Datasets:

Modalities:
Text
Formats:
parquet
Languages:
Russian
Size:
< 1K
Libraries:
Datasets
pandas
License:
Dataset Viewer
Auto-converted to Parquet
question
stringlengths
75
722
verifiable_answer
stringlengths
1
11
year
stringclasses
34 values
grade
stringclasses
5 values
full_answer
stringlengths
1
67
solutions
listlengths
0
7
task_complexity
stringclasses
3 values
olympiad
stringclasses
2 values
На острове Невезения с населением 96 человек провели пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина граждан. Гражданин выходит на митинг, если недоволен более чем половиной реформ. Какое максимальное число людей может быть на митинге?
80
2005
all
80
[ "Общее число недовольств: $ 48 \\cdot 5 = 240 $. Каждый на митинге недоволен хотя бы тремя реформами, поэтому $ 3x \\leq 240 $, $ x \\leq 80 $. Пример: 80 человек, разбитых на 5 групп по 16, недовольных разными реформами." ]
MEDIUM
mos
Клетчатый квадрат $8 \times 8$ согнули по линиям клеток в квадрат $1 \times 1$. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон. На сколько частей мог распасться квадрат?
9
2005
all
9
[ "При разрезании вертикального квадрата 1×1 все разрезы накладываются друг на друга. Число частей — 9." ]
MEDIUM
mos
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
3
2006
all
На 3-й этаж
[ "Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более 10·9·3 = 270, то есть в 10-м подъезде квартира № 333 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах будет не менее 9·9·5 = 405 квартир, то есть искомая квартира будет не в десятом подъезде. Значит, квартир на этаже 4. В первых девяти подъездах 9·9·4 = 324 квартиры. В десятом подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем — с 333-й. Петя должен подняться на третий этаж." ]
MEDIUM
mos
В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?
7
2006
all
7
[ "Пример таблицы, в которой ровно семь ненулевых чисел:\n\n| 0 | 1 | -1 |\n| -1 | 2 | 1 |\n| 1 | -1 | 0 |\n\nДокажем, что меньшим количеством ненулевых чисел обойтись нельзя. Если в таблице ровно одно ненулевое число, то сумма чисел в строке, содержащей это число, отлична от нуля. Если в таблице ровно три ненулевых числа, то если все они стоят в одной строке, то сумма чисел в любом столбце отлична от нуля. Если не все они стоят в одной строке, то в какой-нибудь строке стоит ровно одно ненулевое число, и сумма чисел в этой строке не равна нулю. Если в таблице ровно пять ненулевых чисел, то в таблице стоит 4 нуля, значит, какие-то два нуля стоят в одной строке. Поскольку сумма чисел в этой строке равна нулю, все числа в строке — нули. В столбце, в котором стоит оставшийся ноль, ровно два нуля, что невозможно." ]
HARD
mos
В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными числами от 1 до 2006. На карточке с номером 2006 лежит карточка с номером 2005, и так далее до 1. За ход разрешается взять одну верхнюю карточку (из любой коробки) и переложить её либо на дно пустой коробки, либо на карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно, чтобы переложить все карточки в другую коробку?
11
2006
all
11
[ "Ответ следует из общего факта: пусть количество карточек равно n, где 2^{k−1} ≤ n < 2^k (n, k — натуральные числа). Тогда требуется k пустых коробок. Сначала покажем следующее: k коробок достаточно, причём если n = 2^{k−1}, то не требуется использовать исходную коробку после того, как она освободится. При k = 1 утверждение тривиально. Пусть оно верно для некоторого натурального k. Вначале пусть n = 2^k. Возьмём пустые коробки с номерами от 1 до k + 1. По предположению индукции можно перенести верхние 2^{k−1} карточки в коробку номер k, используя коробки 1, …, k и не используя исходную коробку, которая ещё не пуста. Аналогично переносим нижние 2^{k−1} карточки в коробку номер k + 1, используя коробки 1, …, k − 1, k + 1. После этого подвергаем верхние карточки обратному перекладыванию, заменив исходную коробку на (k + 1)-ю. В итоге все карточки будут переложены в коробку k + 1, причём мы не использовали исходную коробку после того, как она освободилась.", "Пусть теперь 2^k < n < 2^{k+1}. Вначале переложим, как описано выше, 2^k карточек в коробку k + 1, использовав коробки 1, …, k + 1. Оставшиеся n − 2^k < 2^k карточек по предположению индукции можно переложить в коробку k, использовав коробки 1, …, k. Теперь подвергаем «верхние» карточки обратному перекладыванию, заменив исходную коробку на k-ю. Для дальнейшего заметим, что если используется минимально возможное количество коробок, то все они окажутся одновременно занятыми не позже, чем мы освободим исходную коробку. Действительно, пусть это неверно. Отметим в начальный момент какую-то пустую коробку i. Пусть на некотором шаге мы кладём в неё карточку. Так как по предположению какая-то коробка будет после этого пуста, то можно заменить i на эту коробку, начиная с данного шага. Будем поступать так каждый раз, когда нужно класть карточку в коробку i. В итоге мы переложим нижнюю карточку в некоторую коробку j. После этого повторим все действия в обратном порядке, заменив исходную коробку на j. Карточки будут переложены в коробку j, а коробка i использована не будет, то есть количество коробок можно уменьшить.", "Теперь покажем, что при 2^{k−1} ≤ n < 2^k потребуется не менее k коробок. При k = 1, 2 это тривиально. Пусть это верно для некоторого k ≥ 2, и пусть 2^k ≤ n < 2^{k+1}. Предположим, что можно обойтись k коробками. Разобьём исходную стопку карточек на верхнюю и нижнюю части, содержащие не менее чем по 2^{k−1} карточек. В силу доказанного выше, в некоторый момент потребуется занять «нижними» карточками k коробок уже для того, чтобы освободить исходную. «Верхние» карточки не могут при этом находиться в исходной коробке (до этого шага она ещё не пуста, а верхняя из «нижних» карточек уже снята). Значит, они находятся в некоторой другой коробке i на самой верхней из «нижних» карточек (обозначим её a). Так как «нижние» карточки занимают k > 1 коробок, то карточка a ещё должна быть переложена, чтобы все они оказались в одной коробке. Для этого потребуется в некоторый момент занять «верхними» карточками k других коробок. В них не могут находиться «нижние» карточки (поскольку непосредственно под «верхней» карточкой может находиться лишь карточка a, а она ещё находится в коробке i). Значит, все «нижние» карточки уже находятся в одной коробке — противоречие. Таким образом, потребуется не менее k + 1 коробок." ]
HARD
mos
Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросенка–2», а потом вместе с Красной Шапочкой и ее бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка–2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросенку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между ее авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?
700
2007
all
700 золотых монет
[ "За книгу «Три поросёнка-2» каждый автор должен получить четверть гонорара. Но так как Наф-Наф уже забрал свою долю, Волку причитается 1/3 остатка. За книгу «Красная Шапочка-2» Волку также полагается 1/3 гонорара. Поэтому всего он должен получить треть переданной ему суммы: 2100 : 3 = 700 золотых монет." ]
EASY
mos
Даша живёт на 6 этаже. Таня пошла не вниз, а вверх, дойдя до последнего этажа, спустилась к себе. Оказалось, что Таня прошла в полтора раза больше, чем если бы сразу пошла вниз. Сколько этажей в доме?
7
2007
all
7 этажей
[ "Пусть с шестого этажа Тане надо было спуститься на n этажей. Тогда «лишний путь» Тани составил 1,5n − n = 0,5n этажей. Вверх она поднялась на n/4 этажей. Если n/4 = 1, то Таня живёт на 4 этажа ниже Даши, и в доме 7 этажей. Если бы n/4 было 2 или больше, Тане пришлось бы спуститься минимум на 8 этажей вниз, что невозможно." ]
MEDIUM
mos
Население деревни за первый год увеличилось на n человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население выросло на 300%, а за второй — на n%. Сколько жителей стало в деревне?
500
2007
all
500
[ "Пусть изначально в деревне было x жителей. Тогда через год x + n = 4x (300% роста), откуда n = 3x. Через два года 4x + 300 = 4x + (n·4x)/100. Подставляя n = 3x, получаем 300 = (12x²)/100 → x² = 2500 → x = 50. Итого через два года: 4·50 + 300 = 500 жителей." ]
MEDIUM
mos
В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. За победу 3 очка, за ничью 1, за поражение 0. Команда успешна, если набрала хотя бы половину максимальных очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть?
15
2007
all
15
[ "Максимально возможное количество очков у одной команды: 15 игр · 3 очка = 45. Успешная команда набрала ≥23 очка. Пусть n — количество успешных команд. Тогда общее количество очков ≥23n. В каждой игре разыгрывается ≤3 очков, всего игр (16·15)/2 = 120, общее количество очков ≤360. Тогда 23n ≤ 360 → n < 16. Покажем, что n = 15 возможно: пусть команда 16 проиграла всем, остальные 15 команд выиграли у следующих 7 по кругу и проиграли остальным. Тогда каждая из 15 команд наберёт 24 очка." ]
MEDIUM
mos
В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M — середина AD. Известно, что угол BMC равен 90°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
30
2007
all
30°
[ "Построим точку C₁ на прямой CM так, что C₁M = CM, и точку B₁ на прямой BM так, что B₁M = BM. Тогда BCB₁C₁ — ромб, так как диагонали перпендикулярны. Из равенства треугольников и свойств ромба получаем, что ∠3 + ∠4 = 60° + 60° − 90° = 30°, где ∠3 и ∠4 — углы, связанные с диагоналями четырёхугольника." ]
MEDIUM
mos
На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M, N так, что KM параллельна двум сторонам квадрата, а LN — двум другим. KL отсекает треугольник периметра 1. Какова площадь треугольника, отсекаемого MN?
1/4
2007
all
1/4
[ "Обозначим длины отрезков AL = x, AK = y. По теореме Пифагора 1 − x − y = √(x² + y²). Возведя в квадрат, получаем 1 = 2x + 2y − 2xy. Тогда площадь треугольника NMC равна (1 − x)(1 − y)/2 = (1 − x − y + xy)/2 = 1/4." ]
MEDIUM
mos
Автостоянка 7×7 клеточек. Незнайка расставил 24 машины так, чтобы все могли выехать. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.
28
2008
all
28 машин
[ "Можно поставить 28 машин, например, как на рис. 4. Можно ли больше — жюри неизвестно." ]
MEDIUM
mos
Дима спускается на лифте с этажа за 1 минуту, а поднимается пешком после нажатия доступной кнопки. Путь наверх занимает 1 минуту 10 секунд. Лифт и Дима имеют постоянные скорости. На каком этаже живет Дима?
7
2008
all
7 этаж
[ "Первое решение: Разница между подъемом и спуском составляет 10 секунд. Путь пешком — 1 промежуток между этажами. Второе решение: Решение системы уравнений дает n=7, m=6." ]
MEDIUM
mos
Вася на остановке увидел 1 автобус и 2 трамвая. Шпион, пришедший позже, за время наблюдения увидел 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время?
4
2008
all
4 трамвая
[ "Пример: автобусы ходят в 9:00, 10:00..., трамваи — с интервалом 1 час 58 минут. Доказательство: интервал трамвая меньше двух часов. За время наблюдения Шпиона между автобусами 1-3, 3-5, 5-7, 7-9 проехало не менее 4 трамваев." ]
MEDIUM
mos
В турнире участвовали 20 спортсменов и 10 арбитров. После окончания каждой игры участники фотографировались с арбитром. Оказалось, что не про каждого можно определить, кто он — спортсмен или арбитр. Сколько могло быть таких людей?
2
2008
all
2 человека
[ "Каждый подозрительный человек должен быть на всех фотографиях с одним арбитром. Доказательство через периодичность и симметрию показывает, что таких людей двое." ]
HARD
mos
Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7
3
2008
all
3 студента
[ "Каждый студент виден 2, 3 или 6 храпометрам. Сумма показаний 7. Возможны только 3 студента (3+2+2)." ]
MEDIUM
mos
Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем 2008!.
47
2008
all
47
[ "2008! делится на 45^45 и 46^46, но не делится на 47^47, так как 47 простое и 47·42 < 2008 < 47·43." ]
HARD
mos
У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырёхзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?
2022
2009
all
2022
[ "В 2010, 2011, ..., 2019 годах и в 2021 году в номере года есть единица, и если её поставить на первое место, число заведомо уменьшится. Число 2020 можно уменьшить до 2002. А вот число 2022 нельзя уменьшить, переставляя цифры." ]
MEDIUM
mos
Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырёх арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег. В ответе напишите минимально возможное количество потраченных денег.
23
2009
all
23
[ "Ответ: число 2009 можно получить за 23 рубля следующим способом: 2009 = (2 · (2 + 1) + 1)(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · (2 + 1) · (2 + 1) − 1). Объясним, как эту задачу можно было бы решать. Заметим, что выражение можно составлять из произвольных чисел, заменив каждое из них на сумму соответствующего числа единиц. В частности, 2009 можно получить как сумму 2009 единиц. Но так как произведение обычно больше суммы, выгоднее числа не складывать, а умножать. Если разложить 2009 на простые множители, получится выражение 7 · 7 · 41 стоимостью 7 + 7 + 41 = 55 рублей. Теперь можно попробовать получить более дешёвым способом эти сомножители. Например, 41 можно получить за 12 рублей: 5 · 2 · 2 · 2 + 1. Аналогично 7 = 2 · 3 + 1. Воспользовавшись этим, можно получить 2009 за 24 рубля: (2 · 3 + 1)(2 · 3 + 1)(5 · 2 · 2 · 2 + 1). Можно попробовать удешевить один из сомножителей по-другому: например, представить 41 как 42 − 1 = 2 · 3 · 7 − 1 = 2 · 3 · (2 · 3 + 1) − 1. Снова получилось 12 рублей. Итак, дальше удешевлять отдельные сомножители так не получается, но можно попробовать применить ту же идею для каких-то их произведений. Например, можно представить 7 · 41 = 287 как 288 − 1 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 − 1, что получается за 23 рубля. Этот результат наилучший. Однако жюри неизвестно доказательство этого, не использующее компьютерного перебора." ]
HARD
mos
Известно, что квадратные уравнения ax² + bx + c = 0 и bx² + cx + a = 0 (a, b и c — отличные от нуля числа) имеют общий корень. Найдите его.
1
2009
all
1
[ "Ответ: 1. Первое решение. Домножим первое уравнение на x и вычтем из него второе. Ясно, что общий корень исходных уравнений будет и корнем получившегося уравнения: (ax³ + bx² + cx) − (bx² + cx + a) = 0 ⇔ a(x³ − 1) = 0. Но у последнего уравнения только один корень — а именно, 1.", "Второе решение. Можно решить задачу и «в лоб». Найдём сначала, при каких x значения обоих квадратных трёхчленов равны, — для этого нужно решить уравнение: ax² + bx + c = bx² + cx + a, то есть (a − b)x² + (b − c)x + (c − a) = 0. Можно решить его по формуле, но проще заметить, что 1 — его корень (что и не удивительно — оба трёхчлена принимают при x = 1 значение a + b + c), а второй корень (при a ≠ b) по теореме Виета равен (c − a)/(a − b). Нетрудно привести пример, когда x = 1 действительно является общим корнем наших трёхчленов, — нужно взять любые a, b, c с нулевой суммой. Проверим, может ли быть общим корнем x = (c − a)/(a − b). Подставляя его в первое уравнение, получаем, что для этого a(a² + b² + c² − ab − ac − bc) должно обратиться в ноль. Но a² + b² + c² − ab − ac − bc = 1/2((a − b)² + (b − c)² + (c − a)²) может обратиться в ноль только при a = b = c, а в этом случае у наших уравнений нет общих корней." ]
MEDIUM
mos
На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?
21
2010
all
21
[ "Решение. Заметим, что количество частей всегда на 1 больше количества разрезов. Значит, красных колец 4, жёлтых — 6, а зелёных — 10. Таким образом, всего разрезов 4 + 6 + 10 = 20, а частей 21." ]
EASY
mos
В обменном пункте совершаются операции двух типов: 1) дай 2 евро — получи 3 доллара и конфету в подарок; 2) дай 5 долларов — получи 3 евро и конфету в подарок. Когда богатенький Буратино пришёл в обменник, у него были только доллары. Когда ушёл — долларов стало поменьше, евро так и не появились, зато он получил 50 конфет. Во сколько долларов обошёлся Буратино такой «подарок»?
10
2010
all
10
[ "Решение. Поскольку Буратино получил 50 конфет, он совершил ровно 50 операций. При этом все полученные евро он вновь обменял на доллары. Поэтому на каждые 3 операции первого типа приходилось по 2 операции второго типа. То есть Буратино 30 раз получал по 3 доллара и 20 раз отдавал по 5 долларов. Значит, он потратил 20 · 5 − 30 · 3 = 10 долларов." ]
MEDIUM
mos
На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера. Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10 г. Найдите суммарную массу всех 18 монет на границе треугольника.
60
2010
all
60 г
[ "Первое решение. Возьмём ромбик из 4 монет. Как видно из рисунка 15, массы двух монет в нём равны. Разбивая монеты на такие ромбики, получаем, что монеты одного цвета имеют одинаковую массу. Тогда сумма масс монет на границе равна 6·10=60 г.", "Второе решение. Все монеты без центральной можно разбить на 9 троек, а все внутренние монеты без центральной — на 3 тройки. Значит, монеты на границе весят столько же, сколько 9−3=6 троек, то есть 60 г." ]
MEDIUM
mos
На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно +1 или −1, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведение чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?
2005
2010
all
2005
[ "Решение. Если все произведения sₖ равны 1, то все aₖ равны. Это противоречит условию. Если все sₖ, кроме одного, равны 1, и одно равно −1, то можно доказать, что тогда a₁ = a₁₁ = ... = a₂₀₀₁ = a₂ = ... = a₈, и a₂₀₀₈ = −a₉, a₂₀₀₉ = −a₁₀. Положив a₁ = a₂ = ... = a₂₀₀₇ = 1, a₂₀₀₈ = a₂₀₀₉ = −1, получаем, что s₁ = ... = s₂₀₀₈ = 1, а s₂₀₀₉ = −1. Таким образом, наибольшая возможная сумма равна 2005." ]
MEDIUM
mos
Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?
9
2010
all
9
[ "Решение. Допустим, прямых 8. Тогда они имеют не более 28 точек пересечения. Ломаная не может иметь вершин не в точках пересечения прямых, кроме начальной и конечной, то есть не может иметь более 29 звеньев. Пример для девяти прямых изображён на рисунке 27." ]
MEDIUM
mos
Какое наибольшее значение может принимать выражение 1:(a+2010:(b+1:c)), где a, b, c — попарно различные ненулевые цифры?
1/203
2010
all
1/203 при a = 2, b = 9, c = 1.
[ "Решение. Так как a, b, c — положительные числа, не превосходящие 9, 1/(a + 2010/(b + 1/c)) ≥ 1/(a + 2010/(b + 1/c)). Максимальное значение достигается при a = 2, b = 9, c = 1, что даёт 1/(2 + 2010/(9 + 1/1)) = 1/203." ]
MEDIUM
mos
«А это вам видеть пока рано», –– сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте глаза!» Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников увидели то, что видеть рано.
22
2011
all
22
[ "Решение. То, что видеть пока рано, две трети девочек увидели правым глазом, а две трети мальчиков — левым. Всего, стало быть, один глаз не закрыли две трети всех учеников — 22 человека." ]
MEDIUM
mos
Найти все решения ребуса Я + ОН + ОН + ... + ОН (8 раз) = МЫ, где одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные — разные.
96
2011
all
0 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 96
[ "Решение. Так как 8 · ОН < 100, то ОН ≤ 12. О = 1, Н = 2 (Н ≠ 0, так как Я и Ы будут равны). Тогда МЫ = 96, Я = 0." ]
MEDIUM
mos
На сколько лет Павел младше Петра, если их возраст равен сумме цифр годов рождения.
9
2011
all
9 лет
[ "Решение. Уравнение 11(x−u) + 2(y−v) = 101. С учётом ограничений получается разница в 9 лет." ]
MEDIUM
mos
На острове Невезения в сутках 77 минут, а в часе 91 секунда. Сколько секунд в сутках на острове?
1001
2012
all
1001.
[ "Решение. Пусть в сутках a часов, в часе b минут, в минуте c секунд. Тогда 77 = ab, 91 = bc. Разложив 77 = 7·11 и 91 = 7·13, получаем b = 7, a = 11, c = 13. Итого в сутках 11·7·13 = 1001 секунда." ]
EASY
mos
Кузнечик прыгает на 50 см. Какое наименьшее количество прыжков ему нужно сделать, чтобы обойти 8 точек на рисунке 5?
8
2012
all
8 прыжков.
[ "Решение. Кузнечику нужно обойти 8 точек, начиная и заканчивая в произвольных точках. За 7 прыжков он не сможет, так как между E, F, G, H есть только одна соседняя точка, и обход невозможен." ]
MEDIUM
mos
К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
19
2012
all
19 членов.
[ "Решение. Для чисел от 16 до 34 приписывание двух цифр справа даёт квадраты от 41²=1681 до 59²=3481. Это 19 чисел." ]
MEDIUM
mos
На скатерти площади S после разных сгибаний видимая площадь пятен равна S1. Найдите наименьшее S1:S.
2/3
2012
all
2/3.
[ "Решение. Доказано, что S1 ≥ 2S/3, используя симметрию относительно центра скатерти. Пример: S = a²/2, S1 = a²/3, отношение 2/3." ]
MEDIUM
mos
Два велогонщика ехали со скоростью 40 км/ч, расстояние между ними было равно 30 метрам. Начался подъем, на котором скорость велосипедиста падает до 30 км/ч. Каким стало расстояние между велосипедистами, когда они оба находились на подъеме? (При необходимости округлите ответ до целого числа метров.)
23
2014
11
23
[]
MEDIUM
mos
У Сизифа есть куча из 2015 камней, которую он хочет разделить на 2015 кучек по одному камню. За одну операцию он может разбить любую кучку на две, но если они не одинаковые, то платит штраф в 1 рубль. Какой наименьший штраф ему придется заплатить?
9
2014
11
9
[]
MEDIUM
mos
У куба и правильного октаэдра совпадают середины ребер. Найдите отношение объема куба к объему октаэдра. (Ответ округлите до 1/100 и запишите в формате типа 2,78.)
0.75
2014
11
0,75
[]
MEDIUM
mos
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты — ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?
6
2014
8
6 минут
[ "Ответ. 6 минут. Решение. Отметим первого и второго фотографа на круге с помощью точек A и B соответственно (рис. 15), точками C и D обозначим середины дуг (CD — диаметр), соединяющих A и B. Тогда круг можно разделить на две половины: на дуге CAD Володя ближе к первому фотографу, а на дуге CBD (жирным на рис. 15) — ближе ко второму. По условию, ближе ко второму фотографу он был 3 минуты, т.е. ровно то время, пока бежал по дуге CBD. Следовательно, весь круг пробегает за 6 минут." ]
MEDIUM
mos
В остроугольном треугольнике ABC, где ∠A = 45°, проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Биссектриса угла BAA₁ пересекает B₁A₁ в D, биссектриса угла CAA₁ пересекает C₁A₁ в E. Найдите угол между BD и CE.
67.5
2014
8
67,5°
[ "Ответ. 67,5°. Решение. Прямая AA₁ — биссектриса ∠B₁A₁C₁ (высота треугольника — биссектриса его ортотреугольника). Докажем, что ∠B₁A₁C₁ = 90°. Тогда ∠AA₁C₁ = ∠AA₁B₁ = 45°. Пусть K и L — точки пересечения AA₁ с CE и BD. Так как ∠KA₁E = ∠EA₁C = ∠BA₁D = ∠DA₁L = 45°, то D равноудалена от AA₁ и AB, а E — от AA₁ и AC. Таким образом, BD и CE — биссектрисы внешних углов. По теореме о сумме углов треугольника ∠BMC = (β + γ) = 67,5°, где β + γ = 22,5°." ]
MEDIUM
mos
Замените в слове МАТЕМАТИКА буквы цифрами и знаками сложения/вычитания, чтобы выражение равнялось 2014.
183+1839-8
2014
all
1 8 3 + 1 8 3 9 - 8 = 2014
[ "Комментарий. Перебор показывает, что выражение MAT + MATИ - А = 2014. MAT · 11 = 2013, что приводит к ответу." ]
MEDIUM
mos
Одуванчик утром распускается, три дня цветет желтым, на четвертый становится белым, на пятый облетает. В понедельник днем было 20 желтых и 14 белых, в среду — 15 желтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет в субботу?
6
2014
all
6 белых
[ "Решение. В субботу будут белыми одуванчики, распустившиеся во вторник или среду. Всего их 26 - 20 = 6." ]
MEDIUM
mos
Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5 × 8, идущие по диагоналям прямоугольников 1 × 2. Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее. Пересекать уже проведенные диагонали или проходить второй раз через уже посещенные вершины не разрешается. Какой длина у наибольшего возможного пути?
24
2014
all
Наиболее длинный путь — 24 диагонали
[ "Комментарий. Пример пути из 24 диагоналей приведен на рис. 10. Доказательство оптимальности отсутствует." ]
MEDIUM
mos
На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблокав каждом. Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?
0
2014
all
1 рубль
[ "Решение. Сумма весов всех рядов равна 3×(всех яблок). Если пять рядов равны, то шестой ряд отличается. Таким образом, достаточно взвесить один ряд, чтобы определить, является ли он отличающимся." ]
MEDIUM
mos
В магазине 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите минимальное k, чтобы можно было снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся висели подряд.
10
2014
all
10
[ "Решение. Покажем, что k=10 хватит. Если снять все белые слева и фиолетовые справа, оставшиеся будут идти подряд. Примеры показывают, что меньшее k недостаточно." ]
MEDIUM
mos
Из n палочек можно сложить тупоугольный треугольник из любых трех. Каково максимальное n?
4
2014
all
4
[ "Решение. Для n≥5 из a₁ + a₂ > a₅ и a₅² > a₄² + a₃² следует противоречие. Пример для n=4: 1, 1, 1.5, 1.9." ]
MEDIUM
mos
Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит ее по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
5
2014
all
5 ходов
[ "Решение. Петя первыми тремя ходами отмечает треугольник ABC, подобный исходному. Если Вася покрасит A и B в один цвет, а C в другой, Петя отметит P и Q так, что △PAB и △BQA подобны ABC. Если P или Q в первом цвете, образуется подобный треугольник. Если оба во втором, △CPQ подобен ABC." ]
MEDIUM
mos
Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось n исправных кнопок. Любое число от 1 до 99999999 можно набрать или как сумму двух чисел, набранных исправными кнопками. Каково минимальное n?
5
2014
all
5
[ "Решение. Если n=5 (0,1,3,4,5), любая цифра представима суммой двух рабочих. Для n<5 невозможно представить все цифры, так как суммы пар дают максимум 4 нечетных чисел." ]
MEDIUM
mos
В треугольник $\Delta$ вписана окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$. Коэффициент подобия между треугольниками $\Delta_1$ и $\Delta$ равен 0,15; между треугольниками $\Delta_2$ и $\Delta$ — 0,43. Найдите коэффициент подобия между треугольниками $\Delta_3$ и $\Delta$. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
0.42
2015
11
0,42
[]
HARD
mos
Достаточно высокая цилиндрическая бочка с диаметром основания 2 до краёв заполнена водой. В неё погрузили куб с ребром 4 так, что одна из главных диагоналей куба лежит на оси цилиндра. Найдите объём вытесненной воды. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
0.31
2015
11
0,31
[]
HARD
mos
На вечеринку пришло 65 человек. Известно, что среди любых четырех из них найдутся трое попарно знакомых. Какое наименьшее количество пар знакомых может быть среди этих 65 человек?
2016
2015
11
2016
[]
HARD
mos
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только четные цифры.
228888
2015
8
228888
[ "Решение. Пусть akak−1...a1 — десятичная запись этого числа (обозначим его n). Тогда\n\nn = a2a1 + 100 a4a3 + 10000 a6a5 + ... = a2a1 + a4a3 + a6a5 + ... + 99 · (a4a3 + 101 a6a5 + 10101 a8a7 + ...).\n\n(Здесь число 0a, если возникает, равно a.) Таким образом, числа n и s = a2a1 + a4a3 + a6a5 + ... одновременно делятся или не делятся на 99. Поскольку n кратно 99 и все его цифры четные, s кратно 198, а значит, s ≥ 198. Предположим, что в числе n не больше пяти цифр. Тогда имеем: 198 ≤ s ≤ 8 + 88 + 88 = 184, противоречие. Значит, цифр хотя бы 6.\n\nЕсли a6a5 < 22, то s < 22 + 88 + 88 = 198, поэтому первые две цифры образуют число не меньше, чем 22. Тогда наше число не меньше, чем 228888, а оно подходит." ]
HARD
mos
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол $A$ равен $120^\circ$, угол $C$ равен $135^\circ$, а угол $D$ равен $n^\circ$. Найдите все возможные целые значения $n$.
90
2015
8
90
[ "Решение. Для начала покажем, что ответ единственен. Предположим противное: пусть существует два равносторонних пятиугольника ABCDE и A′B′C′D′E′ такие, что $\\angle A = \\angle A′ = 120^\\circ$, $\\angle C = \\angle C′ = 135^\\circ$ и $\\angle D ≠ \\angle D′$. Не умаляя общности, можно считать, что длины сторон пятиугольников равны 1. Заметим, что по двум сторонам и углу между ними равны треугольники EAB и E′A′B′, а также BCD и B′C′D′. Тогда BE = B′E′ и BD = B′D′, откуда треугольники BDE и B′D′E′ равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов $\\angle BDE = \\angle B′D′E′$. Заметим также из равнобедренных треугольников BCD и B′C′D′, что $\\angle CDB = \\angle C′D′B′ = 22,5^\\circ$. Таким образом, $\\angle CDE = \\angle CDB + + \\angle BDE = \\angle C′D′B′ + \\angle B′D′E′ = \\angle C′D′E′$, что и означает единственность ответа.\n\nДокажем, что существует равносторонний пятиугольник, у которого $\\angle A = 120^\\circ$, $\\angle C = 135^\\circ$, $\\angle D = 90^\\circ$. Сначала построим такой треугольник CDE, что CD = DE = 1, $\\angle CDE = 90^\\circ$. Тогда по теореме Пифагора EC = √2. Затем построим такую точку B, что $\\angle ECB = 90^\\circ$, BC = 1. По теореме Пифагора BE = √3. Теперь построим A так, что AB = AE = 1. Опустим высоту AH треугольника ABE. Тогда AB = 1, BH = √3/2, и по теореме Пифагора AH = 1/2. Следовательно, $\\angle BAH = 60^\\circ$ и $\\angle EAB = 120^\\circ$." ]
MEDIUM
mos
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
45
2016
10
$\angle B = 45^\circ$
[ "Обозначим $\\angle ABC = \\beta$. Тогда $\\angle AOC = 2\\beta$ (центральный угол). $\\angle AEC = \\angle AOC = 2\\beta$, опирающийся на дугу $AC$. Так как $\\angle AEC$ внешний для треугольника $CEB$, $\\angle ECB = \\beta$, значит, $CEB$ равнобедренный. Аналогично $\\angle AFC = 2\\beta$, $\\angle BAF = \\beta$, треугольник $ABF$ равнобедренный. По формуле длины основания: $AB = 2 \\cdot BF \\cdot \\cos \\beta$, $BC = 2 \\cdot BE \\cdot \\cos \\beta$. Перемножив, получим $AB \\cdot BC = 4 \\cdot BE \\cdot BF \\cdot \\cos^2 \\beta$. Из отношения площадей $\\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}} = \\frac{AB \\cdot BC}{BE \\cdot BF} = 2$, откуда $1 = 2 \\cdot \\cos^2 \\beta$. Тогда $\\cos \\beta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$, значит, $\\beta = 45^\\circ$.", "Обозначим $\\angle ABC = \\beta$. Так как $\\angle AOC$ — центральный угол, $\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\angle AOC$. Также $\\angle BEO = \\angle OCA$, а $\\frac{1}{2} \\angle AOC + \\angle ACO = 90^\\circ$ (треугольник $AOC$ равнобедренный). Тогда $\\angle ABC + \\angle BEO = 90^\\circ$, то есть $EO$ — высота в треугольнике $BEC$. Аналогично $FO$ — высота в треугольнике $AFB$. Середины сторон $AB$ и $BC$ ($M$ и $N$) образуют треугольник $BMN$, подобный $BFE$ с коэффициентом $\\sqrt{2}$. Если рассмотреть окружность на $EF$ как диаметре ($MN = \\sqrt{2} \\cdot r$), то $\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot (180^\\circ - 90^\\circ) = 45^\\circ$." ]
HARD
mos
В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причем любые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?
531441
2016
10
$3^{12} = 531441$
[ "Для $N$ банд максимальное число гангстеров $g(N)$: $3^n$ при $N = 3n$, $4 \\cdot 3^{n-1}$ при $N = 3n + 1$, $2 \\cdot 3^n$ при $N = 3n + 2$. Доказательство по индукции: если граф вражды несвязен, то $f(k) \\leq g(m)g(k - m) \\leq g(k)$. Для связного графа с вершиной степени $\\geq 3$ $f(k) \\leq g(k-1) + g(k-4)$. Если граф — цепочка или цикл, то $f(k) \\leq 3g(k-3)$. Для $N = 36$ ($3n$) максимальное число гангстеров $3^{12} = 531441$." ]
HARD
mos
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
1520
2016
11
1520
[ "Заметим, что число и до, и после перестановки делится на 10 и поэтому оканчивается на 0. Для трехзначных чисел это невозможно, так как разность перестановок даст условие, при котором b-a делится на 8, что возможно только при a=0, но a не может быть первой цифрой. Для четырехзначных чисел вида 1ab0 проверяем перестановки. Если переставить 1 и a (a > 1), то разность a1b0 - 1ab0 = 900(a-1) кратна 80. Условие 45(a-1) = 4m требует, чтобы a-1 делилось на 4. При a=5 и b=2 число 1520 делится на 80 (1520 = 19·80), а перестановка 5120 также делится на 80 (5120 = 64·80)." ]
MEDIUM
mos
Три велосипедиста ездят по круговому треку длиной 300 метров с разными скоростями. Фотограф сделает снимок, если все окажутся на участке длиной d метров. При каком наименьшем d это гарантировано?
75
2016
11
75
[ "Рассмотрим движение относительно второго велосипадиста. Первый и третий движутся навстречу друг другу, их встречи происходят периодически. Дуги между встречами делятся поровну и не превосходят 150 м. Поскольку встречи сдвинуты в одном направлении, найдется дуга βₘ, содержащая точку A (положение второго велосипедиста), где расстояние до встречи не превосходит 75 м. Пример с арифметической прогрессией скоростей подтверждает, что d не может быть меньше 75." ]
MEDIUM
mos
По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?
34
2016
8
34
[ "Решение. Приведем пример для 34 положительных чисел. Возьмем все числа равными 1 по модулю, а знаки расставим следующим образом:\n\n(сначала +, потом 33 группы +—, считая против часовой стрелки). Тут всего одна пара соседних положительных чисел и 33 пары соседних отрицательных — они и дадут 34 положительных произведения; остальные произведения будут отрицательными.\n\nДокажем, что положительных чисел было не менее 34. Предположим, что их не более 33. Отрицательные числа в произведении могут образовываться, только если один из сомножителей положительный, причем каждое положительное число может участвовать не более чем в двух таких\n\nпроизведениях. Следовательно, отрицательных чисел не более 66. Но тогда всего чисел не более 99, противоречие." ]
MEDIUM
mos
Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.
3750
2016
9
3750
[ "По условию $\\overline{a A}=5 A$ (где $A$ — число, составленное из всех цифр, кроме первой, $a$ — первая цифра). Пусть $n$ — количество цифр в числе $\\overline{a A}$. Отсюда, $4 A=a \\cdot 10^{n-1} \\Rightarrow \\Rightarrow A=25 a \\cdot 10^{n-3}$. Если $n>4$, то у числа $A$, а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же $n=4$, то $A=250 a$. Ясно, что чем больше $a$, тем больше исходное число. При $a \\geqslant 4$ число $250 a$ состоит из 4 цифр, а не из трёх. При $a=3$ мы получаем $A=750$, а исходное число равно 3750. Значит, наибольшее искомое число равно 3750." ]
MEDIUM
mos
В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10 \times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10 \times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10 \times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?
10
2017
10
10
[ "Рассмотрим рамку, ограничивающую квадрат $10 \\times 10$, полностью состоящий из чёрных клеток. При по следовательном перемещении этой рамки направо, налево, вверх и вниз можно добраться до квадрата $10 \\times 10$, пол ностью состоящего из белых клеток. При этом на каждом шаге перемещения из рамки убираются 10 клеток и в неё добавляются 10 клеток. Таким образом, за один шаг ко личество чёрных клеток, содержащихся внутри квадрата, изменяется не более чем на 10 .\n\nВ частности, по пути от полностью чёрного до полностью белого квадрата встретится квадрат, в котором от 45 до 55 чёрных клеток. Для такого квадрата количество чёрных и белых клеток отличается не более чем на 10 .\n\nПостроим квадрат $2018 \\times 2018$, в котором во всех квадра тах $10 \\times 10$ количество чёрных и белых клеток отличается не меньше чем на 10 . Для этого в квадрате $2018 \\times 2018$ проведём диагональ из нижнего левого угла в верхний пра вый. Все клетки над диагональю покрасим белым, а диа гональ и клетки под диагональю — чёрным. В любом квад рате $10 \\times 10$ все клетки диагонали из нижнего левого угла в верхний правый покрашены одним цветом, причём если этот цвет чёрный, то и все клетки над диагональю чёрные, значит, их хотя бы 55 , и количество чёрных и белых клеток отличается хотя бы на 10 . Аналогично, если диагональ бе лая, то все клетки под диагональю белые, и их не менее 55 ." ]
MEDIUM
mos
Пусть $ x $ и $ y $ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $ x $, если $ \operatorname{tg} x^\circ - \operatorname{tg} y^\circ = 1 + \operatorname{tg} x^\circ \operatorname{tg} y^\circ $ ($ x^\circ $ обозначает угол в $ x $ градусов).
98721
2017
11
98721.
[ "Решение. Данное равенство при условии, что $ \\operatorname{tg} x^\\circ $ и $ \\operatorname{tg} y^\\circ $ определены, эквивалентно равенству $ \\operatorname{tg}(x - y)^\\circ = 1 $, откуда $ x - y = 45 + 180n $, где $ n \\in \\mathbb{Z} $. Следовательно, разность $ x - y $ делится нацело на 45, а значит, на 5 и на 9. Поскольку сумма всех цифр делится на 9, то каждое из чисел $ x $ и $ y $ делится на 9. Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно 98765. Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на 9, равно 98757 и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на 9, получаем числа 98748, 98739, 98730, 98721. Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку $ 98730 = 90 + 180 \\cdot 548 $, то его тангенс не определён. Число $ x = 98721 $ также состоит из различных цифр. Если взять, например, $ y = 54036 $, то получим $ x - y = 44685 = 45 + 180 \\cdot 248 $, поэтому число 98721 искомое." ]
MEDIUM
mos
Пользуясь равенством $\lg 11 = 1,0413\ldots$, найдите наименьшее число $n > 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного натуральной степени числа 11.
26
2018
11
26
[ "Число $11^k$ является $n$-значным, если $10^{n-1} < 11^k < 10^n$. При $k \\leq 24$ $k \\lg 11 < k + 1$, поэтому $n = k + 1$. При $k \\geq 25$ $k \\lg 11 > k + 1$, и $n \\geq k + 2$. Наименьшее $n$, для которого $11^k$ не является $n$-значным, это $n = 26$ (когда $k = 25$)." ]
MEDIUM
mos
Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $K$, такая что $AB = BC = CK$ и $\angle KAC = 30^\circ$. Найдите угол $AKB$.
150
2018
8
150°
[ "Первое решение. Построим на $AC$ равносторонний треугольник $ACL$ так, чтобы точки $L$ и $B$ лежали с одной стороны от $AC$. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BM$, она же серединный перпендикуляр к стороне $AC$. Так как $ALC$ — равносторонний, точка $L$ также лежит на прямой $BM$. Кроме этого, проведем в треугольнике $ALC$ высоту $AN$. Так как $AN$ является биссектрисой угла $LAC$, то точка $K$ лежит на этой прямой. Отметим также, что $K$ лежит с той же стороны от $BM$, что и $A$, так как из-за $CK = CB$ она не может лежать внутри треугольника $BMC$; таким образом, $K$ лежит на отрезке $AN$. Заметим, что прямоугольные треугольники $BMC$ и $KNC$ равны по катету и гипотенузе ($MC = AC/2 = LC/2 = NC$, $BC = KC$). Отсюда следует, во-первых, что $BM = KN$, во-вторых, что $B$ лежит на отрезке $LM$ (так как $BM = KN < AN = LM$), и, наконец, что $LB = LM - BM = AN - KN = AK$. Теперь рассмотрим четырехугольник $ALBK$. В нем $\\angle LAK = \\angle ALB = 30^\\circ$ и $AK = LB$, то есть это равнобокая трапеция. Отсюда следует, что $\\angle AKB = 180^\\circ - \\angle KAL = 150^\\circ$.", "Второе решение. Построим на отрезке $AB$ равносторонний треугольник $ABP$ так, чтобы точки $P$ и $C$ лежали по одну сторону от прямой $AB$. Тогда треугольник $PBC$ — равнобедренный с основанием $PC$ ($BP = AB = BC$). Как известно, любой отрезок, лежащий внутри треугольника, короче одной из его сторон (если он не совпадает ни с одной из них); а так как отрезок $CK$ равен сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, он должен быть короче $AC$. Отсюда следует, что для треугольника $ABC$ верно $AC > AB = BC$, то есть $\\angle ABC > 60^\\circ > \\angle BAC$. Следовательно, точка $P$ лежит по другую сторону от прямой $AC$, чем точка $B$. Заметим, что $\n\\angle BCP = \\frac{180^\\circ - \\angle PBC}{2}\n$ и $\n\\angle BCA = \\frac{180^\\circ - \\angle ABC}{2},\n$ так как треугольники $ABC$ и $PBC$ — равнобедренные. Тогда $\n\\angle PCA = \\angle PCB - \\angle ACB = \\frac{(180^\\circ - \\angle PBC) - (180^\\circ - \\angle ABC)}{2} = \\frac{\\angle ABC - \\angle PBC}{2} = \\frac{\\angle ABP}{2} = 30^\\circ,\n$ так как треугольник $ABP$ — равносторонний. Из равенства углов $\\angle KAC = 30^\\circ = \\angle ACP$ получаем $AK \\parallel CP$. Параллельность $AK$ и $CP$ и равенство $KC = AP$ означают, что четырехугольник $AKCP$ — параллелограмм или равнобокая трапеция. Заметим, что $\\angle KAP < \\angle BAP = 60^\\circ < 90^\\circ$ и $\\angle KCP < \\angle PCB < 90^\\circ$ (угол при основании равнобедренного треугольника), но в равнобокой трапеции сумма противоположных углов равна $180^\\circ$, следовательно, $AKCP$ — параллелограмм. Осталось посчитать углы. Пусть $\\angle BAK = \\alpha$, тогда $\n\\angle CAP = \\angle BAP - \\angle BAK - \\angle KAC = 30^\\circ - \\alpha.\n$ При этом $\\angle KCA = \\angle CAP$, так как $AKCP$ — параллелограмм. Заметим, что $\n\\angle BCK = \\angle BCA - \\angle KCA = \\angle BAC - \\angle KCA = \\alpha + 30^\\circ - (30^\\circ - \\alpha) = 2\\alpha.\n$ Следовательно, из суммы углов треугольника $BKC$ получаем $\n\\angle KBC = \\frac{180^\\circ - \\angle BCK}{2} = \\frac{180^\\circ - 2\\alpha}{2} = 90^\\circ - \\alpha.\n$ При этом, из суммы углов треугольника $ABC$ получаем $\n\\angle ABC = 180^\\circ - 2\\angle BAC = 180^\\circ - 2(30^\\circ + \\alpha) = 120^\\circ - 2\\alpha.\n$ Наконец, рассмотрим треугольник $ABK$. В нем известны углы $\\angle ABK = 30^\\circ - \\alpha$ и $\\angle BAK = \\alpha$. Следовательно, третий угол $\\angle AKB = 150^\\circ$.", "Третье решение. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BM$ и обозначим ее точку пересечения с прямой $AK$ за $O$. Заметим, что $\\angle AOM = 60^\\circ$ и, из симметрии относительно $BL$, $\\angle COM = 60^\\circ$. Тогда имеем $\\angle AOC = 120^\\circ$ и $\\angle COB = 120°, то есть лучи OB и OK симметричны относительно прямой CO. Так как точки B и K являются пересечениями этих лучей с некоторой окружностью с центром в C (которая тоже симметрична относительно CO), то и сами эти точки симметричны; в частности, имеем OB = OK. Получаем, что треугольник BKO равнобедренный с углом 120° при вершине O, откуда $\\angle OKB = 30°$ и $\\angle AKB = 150°$." ]
MEDIUM
mos
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий — в противном случае. В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
1/2
2018
9
1/2
[ "Обозначим числа в вершинах как $x_1, x_2, \\dots, x_{100}$. Сумма на красных отрезках $R = (x_1 + x_3 + \\dots + x_{99})(x_2 + x_4 + \\dots + x_{100})$, сумма на синих $B$ выражается как $\\frac{P^2 + Q^2 - 1}{2}$. Искомая разность $R - B = \\frac{1 - (P - Q)^2}{2} \\leqslant \\frac{1}{2}$. Максимум достигается, например, при $x_1 = x_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$ и остальных нулях." ]
HARD
mos
Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков модуль разности чисел камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?
3920000
2018
9
3920000
[ "Оценка: Пусть $P = a_1 - b_1 + a_2 - b_2 + \\dots + a_n - b_n$, где $a_i$ и $b_i$ — числа на камнях, взятых Петей на ходу $i$, $n = 20000$. Сумма $S = a_1 + b_1 + \\dots + a_n + b_n = (1 + 2 + \\dots + 400) \\cdot 100$, а $B = b_1 + \\dots + b_n$. Тогда $P = S - 2B$. Минимизируя $B$, получаем $P \\leqslant 3920000$.", "Пример: Разобьем ходы на 100 серий по 200 ходов. В каждой серии (кроме первой и последней) берем камни из соседних кучек, приносящих 200 очков на ход. Всего таких ходов $98 \\cdot 200$, итоговый результат $98 \\cdot 200 \\cdot 200 = 3920000$." ]
HARD
mos
Из шахматной доски 8×8 вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как чёрные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
23
2019
11
23
[ "Решение. Каждый двухклеточный прямоугольник содержит чёрную и белую клетки, поэтому если вырезано 9 белых клеток, то больше 32−9=23 прямоугольников вырезать не получится. Разрежем доску так, как показано на рис. 1. Вырезанные клетки при разрезании «испортят» не более 10 прямоугольников. Следовательно, у нас уже есть по крайней мере 22 целых прямоугольника. Покажем, как увеличить количество целых прямоугольников на 1. Рассмотрим изображённую на рис. 1 замкнутую цепочку клеток (по цепи идём от клетки а2 вверх). Поскольку вырезаны как белые, так и чёрные клетки, в этой цепи обязательно есть вырезанная белая клетка, за которой идёт вырезанная чёрная клетка. Если эти клетки соседние, то они «портят» только один прямоугольник, значит, при таком разрезании будет не менее 23 целых прямоугольников. В противном случае, если между ними есть ещё клетки, разделим доску между ними так, чтобы новый прямоугольник начинался сразу после вырезанной белой клетки (см. рис. 2). Тогда количество целых прямоугольников увеличится на 1. Следовательно, опять будет не менее 23 целых прямоугольников." ]
HARD
mos
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км.
1.5
2019
11
1,5 км
[ "Первое решение. Если мальчик отъедет от остановки не более чем на 500 м, то он успеет вернуться к приезду автобуса, который за это время проедет до остановки не более 1500 м. Если мальчик отъедет от остановки на расстояние, большее 500 м, то вернуться на неё до приезда автобуса он уже не успеет, значит, чтобы не упустить автобус, он должен продолжить движение до следующей остановки. Если мальчик заметит автобус, когда до второй остановки остаётся не более 1 км, то он сможет продолжить движение и оказаться на остановке не позднее автобуса, который за это время проедет не более 3 км. Таким образом, наибольшее расстояние между остановками, при котором мальчик гарантированно не упустит автобус, равно 1,5 км.", "Второе решение. Если мальчик с того момента, как заметил автобус, проехал расстояние x, то автобус проехал расстояние 3x. Предположим, что мальчик поехал навстречу автобусу и приехал на остановку одновременно с автобусом, тогда 3x + x = 2, следовательно, мальчик проехал 0,5 км до остановки, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше 0,5 км, то мальчик на неё не успеет. Если он продолжил ехать в том же направлении, что ехал изначально, и приехал на остановку одновременно с автобусом, то 3x − x = 2, следовательно, мальчик проехал 1 км, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше 1 км, то мальчик на неё не успеет. Таким образом, расстояние между остановками не должно превышать 1,5 км." ]
MEDIUM
mos
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
7
2019
11
7
[ "Решение. Рассмотрим произвольную расстановку чашек и выпишем в строчку их цвета. Под этой строчкой выпишем все её различные циклические сдвиги — всего 14 штук. Подсчитаем, сколько всего будет совпадений по цвету на одной и той же позиции в исходной расстановке и в расстановках, полученных сдвигами. Для чёрных чашек совпадения по цвету будут ровно в 6 сдвигах, а для белых — в 7 сдвигах. Следовательно, всего совпадений по цветам для 14 сдвигов будет 7·6 + 8·7 = 98. Значит, существует сдвиг, в котором будет не более 98/14 = 7 совпадений с исходной расстановкой. Рассмотрим такую расстановку чашек: ббббчбчббччбчч. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все её циклические сдвиги имеют с ней ровно 7 совпадений." ]
MEDIUM
mos
На стороне AC треугольника ABC взяли такую точку D, что угол BDC равен углу ABC. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, если BC = 1?
1/2
2019
11
1/2
[ "Первое решение. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD соответственно, а M — середина стороны BC. Треугольники ABC и BDC подобны, так как у них угол C общий, а два других угла равны по условию. Поэтому оставшиеся углы этих треугольников BAC и DBC также равны. Это означает, что описанная окружность треугольника ABD касается прямой BC, а радиус O₂B перпендикулярен касательной BC. Кроме того, O₁ лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC. Поэтому отрезок MB длины 1/2 является ортогональной проекцией отрезка O₁O₂ на прямую BC. Но проекция не длиннее отрезка, поэтому |O₁O₂| ⩾ 1/2, причём равенство достигается, когда угол ABC равен 90°, так как в этом случае O₁ — середина стороны AC, а O₂ — середина стороны AB, O₁O₂ — средняя линия треугольника ABC.", "Второе решение. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC остроугольный. По теореме о касательной и секущей AC·DC = 1. Далее, ∠BO₁C = 2∠BAC = ∠BO₂D, следовательно, подобны равнобедренные треугольники DBO₂ и CBO₁, поэтому равны углы при их основаниях. Поскольку O₁O₂ — серединный перпендикуляр отрезка AB, получаем ∠O₁O₂B = 1/2∠AO₂B = 1/2(360° − 2∠ADB) = 180° − ∠ADB = ∠BDC. Кроме того, ∠O₂BO₁ = ∠O₂BD + ∠DBO₁ = ∠O₁BC + ∠DBO₁ = ∠DBC, следовательно, треугольники O₂O₁B и DBC подобны. Из подобия получаем O₂O₁ = DC·BO₁ / BC = DC·BO₁ = (DC/2)(AO₁ + O₁C) ⩾ (DC·AC)/2 = 1/2, причём неравенство обращается в равенство, когда точка O₁ лежит на отрезке AC, т.е. треугольник ABC прямоугольный." ]
MEDIUM
mos
Многогранник с вершинами в серединах рёбер куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
8
2020
11
8
[ "Пусть ребро куба равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба на расстоянии $ 0 < h < \\frac{1}{2} $. В сечении получается восьмиугольник с углами $ 135^\\circ $. Найдём $ h $, при котором соседние стороны восьмиугольника равны: $ 2h = \\frac{\\sqrt{2}}{2} - h\\sqrt{2} $, откуда $ h = \\frac{1}{2(1+\\sqrt{2})} < \\frac{1}{2} $. Таким образом, правильный восьмиугольник в сечении возможен. Допустим, что $ n > 8 $. Рассмотрев сечения и их объединение, получим противоречие. Наибольшее число сторон — 8." ]
HARD
mos
Найдите наименьшее натуральное число $ N > 9 $, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить 7, то получится число, делящееся на 7.
13264513
2020
11
13264513
[ "Пусть $ N = \\overline{a_1 a_2 \\ldots a_n} $. Условия: $ 10a_k \\equiv a_{k+1} \\pmod{7} $. Для задачи $ N $, где $ N $ без последней цифры делится на 7, и $ n-1 $ делится на 7. Наименьшее $ n = 8 $. Число 13264513 удовлетворяет условиям и начинается с 1, поэтому оно наименьшее." ]
MEDIUM
mos
По правилам дорожного движения водитель автобуса не может работать больше 9 часов в день; он может увеличить это число до 10 часов в день, но не чаще чем два раза за 7 дней; не может работать больше 56 часов за 7 дней и 90 часов за 14 дней. Какое наибольшее число часов может проработать водитель за 2020 год?
2360
2020
11
2360
[]
MEDIUM
mos
Сколькими способами можно вычеркнуть 24 буквы из последовательности ОМОМО…МО (всего 27 букв), чтобы остались три буквы М, М, О, идущие именно в таком порядке?
364
2020
11
364
[]
MEDIUM
mos
В треугольнике $ ABC $ со сторонами $ AB = 3 $, $ BC = 4 $, $ CA = 5 $ на сторонах $ AB $, $ BC $, $ CA $ взяты пары точек $ C_1 $ и $ C_2 $, $ A_1 $ и $ A_2 $, $ B_1 $ и $ B_2 $ соответственно. Внутри треугольника $ ABC $ находится точка $ P $, такая что треугольники $ PA_1A_2 $, $ PB_1B_2 $, $ PC_1C_2 $ — равные и равносторонние. Найдите площадь выпуклого шестиугольника с вершинами в точках $ A_1 $, $ A_2 $, $ B_1 $, $ B_2 $, $ C_1 $, $ C_2 $. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
3.34
2020
11
3.34
[]
HARD
mos
Решите уравнение $ x[x[x[x[x]]]] = 122 $. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01. Напомним, что $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $ x $.
2.98
2020
11
2.98
[]
MEDIUM
mos
Среди последовательных натуральных чисел $ n+1, \ldots, n+k $ найдётся 13, любые два из которых взаимно просты. Найдите наименьшее возможное значение $ k $.
33
2020
11
33
[]
HARD
mos
Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $ (0, 1) $?
2021
2021
10
2021
[ "Если на интервале $ (0, 1) $ лежат все 2022 корня многочлена, то по теореме Виета свободный член многочлена должен быть равен их произведению, следовательно, будет тоже лежать на интервале $ (0, 1) $ и не будет целым. Докажем, что в качестве примера подойдёт многочлен $ P(x) = x^{2022} + (1 - 4042x)(3 - 4042x)\\ldots(4041 - 4042x) $. Заметим, что при всех $ k = 0, 1, \\ldots, 2021 $ число $ P\\left(\\frac{2k}{4042}\\right) = \\left(\\frac{2k}{4042}\\right)^n + (-1)^k (2k - 1)!! (4041 - 2k)!! $ является положительным при чётном $ k $ и отрицательным при нечётном $ k $. Таким образом, на интервале $ (0, 1) $ многочлен $ P(x) $ меняется знак по крайней мере 2021 раз, и следовательно имеет хотя бы 2021 корень." ]
HARD
mos
Среди n последовательных натуральных чисел больше кратных 2022, чем кратных 2021. При каком наибольшем n такое возможно?
4082419
2021
11
4082419
[]
HARD
mos
Существует единственное положительное иррациональное число x, для которого x² + x и x³ + 2x² — целые числа. Найдите x с точностью до 0,001.
1.303
2021
11
1,303
[]
MEDIUM
mos
Учёные имеют индекс Оленина k, если у них k соавторов, попарно соавторских между собой. При 2021 учёном, какое наибольшее количество различных индексов может быть?
1011
2021
11
1011
[]
HARD
mos
Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале (0;1)?
2021
2021
11
2021
[ "Рассмотрим многочлен Q(x) = x^nP(1/x), где P(x) — исходный многочлен. Q(x) имеет n-1 корней на (1;+∞), что соответствует n-1 корням P(x) на (0;1). Построим Q(x) = 1 + x(x-10)(x-20)...(x-10(n-1)), который имеет n-1 корней на (1;+∞). Тогда P(x) имеет 2021 корень на (0;1)." ]
MEDIUM
mos
Таня выписывала числа вида n^7 - 1. При n=8 число делится на 337. Найдите наименьшее n>1, при котором число делится на 2022.
79
2021
11
79
[ "Рассмотрим n^7 ≡ 1 (mod 337). Известно, что n=8 — корень. Другие корни: 8²=64, 8³=175, 8⁴=52, 8⁵=79, 8⁶=295. Из них подходят n=79, 175, 295, но минимальное n>1 — 79." ]
MEDIUM
mos
В эстафетном забеге Москва — Петушки участвовали две команды по 20 человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на 20 не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается.
38
2022
10
38
[ "Сначала докажем, что произошло не более 38 обгонов. Заметим, что между стартом и первым обгоном и между двумя последовательными обгонами хотя бы в одной из команд должен поменяться бегущий. Смен бегунов было по 19 в каждой команде, то есть всего 38, а значит, обгонов не более 38. Докажем, что 38 обгонов могло быть. Изобразим траектории команд на графике с горизонтальной осью, соответствующей времени, и вертикальной осью — пройденной дистанции. Обе траектории являются 20-звенными ломаными. Пример: траектория первой команды соединяет вершины 1, 2, 4, 6, … 50, а второй — вершины 1, 3, 5, … 51. Пересекаются отрезки (i, i+2) и (i+1, i+3) для i = 1, 2, … 38, их точки пересечения — искомые 38 обгонов." ]
HARD
mos
Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.
1/2
2022
10
1/2
[ "Середину стороны $AB$ обозначим за $M$, середину $AC$ — за $N$. Так как точки $P$ и $Q$ — точки касания вневписанной окружности треугольника $ABC$ со сторонами угла $PAQ$, то $AP = AQ$ как отрезки касательных. Их длина равна полупериметру треугольника $ABC$, то есть $AP = AQ = 1/2$. Поскольку $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, то $MN = 1/2BC$. Пусть $AB = 2c$, $BC = 2a$, $AC = 2b$. Тогда $AM = 1/2AB = c$, $AN = 1/2AC = b$, $MN = 1/2BC = a$. Также $AP = AQ = 1/2(AB + BC + AC) = a + b + c$. Из пересечения хорд $XY$ и $AP$ в точке $M$ следует $XM \\cdot MY = AM \\cdot MP$. В терминах обозначений: $XM \\cdot (a + NY) = c(a + b)$. Аналогично для хорд $XY$ и $AQ$, пересекающихся в $N$: $NY \\cdot (a + XM) = b(a + c)$. Вычитая равенства, получаем $XM = NY + c - b$. Подставляя в равенство $NY(a + XM) = b(a + c)$, находим $NY = b$, $XM = c$. Тогда $XY = XM + MN + NY = c + a + b = 1/2$.", "Середину стороны $AB$ обозначим за $M$, середину $AC$ — за $N$. Так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, то $MN = 1/2BC$, $MN || BC$. Отметим точку $O$ — центр окружности $\\omega$. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $BAC$ как центр вневписанной окружности. Поскольку $OP \\perp AP$ и $OQ \\perp AQ$, точки $A, Q, O, P$ лежат на окружности с диаметром $AO$, следовательно, $O$ лежит на описанной окружности треугольника $APQ$. Далее обозначим точку $R$ — касание $\\omega$ с $BC$. Продлим биссектрису угла $BCQ$ за $C$ до точки $Y_2$ на прямой $PR$. Докажем, что $\\angle CY_2A = 90^\\circ$. Учитывая равенство отрезков касательных и свойства углов, находим, что $\\angle RY_2C = 1/2 \\angle BAC$. Поскольку $AO$ — биссектриса $\\angle BAC$, то $\\angle BAO = 1/2 \\angle BAC = \\angle RY_2C$, откуда точки $O, P, A, Y_2$ лежат на окружности. Тогда $\\angle OY_2A = 90^\\circ$. Докажем, что $Y_2$ лежит на $MN$: в треугольнике $ACT$ биссектриса $CY_2$ является высотой и медианой, следовательно, $Y_2$ — середина $AT$. Прямая $MN$ проходит через середину $AC$ параллельно $CT$, значит, через середину $AT$. Тогда $NY = 1/2AC$, $XM = 1/2AB$, и $XY = 1/2(AB + BC + AC) = 1/2$.", "Введем обозначения: $M, N$ — середины $AB$ и $AC$, $P, Q$ — точки касания $\\omega$ с продолжениями $AB$ и $AC$. Точка $O$ — её центр. Как и раньше, $O$ лежит на описанной окружности $APQ$. Обозначим центр описанной окружности треугольника $PAQ$ как $I$. Поскольку $AO$ — диаметр окружности, $I$ лежит на $AO$ и $AO = 2AI$. Применим гомотетию с центром в $A$ и коэффициентом $1/2$: треугольник $ABC$ переходит в $AMN$, центр вневписанной окружности $O$ переходит в $I$. Таким образом, $I$ — центр вневписанной окружности треугольника $AMN$. Значит, $I$ лежит на биссектрисе угла $BMN$, и хорды $XY$ и $AP$ равноудалены от центра окружности. Тогда $XY = AP = 1/2$." ]
HARD
mos
На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного меняется на один из этих пяти по правилу, зависящему от цвета укусившего и укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться, чтобы стать синими?
5
2022
10
5
[ "Пример правил: если хамелеон цвета $k < 5$ кусает цвета $k$, укушенный меняет цвет на $k + 1$. Синие остаются синими. При 4 красных хамелеонах невозможно получить синий. Значит, $k \\geq 5$. Докажем, что $k = 5$ достаточно. Процесс перекрашивания состоит из двух этапов. 5 хамелеонов отслеживают перекрашивание 2023 хамелеонов и воспроизводят условия: (1) не более 1 хамелеона каждого цвета, остальные — красные; (2) палитра 5 хамелеонов содержит палитру 2023. После появления нового цвета 5 хамелеонов перекрашивают одного из них этим цветом. На втором этапе все цвета перекрашиваются в синий, используя порядок, обратный появления цветов. Таким образом, 5 хамелеонов хватит." ]
HARD
mos
Пять роботов угадывали двузначное число. Робот может назвать какое-то число и ему скажут, больше ли загаданное число названного, меньше или равно. Каждый робот угадал загаданное число 17 за 8 вопросов: 1-й робот спрашивал в таком порядке: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17; 2-й робот: 90, 70, 50, 30, 10, 20, 19, 17; 3-й робот: 10, 99, 50, 30, 20, 15, 16, 17; 4-й робот: 50, 20, 10, 25, 15, 19, 18, 17; 5-й робот: 90, 10, 50, 20, 11, 13, 16, 17. Один из роботов задал вопрос, на который уже мог сам сказать ответ. Про какое число он в этот момент спросил?
25
2022
11
25
[]
HARD
mos
Рассмотрим все 33! способа записать 33 буквы русского алфавита подряд. Пусть N1 — количество полученных «слов» в которых можно найти и «АБ», и «ВГ», и «ДЕ». Пусть N2 — количество «слов», в которых можно найти и «АВВ», и «ГДЕ». Найдите N1 / N2. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
30
2022
11
30
[]
HARD
mos
Из 8 185 057 спичек сложен клетчатый прямоугольник 2022 × 2023 (каждая клетка окружена четырьмя спичками). Какое наибольшее количество спичек можно убрать так, чтобы у каждой клетки была убрана ровно одна сторона — спичка?
2049296
2022
11
2049296
[]
MEDIUM
mos
Окружность ω касается сторон AD, AB и BC параллелограмма ABCD, в котором ∠A < 90°. Диагональ AC пересекает ω в точках P и Q, причём P лежит между A и Q. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AP = 3, PQ = 9, QC = 16. Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
254.61
2022
11
254,61
[]
HARD
mos
На каждую клетку доски $8 \times 8$ поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда. Для какого наибольшего $k$ можно так направить взгляды сторожей, чтобы каждого сторожа сторожили не менее $k$ других сторожей?
5
2022
8
5
[ "Ответ: 5. Докажем, что $k \\leq 5$. Для этого предположим, что $k \\geq 6$. Рассмотрим сторожей, стоящих в углах доски. На каждого из них смотрят по крайней мере 6 сторожей, и эти сторожа должны стоять у края доски. При этом, если какой-то сторож видит одного из угловых сторожей, то он не видит других угловых сторожей. Таким образом хотя бы 24 сторожа, стоящих у края доски, смотрят вдоль сторон доски. Тогда «внутрь» доски, не на угловых сторожей, смотрит не более четырёх сторожей, стоящих у границы. Рассмотрим теперь сторожей, стоящих в центральном квадрате $6 \\times 6$. Посчитаем для них максимально возможное количество «входящих взглядов». (Взгляды, обращённые на сторожей на границе доски подсчитывать не будем.) Это число не превосходит 184 = 24 + 100 + 48 + 12. (24 — от четырёх сторожей на границе, 100 — по 5 взглядов от каждого из 20 сторожей на границе квадрата $6 \\times 6$, 48 — по 4 взгляда от каждого из 12 сторожей на границе квадрата $4 \\times 4$, 12 — по 3 взгляда от каждого из 4 сторожей из центрального квадрата $2 \\times 2$.) Таким образом на 36 сторожей приходится 184 = 36 · 5 + 4 < 36 · 6 взглядов. Значит, среди сторожей есть те, которым досталось меньше 6 взглядов. Примеры для $k = 5$ могут быть устроены по-разному. Один из вариантов изображён на рисунке (длинные стрелки означают, что несколько сторожей подряд смотрят в одну сторону, сторожа в центре могут смотреть в любую сторону)." ]
MEDIUM
mos
Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY.
1/2
2022
9
1/2
[ "Решение 1. Обозначим точку касания ω с отрезком BC через R. Рассмотрим отрезки AP и AQ. С одной стороны, они равны. С другой стороны, BR=BP и CR=CQ, поэтому AP+AQ=AB+BP+CQ+AC=AB+BC+AC. Следовательно, длины отрезков AP и AQ равны половине периметра треугольника ABC. Обозначим середины отрезков AB и AC через M и N соответственно. Отметим точки X' и Y' на прямой MN так, что X'M=MA и Y'N=NA (см. рис. 1). Заметим, что длина отрезка X'Y' также равна половине периметра треугольника ABC, то есть AP=X'Y'. Но X'M=MA, откуда MY'=MX'. Следовательно, треугольники AX'M и PMY' равнобедренные, откуда AX'PY' — равнобокая трапеция. Как известно, равнобокую трапецию можно вписать в окружность, поэтому точка P лежит на описанной окружности γ треугольника AX'Y'. Аналогично точка Q лежит на γ, поэтому γ описана около треугольника PAQ. Следовательно, X' = X, Y' = Y и XY = 1/2.", "Решение 2. Отметим точку I — центр окружности ω. Поскольку ∠API = ∠AQI = 90°, то точки A, P, I, Q лежат на одной окружности γ, построенной на отрезке AI как на диаметре. Обозначим через M и N середины отрезков AB и AC соответственно, а за X' и Y' — точки пересечения прямых BI и CI с прямой MN соответственно. Докажем, что X' и Y' лежат на γ. Заметим, что углы PBI и MBX' равны как вертикальные, углы CBI и MX'B равны, так как прямые BC и MN параллельны. Но BI — биссектриса угла PBC, поэтому ∠MBX' = ∠MX'B, то есть треугольник BMX' равнобедренный и BM = MX'. В треугольнике ABX' медиана X'M равна половине стороны, поэтому этот треугольник прямоугольный с прямым углом X'. Таким образом, ∠AX'I = 90°, то есть X' лежит на γ, поэтому X' = X. Аналогично треугольник ACY' прямоугольный и Y' = Y. Тогда XY = XM + MN + NY = 1/2.", "Решение 3. В обозначениях предыдущего решения обозначим через a, b и c половины длин сторон BC, AC и AB соответственно, а через x и y — длины отрезков MX и NY соответственно. Запишем степени точек M и N относительно γ двумя способами: MX · MY = MA · MP, NY · NX = NA · NQ. Вычтем второе уравнение из первого: a x - a y = a c - a b ⇔ y = x + b - c. Подставим в первое уравнение системы: x(a + y) = c(a + b) ⇔ x² + x(a + b - c) - c(a + b) = 0. По теореме Виета у полученного квадратного уравнения относительно x два корня: c и - (a + b). Так как x положительно, то x = c. Аналогично y = b. Отсюда XY = a + b + c = 1/2.", "Решение 4. Как и во втором решении, заметим, что окружность γ построена на AI как на диаметре. Обозначим через ω' образ окружности ω при гомотетии с центром A и коэффициентом 1/2. Поскольку AI — диаметр γ, то окружности γ и ω' имеют общий центр. При той же гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник AMN, поэтому ω' будет касаться прямых AP, AQ и XY. Таким образом, XY, AP и AQ — три хорды окружности γ, касающиеся концентрической окружности ω'. Значит, их длины равны. Как доказано в первом решении, длина отрезка AP равна половине периметра треугольника ABC, поэтому и длина XY равна половине периметра, то есть 1/2." ]
HARD
mos
В клуб любителей гиперграфов в начале года записались $n$ попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл 100 заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение $n$, при котором такое могло случиться.
11
2023
10
11
[ "Оценка. Рассмотрим самого активного школьника, посетившего наибольшее количество заседаний, пусть их было $k$. Так как все заседания посетил хотя бы кто-то, то $nk \\geq 100$. С другой стороны, по условию этот школьник познакомился с хотя бы $k$ другими участниками, значит, мы нашли уже хотя бы $k+1 \\geq \\frac{100}{n} + 1$ школьника, хотя их всего $n$. Таким образом, $n \\geq \\frac{100}{n} + 1$, откуда $n \\geq 11$. Пример. Возьмём первое заседание, которое посетят все школьники, а остальные разобьём на 11 групп по 9 заседаний, их посетят по одному школьнику. Скажем, что школьник номер $i$ посетил заседания из $i$-ой группы вместе с первым (таким образом, каждый участник посетил 10 заседаний). Тогда каждый школьник познакомился с остальными участниками десятью на самом первом заседании." ]
MEDIUM
mos
Для какого наибольшего натурального числа n существует натуральное число m, что выполняется равенство n! · 7! = m!.
5039
2023
11
5039
[]
MEDIUM
mos
На вечеринку пришли участники ОММО и ММО. Каждый принимал участие только в одной олимпиаде. Каждые двое — друзья или враги. У каждого участника ММО среди друзей 16 участников ММО и 8 участников ОММО. У каждого участника ОММО среди врагов 7 участников ММО и 10 участников ОММО. Сколько человек пришло на вечеринку?
33
2023
11
33
[]
HARD
mos
Репьюнит — натуральное число, десятичная запись которого состоит из одних единиц. Жора выписал в порядке возрастания числа, которые можно представить в виде суммы попарно различных репьюнитов: 1, 11, 12, ... Какое число Жора написал на 2024 месте?
12345667777
2023
11
12345667777
[]
HARD
mos
На плоскости проведены 220 прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку, никакие две не параллельны). Они разделили плоскость на области. Расстоянием между областями назовём наименьшее количество прямых, пересекаемых при переходе из одной области в другую. Область назовём любопытной, если расстояние от неё до любой другой области меньше 220. Какое наибольшее количество любопытных областей может быть?
23871
2023
11
23871
[]
HARD
mos
Рассмотрим все перестановки чисел от 1 до 2024. Представим каждую перестановку как числа, записанные в строку. Назовём флипом обмен двух соседних чисел в строке, отличающихся хотя бы на 100. Назовём две перестановки эквивалентными, если одну можно получить из другой с помощью одного или нескольких флипов. Ричард С. выбрал из всех перестановок максимальное количество попарно не эквивалентных. Пусть Ричард выбрал N перестановок. На сколько нулей оканчивается десятичная запись числа N?
3872
2023
11
3872
[]
HARD
mos
В единичном квадрате выбрали три точки $ A, B, C $ (распределение равномерно, выбирали независимо). Чему равно математическое ожидание $ \angle ABC $? Ответ укажите целым или действительным числом, измеренным в градусах. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
60
2024
11
60
[]
HARD
mos
Точка $ P $ лежит на описанной окружности квадрата $ ABCD $ и $ PA \cdot PC = 56 $, $ PB \cdot PD = 90 $. Найдите площадь $ ABCD $. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
106
2024
11
106
[]
HARD
mos
Сколько существует подмножеств множества $ \{1, \ldots, 12\} $, содержащих ровно одну пару последовательных чисел?
744
2024
11
744
[]
MEDIUM
mos
Пусть $ f $ — действительный многочлен третьей степени, причем $$ |f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = |f(5)| = |f(6)| = |f(7)| = 2024. $$ Найдите $ |f(0)| $. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
12144
2024
11
12144
[]
HARD
mos
Каждая клетка квадрата $100 \times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.
5100
2024
9
5100 клеток.
[ "Пример. Разобьём квадрат на 50 каёмок и покрасим их в чёрный и белый цвет так, что внешняя каёмка покрашена в чёрный цвет, а соседние каёмки — в разные цвета. Легко видеть, что эта раскраска удовлетворяет условиям задачи. Посчитаем количество чёрных клеток: внешняя чёрная каёмка состоит из $99 \\cdot 4$ клеток, следующая — из $95 \\cdot 4$, ..., последняя — из $3 \\cdot 4$. Сумма арифметической прогрессии даст $5100$ чёрных клеток.\n\nОценка. Рассмотрим произвольную раскраску, удовлетворяющую условию. Пусть в ней $b$ чёрных и $w$ белых клеток. Тогда $b + w = 10000$. Всего рёбер в квадрате — $19800$. Чёрных рёбер $b$, белых $w$, разноцветных $9800$. На границе каждой белой клетки не более двух разноцветных рёбер, а каждое разноцветное ребро лежит на границе ровно одной белой клетки. Следовательно, $2w \\geq 9800$, то есть $w \\geq 4900$. Поскольку $b + w = 10000$, то $b \\leq 5100$.", "Другой способ сделать оценку. Отметим центры клеток и соединим отрезком центры соседних по стороне разноцветных клеток. Тогда угловые клетки не будут соединены, клетки у границы — ровно с одной, клетки не у границы — ровно с двумя. Следовательно, все клетки, кроме угловых, разобьются на цепочки и циклы. В каждом цикле цвета чередуются, поэтому чёрных и белых клеток поровну. В цепочках разность между чёрными и белыми клетками не превышает $1$. Всего цепочек $196$, поэтому максимальная разность между чёрными и белыми клетками равна $200$. Следовательно, чёрных клеток не больше $5100$." ]
HARD
mos
End of preview. Expand in Data Studio

🧮 T-Math

T-Math is a dataset of Russian math olympiad problems created to assess the reasoning capabilities of large language models (LLMs) in mathematics.
It includes 331 problems from the All-Russian School Olympiad and the Moscow Olympiad for high school students, covering the period from 1998 to 2025.
The tasks and their ground-truth answers were extracted automatically and subsequently verified by human assessors.

Key features:

  • Challenging problems that require multi-step reasoning (median completion length for Qwen3-32B is 16K tokens), sourced from top-tier Russian olympiads
  • Easily verifiable: answers are numeric-only and checked using the math_verify library to compare mathematical expressions
  • Not yet saturated, even by frontier reasoning models such as Gemini 2.5 Pro and DeepSeek R1
  • Contains 331 samples — the largest Russian math olympiad-level benchmark — making it more statistically robust compared to smaller datasets like the 30-sample AIME benchmark

📊 Evaluation Results

Model pass@1
o4-mini-high 0.73
DeepSeek-R1-0528 0.71
Gemini-2.5-Pro 0.70
Claude Sonnet 4 0.56
T-pro-it-2.0 0.54
Qwen3-32B 0.53

🗂️ Filtering procedure

The text was extracted from PDFs using Qwen/Qwen2.5-VL-72B-Instruct. Tasks, along with their ground-truth and verifiable (numeric) answers, were extracted via LLM calls. We filtered out invalid questions using an LLM based on the following criteria:

  • Tasks requiring multiple answers
  • Tasks without a single correct answer
  • Theorem-like tasks where the main goal is proving a statement, making automatic verification non-trivial
  • Tasks with non-numeric answers, to simplify answer comparison
  • Tasks that cannot be solved without access to an accompanying image

Next, we removed tasks of moderate difficulty where Qwen3-8B achieved a 100% pass@16 rate, as they offer limited value for benchmarking reasoning. Finally, both the questions and the verifiable answers were manually reviewed by assessors to ensure consistency with the original sources.

🛠️ How to use

Add the following system prompt to guide the model to return the final answer in a \boxed{} tag, making it easier to parse:

Решите следующую математическую задачу эффективно и ясно. Последняя строка вашего ответа должна иметь следующий формат:
'Таким образом, окончательный ответ: $\boxed{ОТВЕТ}$.' (без кавычек), где ОТВЕТ - это просто окончательное число или выражение, решающее задачу.
Думайте шаг за шагом перед ответом.

You can then use the following code snippet with the math_verify library to compare mathematical expressions:

from math_verify import LatexExtractionConfig, parse, verify
from latex2sympy2_extended import NormalizationConfig


def accuracy_reward(completion: str, solution: str) -> float:
    """Reward function that checks if the completion matches the ground truth."""
    # parse the gold solution (assumed to always succeed)
    gold_parsed = parse(solution, extraction_mode="first_match")

    # parse the model’s completion with the same LaTeX extraction settings
    answer_parsed = parse(
        completion,
        extraction_config=[
            LatexExtractionConfig(
                normalization_config=NormalizationConfig(
                    nits=False,
                    malformed_operators=False,
                    basic_latex=True,
                    equations=True,
                    boxed="all",
                    units=True,
                )
            )
        ],
        extraction_mode="first_match",
    )

    # verify and return binary reward; on error, print and give 0.0
    try:
        return float(verify(gold_parsed, answer_parsed))
    except Exception as e:
        print(f"verify failed: {e}, answer: {answer_parsed}, gold: {gold_parsed}")
        return 0.0

Downloads last month
310