↑(u i)\nleft✝ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ l\n⊢ ∃ l', l' ∈ w ∧ ↑↑l' = l",
"tactic": "simpa only [mem_image, Finset.mem_coe, Finset.coe_image] using hl"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\nh : ↑k' = ↑l'\n⊢ False",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\n⊢ ↑k' ≠ ↑l'",
"tactic": "intro h"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑l' ≠ ↑↑l'\nh : ↑k' = ↑l'\n⊢ False",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑k' ≠ ↑↑l'\nh : ↑k' = ↑l'\n⊢ False",
"tactic": "rw [h] at hkl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁴ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝³ : SecondCountableTopology α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : OpensMeasurableSpace α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝ : IsFiniteMeasure μ\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nhN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\ns : Set α\nr : α → ℝ\nrpos : ∀ (x : α), x ∈ s → 0 < r x\nrle : ∀ (x : α), x ∈ s → r x ≤ 1\nhμs : 0 < ↑↑μ s\nh✝ : Nonempty α\nNpos : N ≠ 0\no : Set α\nso : s ⊆ o\nomeas : MeasurableSet o\nμo : ↑↑μ o = ↑↑μ s\na : BallPackage (↑s) α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s), 0 < r ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s), r ↑x ≤ 1) }\nu : Fin N → Set ↑s\nhu : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (u i) fun j => closedBall (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nhu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s) (_ : j ∈ u i), ball (BallPackage.c a j) (BallPackage.r a j)\nu_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (u i)\nv : Fin N → Set α := fun i => ⋃ (x : ↑s) (_ : x ∈ u i), closedBall (↑x) (r ↑x)\nA : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i\nS : ∑ _i : Fin N, ↑↑μ s / ↑N ≤ ∑ i : Fin N, ↑↑μ (s ∩ v i)\ni : Fin N\nhi : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ↑↑μ (s ∩ v i)\nB : ↑↑μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nw : Finset ↑(u i)\nhw : ↑↑μ s / (↑N + 1) < ∑ x in w, ↑↑μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))\nk' : ↑(u i)\nleft✝¹ : k' ∈ w\nhk : ↑↑k' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nl' : ↑(u i)\nleft✝ : l' ∈ w\nhl : ↑↑l' ∈ ↑(Finset.image (fun x => ↑↑x) w)\nhkl : ↑↑l' ≠ ↑↑l'\nh : ↑k' = ↑l'\n⊢ False",
"tactic": "exact hkl rfl"
}
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