question
stringlengths 75
722
| verifiable_answer
stringlengths 1
11
| year
stringclasses 34
values | grade
stringclasses 5
values | full_answer
stringlengths 1
67
| solutions
listlengths 0
7
| task_complexity
stringclasses 3
values | olympiad
stringclasses 2
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
На прямой отметили две красные точки и несколько синих. Оказалось, что одна из красных точек содержится ровно в 56 отрезках с синими концами, а другая — в 50 отрезках с синими концами. Сколько синих точек отмечено?
|
15
|
2020-21
|
9
|
15
|
[
"Пусть слева от первой красной точки находится a синих точек, а справа — b синих точек; слева от второй красной точки — c синих точек, а справа — d синих точек. Тогда ab = 56, cd = 50. Кроме этого, a + b = c + d — количество синих точек.\nЗаметим, что среди чисел с и d ровно одно является чётным, так как число 50 делится на 2, но не делится на 4. Получается, что среди чисел а и b тоже ровно одно чётное. Есть ровно два способа представить 56 в виде произведения чётного на нечётное: 56 = 8 · 7 и 56 = 56 · 1.\n\nВ первом случае подходят c = 10, d = 5. В качестве примера можно поставить на прямой 5 синих точек, потом красную, потом ещё 3 синих, потом ещё красную и в конце ещё 7 синих.\n\nВо втором случае общее количество синих точек равно 57. Тогда остаётся лишь понять, что следующая система уравнений не имеет целых решений:\n\n\\[\n\\begin{cases}\nc + d = 57, \\\\\ncd = 50.\n\\end{cases}\n\\]\n\nМожно проверить, что квадратный трёхчлен \\( t^2 - 57t + 50 = 0 \\), корнями которого по теореме Виета должны быть числа c и d, не имеет пары натуральных решений (например, достаточно убедиться, что его значения при t = 0 и t = 1 имеют разные знаки, то есть один из корней лежит на интервале (0; 1)).\n\nАльтернативно, можно просто перебрать разложения числа 50 на множители c и d."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Многочлен P(x) с вещественными коэффициентами имеет степень 10^{5}, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наименьшую возможную степень многочлена R(x) = P(x^{1000} + 1) - P(x)^{1000}.
|
99000000
|
2020-21
|
11
|
99 · 10^{6}
|
[
"Обозначим n=1000, k=100, то есть степени рассматриваемых многочленов P равны n k. Лемма. Существует единственный многочлен P степени n k (со старшим коэффициентом 1) такой, что степень полученного многочлена R будет меньше, чем p k(n-1). Доказательство. Запишем наш многочлен как P(x)=x^{n k}+p_{1} x^{n k-1}+p_{2} x^{n k-2}+…+p_{n k}. Обозначим F(x)=P(x^{n}+1) и G(x)=P(x)^{n}; это — многочлены степени n^{2} k со старшим коэффициентом 1. В многочлене F(x) коэффициент p_{j} участвует лишь в членах степени, не большей n(n k-j). Значит, для любого i=1,2, …, n k коэффициент при x^{n^{2} k-i} в многочлене F(x) зависит лишь от коэффициентов p_{j} при j ≤ i / n<i. С другой стороны, коэффициент при этой же степени в G(x) есть n p_{i}+A, где A зависит лишь от коэффициентов p_{j} при j<i. Если мы хотим, чтобы степень R была меньше, чем n k(n-1), то эти коэффициенты должны быть равны; это равенство даёт однозначное выражение p_{i} через p_{1}, p_{2}, …, p_{i-1} (в частности, p_{1} находится единственным образом). Значит, из этих равенств по очереди находятся все коэффициенты многочлена P(x). Теперь достаточно предъявить многочлен P(x) такой, что степень R окажется меньше, чем n k(n-1) — по лемме, он единственный, и он и даст минимальную степень R. Положим P(x)=(x^{n}+1)^{k}. Тогда многочлен R(x) =((x^{n}+1)^{n}+1)^{k}-(x^{n}+1)^{n k}= =k ·(x^{n}+1)^{n(k-1)}+C_{k}^{2}(x^{n}+1)^{n(k-2)}+… имеет степень всего лишь n^{2}(k-1)<n k(n-1). Значит, наименьшая возможная степень R и есть n^{2}(k-1)=99 · 10^{6}."
] |
HARD
|
vos
|
Десятизначные натуральные числа a, b, c таковы, что a + b = c. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечётными?
|
29
|
2020-21
|
9
|
29
|
[
"Заметим, что если a + b = c, то все три числа a, b, c не могут оказаться одновременно нечётными. Следовательно, среди них есть как минимум одно чётное число, и последняя цифра этого числа также будет чётной. Таким образом, среди 30 цифр есть как минимум одна чётная, а нечётных — не более 29. Пример 1 999 999 999 + 1 111 111 111 = 3 111 111 110, показывает, что среди 30 цифр могут оказаться ровно 29 нечётных."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Биссектрисы треугольника $A B C$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_{b}$ с центром в точке $O_{b}$ проходит через точку $B$ и касается прямой $C I$ в точке $I$. Окружность $\omega_{c}$ с центром в точке $O_{c}$ проходит через точку $C$ и касается прямой $B I$ в точке $I$. Отрезки $O_{b} O_{c}$ и $I J$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $I K / K J$.
|
1/3
|
2021-22
|
9
|
1/3
|
[
"Проведём в окружности $\\omega_{b}$ диаметр $I X$, а в окружности $\\omega_{c}$ — диаметр $I Y$. Заметим, что $\\angle I B J=90^{\\circ}=$ $=\\angle I C J$, поскольку внутренняя и внешняя биссектриса угла перпендикулярны. Следовательно, точка $X$ лежит на $B J$, а точка $Y$ — на $CJ$ (см. рис. 1). Кроме того, $IX \\perp IC$, поскольку $\\omega_b$ касается $IC$ в точке $I$, поэтому $IX \\parallel CJ$. Аналогично, $IY \\parallel BJ$. Итого, четырёхугольник $IXJY$ — параллелограмм, пусть его диагонали пересекаются в точке $M$. Тогда $IM = MJ$, а отрезок $O_bO_j$ — средняя линия треугольника $IXY$, поэтому точка $K$ — середина отрезка $IM$. Таким образом, $IK = IM/2 = IJ/4$, откуда следует, что $IK/KJ = 1/3$.",
"Обозначим через $N$ середину дуги $BAC$ описанной окружности $\\Omega$ треугольника $ABC$, а через $S$ — середину другой её дуги $BC$. Пусть луч $NI$ вторично пересекает $\\Omega$ в точке $P$ (см. рис. 2). Поскольку $SN$ — диаметр окружности $(ABC)$, то $\\angle NPS = 90^\\circ$.\n\nПо известной лемме о трезубце имеем $SI = SC = SJ$, в частности, $S$ — середина отрезка $IJ$. Поскольку $\\angle BAC = \\angle BNC$ и $BN = NC$, то $\\angle NBC = \\angle NCB = \\frac{1}{2} \\angle ABC + \\frac{1}{2} \\angle ACB$.\n\nПродлим луч $CI$ до пересечения с $AB$ в точке $L$. Так как $\\angle L I B$ внешний для треугольника $B I C$, а также четырёхугольник $B N C P$ — вписанный, мы получаем, что $\\angle L I B=$ $=\\angle I B C+\\angle I C B=\\frac{1}{2} \\angle A B C+\\frac{1}{2} \\angle A C B=\\angle N C B=\\angle I P B$, поэтому окружность $(I B P)$ касается прямой $C I$ в точке $I$. Также эта окружность проходит через $B$, следовательно, это и есть окружность $\\omega_{b}$. Аналогично, окружность $\\omega_{c}$ описана около треугольника $I P C$.\n\nЗначит, $I P$ — общая хорда окружностей $\\omega_{b}$ и $\\omega_{c}$, а тогда $O_{b} O_{c}$ — серединный перпендикуляр к отрезку $I P$. Поскольку к тому же $\\angle I P S=90^{\\circ}$, мы получаем, что $O_{1} O_{2}$ проходит через середину отрезка $I S$, то есть $K I=K S$, а тогда $I K / K J=1 / 3$."
] |
HARD
|
vos
|
Дана клетчатая прямоугольная таблица. Известно, что существует:
- ровно 940 способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 imes 2\);
- ровно 894 способа вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 imes 3\).
Сколько существует способов вырезать из неё по линиям сетки прямоугольник \(1 imes 5\)?
При подсчёте количества способов вырезания прямоугольника учитываются и вертикальные, и горизонтальные расположения.
|
802
|
2021-22
|
10
|
802
|
[
"Пусть в таблице \\(a\\) строк и \\(b\\) столбцов. Не нарушая общности, \\(a \\leq b\\). Ясно, что хотя бы одно из чисел \\(a\\) и \\(b\\) не меньше 2.\n- Предположим, \\(a = 1\\). Тогда из таблицы \\(1 \times b\\) вырезать прямоугольник \\(1 \times 2\\) можно \\(b - 1 = 940\\) способами, а вырезать прямоугольник \\(1 \times 3\\) можно \\(b - 2 = 894\\) способами. Ясно, что таких значений \\(b\\) не существует.\n- Предположим, \\(b \\geq a \\geq 2\\). Тогда из таблицы \\(a \times b\\) вырезать прямоугольник \\(1 \times 2\\) можно \\(a(b - 1) + b(a - 1)\\) способами, а прямоугольник \\(1 \times 3\\) можно вырезать \\(a(b - 2) + b(a - 2)\\) способами. Следовательно, \\(a(b - 1) + b(a - 1) = 940\\) и \\(a(b - 2) + b(a - 2) = 894\\). Вычитая из первого равенства второе, получаем \\(a + b = 46\\). Из этого следует, что \\(ab = 493\\). По обратной теореме Виета числа \\(a\\) и \\(b\\) являются корнями трёхчлена \\(x^2 - 46x + 493 = (x - 17)(x - 29)\\), поэтому \\(a = 17\\) и \\(b = 29\\). Вырезать прямоугольник \\(1 \times 5\\) из таблицы \\(17 \times 29\\) можно ровно \\(17 \\cdot 25 + 13 \\cdot 29 = 802\\) способами."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победитель съел больше всего конфет, а человек, занявший последнее место, съел меньше всего конфет).
Известно, что:
• победитель съел в 14 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые;
• участник, занявший третье место, съел в 20 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые;
• участник, занявший последнее место, съел в 21 раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые.
Сколько сладкоежек участвовало в состязании?
|
21
|
2021-22
|
10
|
21
|
[
"Пусть всего было n сладкоежек, и суммарно они съели S конфет. Из условия следует, что победитель съел S/15 конфет, человек на третьем месте — S/21 конфет, человек на последнем месте — S/22 конфет.\nВсе участники, кроме последнего, съели больше S/22 конфет. Значит, S > n · S/22, откуда получаем n < 22, то есть n ≤ 21.\nЧеловек на втором месте съел менее S/15 конфет, а все участники на местах с третьего по n-е съели не более S/21 конфет. Значит, S < 2 · S/15 + (n−2) · S/21, откуда получаем 1 < 2/15 + (n−2)/21. Поэтому n − 2 > 21 · 13/15 > 18, то есть n ≥ 21. Значит, n = 21.\nТакже для n = 21 можно привести пример. Пусть 1-й сладкоежка съел 924 конфеты, 2-й — 783 конфеты, 3-й — 660 конфет, с 4-го по 21-го — с 647 по 630 конфет соответственно (суммарно съедено 13860 конфет). Несложно проверить, что все условия задачи выполняются."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На острове живёт 23 рыцаря и 200 лжецов; имена всех жителей различны. Знающий об этом приехавший турист попросил каждого из 223 жителей написать на листке 200 имён лжецов. Каждый рыцарь написал верно 200 имён лжецов, а каждый лжец написал произвольный список из 200 имён, в котором точно нет его собственного имени. Какое наибольшее количество лжецов турист сможет гарантированно определить по этим данным?
|
16
|
2021-22
|
10
|
16
|
[
"Для начала приведём стратегию для лжецов, позволяющую гарантированно вычислить не больше 16 из них. Назовём рыцарей \\(R_1, R_2, \\ldots, R_{23}\\), а лжецов — \\(L_1, L_2, \\ldots, L_{200}\\). Все рыцари укажут в своих списках \\(L_1, L_2, \\ldots, L_{200}\\). Пусть для каждого целого \\(0 \\leq i \\leq 7\\) группа лжецов \\(L_{23i+1}, L_{23i+2}, \\ldots, L_{23i+23}\\) укажет в своих списках \\(R_1, R_2, \\ldots, R_{23}\\), а также всех лжецов, кроме самих \\(L_{23i+1}, L_{23i+2}, \\ldots, L_{23i+23}\\). А 16 лжецов \\(L_{185}, L_{186}, \\ldots, L_{200}\\) укажут в своём списке \\(R_1, R_2, \\ldots, R_{23}, L_1, L_2, \\ldots, L_{177}\\). Турист, увидев полученные списки, не сможет гарантированно вычислить ни одного лжеца среди \\(L_1, L_2, \\ldots, L_{184}\\) (это и означает, что он вычислит не более 16 лжецов). Действительно, если бы вдруг турист заявил, что \\(L_k\\) — лжец, то он мог бы ошибиться: группа из 23 человек, в которую входил \\(L_k\\), вполне могла полностью состоять только из рыцарей, которые в своих списках одинаково указали на всех остальных людей, которые вполне могли оказаться лжецами.\n\nТеперь поймём, почему турист всегда сможет вычислить хотя бы 16 лжецов. Факт того, что человек указывает в списке 200 имён предполагаемых лжецов равносилен тому, что он называет рыцарями оставшихся 23 человек (включая себя). Все 23 рыцаря заведомо называют рыцарями друг друга. Заметим, что если некоторый человек \\(A\\) назовёт рыцарями группу из 23 человек, не все из которых называют рыцарями эту же группу людей, то \\(A\\) — точно лжец (если бы он был рыцарем, то все названные им люди тоже были бы рыцарями, а тогда бы они назвали рыцарями эту же группу). Групп из 23 человек, называющих рыцарями друг друга, не больше 9 (ведь \\(10 \\cdot 23 > 223\\)), и они не пересекаются. Следовательно, турист точно может гарантировать, что оставшиеся люди, не входящие в такие группы, являются лжецами. И таких людей хотя бы \\(223 - 9 \\cdot 23 = 16\\)."
] |
HARD
|
vos
|
По кругу выписаны 12 различных натуральных чисел, одно из которых равно 1. Любые два соседних числа отличаются либо на 10, либо на 7. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число?
|
58
|
2021-22
|
11
|
58
|
[
"Пронумеруем для удобства все числа по кругу по часовой стрелке, начиная с числа 1: \\(a_1 = 1\\), \\(a_2\\), ..., \\(a_{12}\\). Заметим, что для всех \\(1 \\leq i \\leq 6\\) верно\n\n\\[a_{i+1} - a_1 = (a_{i+1} - a_i) + (a_i - a_{i-1}) + \\ldots + (a_2 - a_1) \\leq 10i,\\] \n\n\\[a_{13-i} - a_1 = (a_{13-i} - a_{14-i}) + \\ldots + (a_{12} - a_1) \\leq 10i,\\] \n\nпоэтому \\(a_7\\) не превосходит \\(1 + 6 \\cdot 10 = 61\\), а все остальные числа не превосходят \\(1 + 5 \\cdot 10 = 51\\). \n\nЕсли \\(a_7 = 61\\), то все разности \\(a_2 - a_1\\), \\(a_3 - a_2\\), ..., \\(a_7 - a_6\\), \\(a_7 - a_8\\), \\(a_8 - a_9\\), ..., \\(a_{12} - a_1\\) равны 10, но тогда \\(a_2 = a_{12} = 11\\), противоречие. Значит, \\(a_7 < 61\\), откуда следует, что \\(a_7 \\leq 1 + 5 \\cdot 10 + 7 = 58\\). Итак, наибольшее выписанное число не превосходит 58.\n\nОсталось проверить, что на доске действительно может присутствовать число 58. Пусть по кругу по часовой стрелке выписаны числа 1, 11, 21, 31, 41, 51, 58, 48, 38, 28, 18, 8.\n\nЛегко видеть, что все условия задачи выполняются."
] |
HARD
|
vos
|
В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?
|
42
|
2021-22
|
11
|
42
|
[
"Пусть в школе занимаются а теннисистов и 55 — а шахматистов. У каждого из шахматистов количество друзей-теннисистов не меньше 0 и не больше а, то есть может принимать а + 1 значений. Если бы шахматистов было больше 3(а + 1), среди них по принципу Дирихле нашлись четверо с одинаковым количеством друзей-теннисистов. Значит, шахматистов не больше 3(а + 1), получаем неравенство 55 — а ≤ 3(а + 1). Решая его, получаем а ≥ 13, тогда 55 — а ≤ 55 — 13 = 42.\n\nЗаметим также, что ровно 42 шахматиста могло быть: пусть для каждого целого 0 ≤ k ≤ 13 какие-то трое шахматистов имеют ровно k произвольных друзей-теннисистов."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Дан прямоугольник \( ABCD \). Прямая, проходящая через вершину \( A \) и точку \( K \) на стороне \( BC \), делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка \( KC \), если \( AD = 60 \).
|
40
|
2021-22
|
8
|
40.
|
[
"Проведём через K прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает сторону AD в точке L (рис. 1), тогда ABKL и DCKL — прямоугольники. Пусть S_{ABK} = S, тогда S_{KLA} = S. Очевидно, что S_{AKCD} = 5S и S_{LKCD} = 5S - S = 4S.\n\nОтношение площадей прямоугольников ABKL и DCKL с общей стороной KL равно отношению сторон BK и CK. Следовательно, \\frac{BK}{CK} = \\frac{2S}{4S} = \\frac{1}{2}, откуда получаем KC = \\frac{2}{3}BC = \\frac{2}{3} \\cdot 60 = 40."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до N в следующем порядке:
1 N 2 N - 1 3 N - 2...
Например, при N = 5 получилось бы 15243, а при N = 10 получилось бы 11029384756.
При каком наименьшем N в такой записи встретится последовательность цифр 301?
|
38
|
2021-22
|
8
|
38.
|
[
"Заметим, что в нашей последовательности сумма двух подряд идущих чисел равна N + 1 или N + 2.\n\nРассмотрим последовательность цифр 301. Есть четыре случая:\n- цифры этой последовательности принадлежат одному числу, тогда N ≥ 301, но мы покажем, что N может быть и меньше;\n- цифры этой последовательности принадлежат трём разным числам: одно заканчивается на 3, другое начинается на 1 и число 0 посередине, но в нашем ряду только натуральные числа, поэтому этот случай невозможен;\n- цифры этой последовательности принадлежат двум разным числам: одно заканчивается на 3, другое начинается на 01, но в нашем ряду только натуральные числа, поэтому этот случай невозможен;\n- цифры этой последовательности принадлежат двум разным числам: одно заканчивается на 30, другое начинается на 1.\n\nПоследний случай рассмотрим более детально. Число, которое начинается на 1, не может равняться 1, так как в нашей последовательности перед 1 нет других чисел.\n\nТаким образом, второе число не меньше 10, а предыдущее число не меньше 30, то есть сумма наших двух подряд идущих чисел не меньше 40. Но она равна N + 1 или N + 2, поэтому N ≤ 38.\n\nТеперь приведём пример для N = 38.\n\n1 38 2 37 3 36 4 35 5 34 6 33 7 32 8 31 9 30 10 29 ..."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью.
- В 12:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
- Ерёма ответил: «82».
- В 13:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
- Ерёма ответил: «71».
- В 15:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
- Ерёма ответил: «46».
Известно, что Ерёма каждый раз округлял расстояние до ближайшего целого, а если таких было два — то до любого на свой выбор.
В 16:00 Фома снова спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» В этот раз Ерёма уже дал точный ответ, не округляя его. Что ответил Ерёма?
|
34.5
|
2021-22
|
9
|
34,5
|
[
"Из ответов Ерёмы мы понимаем, что\n\n• в 12:00 до Москвы оставалось от 81,5 до 82,5 вёрст;\n• в 13:00 до Москвы оставалось от 70,5 до 71,5 вёрст;\n• в 15:00 до Москвы оставалось от 45,5 до 46,5 вёрст.\nТо есть Фома и Ерёма\n• с 12:00 до 13:00 проехали от 10 до 12 вёрст;\n• с 13:00 до 15:00 проехали от 24 до 26 вёрст.\nНо так как скорость повозки постоянна, она определяется однозначно и равняется 12 вёрст в час (это максимально возможная скорость с 12:00 до 13:00 и минимально возможная скорость с 13:00 до 15:00). Кроме этого, мы получаем, что\n• в 12:00 до Москвы оставалось 82,5 версты;\n• в 13:00 до Москвы оставалось 70,5 вёрст;\n• в 15:00 до Москвы оставалось 46,5 вёрст.\nТаким образом, в 16:00 до Москвы оставалось 34,5 версты."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На доску выписаны числа 1, 2, 3, ..., 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза?
|
48
|
2021-22
|
9
|
48
|
[
"Рассмотрим последовательности натуральных чисел, удовлетворяющие следующему набору условий: в каждой последовательности\n\n- каждое число не превосходит 57;\n- есть хотя бы два числа, и все они идут по возрастанию;\n- каждое следующее число в 2,5 раза больше предыдущего.\n\nВыпишем их все.\n- 2, 5\n- 4, 10, 25\n- 6, 15\n- 8, 20, 50\n- 12, 30\n- 14, 35\n- 16, 40\n- 18, 45\n- 22, 55\n\nЗаметим, что в каждой из этих девяти последовательностей должно быть хотя бы одно невыбранное число. Тогда выбранных чисел не более, чем 57 - 9 = 48.\n\nПример, когда выбранных чисел ровно 48, построить несложно: достаточно выбрать все числа от 1 до 57, кроме вторых чисел из перечисленных выше девяти последовательностей."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков.
Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться?
Вершинами ломаной могут быть только отмеченные точки, а звеньями — только проведённые отрезки. Неважно, где у ломаной начало и как она ориентирована: например, если для некоторых 4 отмеченных точек A, B, C, D проведены отрезки AB, BC, CD, DA, то ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ADCB, BADC, CBAD, DCBA — это одна и та же ломаная.
|
54
|
2021-22
|
9
|
54
|
[
"Для начала докажем, что ломаных не больше 54.\n\nРассмотрим конструкцию «галочка», состоящую из трёх точек A, B и C, а также двух отрезков AB и AC (при этом отрезок BC может как присутствовать, так и не присутствовать; точку A будем называть вершиной галочки). Так как из B и C выходит ещё не более чем по два отрезка, то каждая галочка может содержаться не более, чем в двух 4-звенных ломаных. При этом точка A является вершиной не более чем трёх галочек, поэтому она находится не более чем в шести 4-звенных ломаных.\n\nТеперь оценим количество ломаных. Всего точек 36, каждая находится не более чем в 6 ломаных, при этом в каждой ломаной участвуют ровно 4 точки. Таким образом, ломаных не больше чем 36 · 6 / 4 = 54.\n\nТеперь докажем, что ломаных могло быть ровно 54.\nОпишем конструкцию, состоящую из 6 точек: \\(A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3\\). Между ними проведём отрезки так, чтобы для всех \\(i, j \\in \\{1, 2, 3\\}\\) точка \\(A_i\\) была соединена с точкой \\(B_j\\) (таким образом, из каждой точки выходит ровно 3 отрезка). Тогда любая пара вершин \\(A_{i_1}, A_{i_2}\\) вместе с любой парой вершин \\(B_{j_1}, B_{j_2}\\) будет образовывать 4-звенную ломаную. Таким образом, ломаных будет ровно 9. Для построения примера, требующегося в задаче, достаточно рассмотреть 6 таких конструкций, все точки которых различны."
] |
HARD
|
vos
|
В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера 1, 2, ..., 100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на \( k \). При каком наименьшем \( k \) серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка сдвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?
|
50
|
2021-22
|
10
|
50.
|
[
"Пример. Фишку 50 последовательно 99 раз меняем со следующей против часовой стрелки. Получаем требуемое расположение.\n\nОценка. Предположим, что при некотором \\( k < 50 \\) требуемая расстановка получена.\n\nВ каждый момент времени считаем покрашенной дугу от фишки 100 до фишки 1 по часовой стрелке. Так как фишки 100 и 1 нельзя поменять за один ход, каждая конкретная фишка \\( m \\) (\\( 2 \\leqslant m \\leqslant 99 \\)) могла попасть на покрашенную дугу или покинуть покрашенную дугу только путём обмена с одной из фишек 1 или 100.\n\nПоскольку изначально и в конце фишка \\( m \\) не была на покрашенной дуге, она сделала одинаковое количество входов на покрашенную дугу и выходов с покрашенной дуги. При \\( m \\leqslant 50 \\) фишка \\( m \\) не могла меняться с фишкой 100, поэтому она могла делать вход или выход только путём обмена с фишкой 1. При входе фишка 1 совершает сдвиг на 1 по часовой стрелке, а при выходе — на 1 против часовой стрелки. Проведём аналогичные рассуждения для фишек \\( m \\geqslant 51 \\), которые не могут меняться с фишкой 1.\n\nТем самым, мы получаем, что фишки 1 и 100 совершают одинаковый сдвиг по и против часовой стрелки, поэтому они остаются на своих позициях. Противоречие."
] |
HARD
|
vos
|
В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера \(1,2, \ldots, 100\), именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на \(k\). При каком наименьшем \(k\) серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка сдвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?
|
50
|
2021-22
|
11
|
50
|
[
"Пример. Фишку 50 последовательно 99 раз меняем со следующей против часовой стрелки. Получаем требуемое расположение.",
"Первый способ. Предположим, что при некотором \\(k<50\\) требуемая расстановка получена. В каждый момент времени считаем покрашенной дугу от фишки 100 до фишки 1 по часовой стрелке. Так как фишки 100 и 1 нельзя поменять за один ход, каждая конкретная фишка \\(m\\) \\((2 \\leqslant m \\leqslant 99)\\) могла попасть на покрашенную дугу или покинуть покрашенную дугу только путём обмена с одной из фишек 1 или 100. Поскольку изначально и в конце фишка \\(m\\) не была на покрашенной дуге, она сделала одинаковое количество входов на покрашенную дугу и выходов с покрашенной дуги. При \\(m \\leqslant 50\\) фишка \\(m\\) не могла меняться с фишкой 100, поэтому она могла делать вход или выход только путём обмена с фишкой 1. При входе фишка 1 совершает сдвиг на 1 по часовой стрелке, а при выходе — на 1 против часовой стрелки. Проведём аналогичные рассуждения для фишек \\(m \\geqslant 51\\), которые не могут меняться с фишкой 1. Тем самым, мы получаем, что фишки 1 и 100 совершают одинаковый сдвиг по и против часовой стрелки, поэтому они остаются на своих позициях. Противоречие.",
"Второй способ. Будем считать сдвиги фишек относительно их начальной позиции, причём сдвиг по часовой стрелке будет считаться с плюсом, против часовой — с минусом. Тогда при обмене двух фишек к сдвигу одной из них прибавляется +1, а другой -1. Значит, в результате проведенных операций сумма сдвигов будет равна 0. Рассуждаем от противного: пусть при \\(k<50\\) каждая фишка \\(i\\) в итоге сдвинута на одну позицию по часовой стрелке, т.е. ее сдвиг оказался равным \\(1+100 t_{i}\\) (здесь \\(t_{i}\\) — целое «число оборотов» по часовой стрелке, в частности при \\(t_{i}<0\\) фишка \\(i\\) сделала \\(\\left|t_{i}\right|\\) оборотов против часовой стрелки). Тогда суммарный сдвиг всех 100 фишек равен \\(100\\left(t_{1}+t_{2}+\\ldots+t_{100}\right)+100\\). Поскольку он должен равняться 0, имеем \\(t_{1}+t_{2}+\\ldots+t_{100}=-1\\). Поскольку \\(k<50\\), фишки с номерами \\(i\\) и \\(j\\), где \\(j \\geqslant i+50\\), не могли меняться местами, поэтому их сдвиги в любой момент заведомо отличаются меньше чем на 100, значит «количества оборотов» \\(t_{i}\\) и \\(t_{j}\\) равны при \\(j \\geqslant i+50\\). Отсюда имеем \\(t_{1}=t_{51}\\), \\(t_{2}=t_{52}, \\ldots, t_{50}=t_{100}\\). Тогда сумма \\(t_{1}+t_{2}+\\ldots+t_{100}=2\\left(t_{1}+t_{2}+\\ldots+t_{50}\right)\\) — четна, а значит не равна -1. Противоречие."
] |
HARD
|
vos
|
Квадрат \( 100 \times 100 \) разбит на квадраты \( 2 \times 2 \). Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники \( 1 \times 2 \) и \( 2 \times 1 \)). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения?
|
100
|
2022-23
|
10
|
100
|
[
"Пример. Верхнюю и нижнюю горизонтали разобьём на горизонтальные доминошки - они окажутся в квадратах \\( 2 \\times 2 \\). Остальной прямоугольник \\( 98 \\times 100 \\) разобьём на вертикальные доминошки - они не окажутся в квадратах \\( 2 \\times 2 \\).\n\nОценка. Рассмотрим квадраты \\( A_{1}, A_{3}, \\ldots, A_{99} \\) размеров \\( 1 \\times 1, 3 \\times 3, \\ldots, 99 \\times 99 \\), у которых левый нижний угол совпадает с левым нижним углом исходного квадрата $100 \\times 100$. Для каждого из квадратов $A_{i}(i=1,3,5, \\ldots, 99)$ найдётся доминошка $X_{i}$, пересекающая его сторону (поскольку квадраты нечётной площади не разбиваются на доминошки). Легко видеть, что $X_{i}$ лежит внутри квадратика $2 \\times 2$ из разбиения.\n\nАналогично, рассматривая квадраты $B_{1}, B_{3}, \\ldots, B_{99}$ размеров $1 \\times 1,3 \\times 3, \\ldots 99 \\times 99$, у которых правый верхний угол совпадает с правым верхним углом исходного квадрата $100 \\times 100$, находим ещё 50 нужных нам доминошек $Y_{j}(j=1,3,5, \\ldots, 99)$.\n\nЭто завершает решение (очевидно, что все доминошки $X_{1}$, $X_{3}, \\ldots, X_{99}, Y_{1}, Y_{3}, \\ldots, Y_{99}$ различны)."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй — хотя бы два камня, ..., в пятидесятои — хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходно на столе лежат 100 кучек по 100 камней в каждой. Найдите наибольшее n ≤ 10 000 такое, что после удаления из исходных кучек любых n камней на столе всё равно останется много камней. (При удалении камней кучка не распадается на несколько.)
|
5099
|
2022-23
|
9
|
5099
|
[
"Если удалить полностью 51 кучку, то, очевидно, не останется много камней. Значит, искомое значение n меньше 5100. (Альтернативно, можно удалить из всех кучек по 51 камню.)\n\nОсталось показать, что при удалении любых n = 5099 камней останется много камней. Пусть в кучках осталось a₁, a₂, ..., a₁₀₀ камней соответственно; можно считать, что 0 ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₀₀ ≤ 100. Покажем, что aᵢ₊₅₀ ≥ i при i = 1, 2, ..., 50, то есть кучки с номерами от 51 до 100 удовлетворяют требованиям.\n\nПусть это не так, то есть aᵢ₊₅₀ ≤ i - 1 при некотором i ≤ 50. Это значит, что каждая из первых i + 50 кучек содержит не более i - 1 камня, то есть из неё удалено хотя бы 101 - i камней. Поэтому общее количество удалённых камней не меньше, чем (i + 50)(101 - i) = 5100 - (i - 1)(i - 50) ≥ 5100. Противоречие."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Дан треугольник ABC. Пусть точка I — центр его вписанной окружности, а точки P и Q — середины сторон AB и AC соответственно. Оказалось, что ∠PIQ + ∠BIC = 180°. Найдите длину отрезка BC, если AB = 20 и AC = 14.
|
34/3
|
2022-23
|
10
|
34/3.
|
[
"Из условия следует, что ∠BIP + ∠CIQ = 180°. Кроме того, отметим, что PQ || BC как средняя линия треугольника.\n\nПроведём к вписанной окружности треугольника \\(ABC\\) касательную, параллельную отрезку \\(BC\\). Обозначим через \\(P'\\) и \\(Q'\\) точки пересечения этой касательной со сторонами \\(AB\\) и \\(AC\\) соответственно. Поскольку в трапецию \\(P'Q'CB\\) вписана окружность с центром \\(I\\), то точка \\(I\\) является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этой трапеции. Так как \\(P'Q' \\parallel BC\\), то \\(\\angle P'Q'C + \\angle BCQ' = 180^\\circ\\). Тогда \\(\\angle IQ'C + \\angle ICQ' = 90^\\circ\\), откуда \\(\\angle CIQ' = 90^\\circ\\). Аналогично \\(\\angle BIP' = 90^\\circ\\). Тогда\n\n\\[\n\\angle BIP' + \\angle CIQ' = 180^\\circ = \\angle BIP + \\angle CIQ.\n\\]\n\nЯсно, что если отрезок \\(P'Q'\\) находится выше отрезка \\(PQ\\), то \\(\\angle BIP' > \\angle BIP\\) и \\(\\angle CIQ' > \\angle CIQ\\), а если ниже, то \\(\\angle BIP' < \\angle BIP\\) и \\(\\angle CIQ' < \\angle CIQ\\). В обоих этих случаях полученное равенство невозможно. Следовательно, точки \\(P'\\) и \\(Q'\\) совпадают с точками \\(P\\) и \\(Q\\), т. е. четырёхугольник \\(PQCB\\) является описанной трапецией.\n\nЗаметим, что \\(BP = AP = 10\\) и \\(CQ = AQ = 7\\), а также \\(PQ = \\frac{1}{2}BC\\). Значит, по свойству описанного четырёхугольника\n\n\\[\n10 + 7 = BP + CQ = PQ + BC = \\frac{3}{2}BC,\n\\]\n\nоткуда и получаем \\(BC = \\frac{34}{3}\\)."
] |
HARD
|
vos
|
В зоопарк для кормления трёх обезьян привезли апельсины, бананы и кокосы, фруктов всех трёх видов было поровну. Первую обезьяну кормили только апельсинами и бананами, причём бананов было на 40% больше, чем апельсинов. Вторую кормили только бананами и кокосами, причём кокосов было на 25% больше, чем бананов. А третью кормили только кокосами и апельсинами, причём апельсинов было в 2 раза больше, чем кокосов. Обезьяны съели все привезённые фрукты.
Пусть первая обезьяна съела a апельсинов, а третья обезьяна съела b апельсинов. Найдите a/b.
|
1/2
|
2022-23
|
11
|
1/2
|
[
"Пусть первая обезьяна съела x апельсинов, вторая обезьяна съела y кокосов, а третья обезьяна съела z кокосов. Тогда первая обезьяна съела 1,4x бананов; вторая обезьяна съела 1,25y кокосов; третья обезьяна съела 2z апельсинов. Поскольку всех фруктов съедено поровну, имеем\n\nx + 2z = 1,4x + y = 1,25y + z.\nПерепишем это в виде системы:\n$$\n\\left\\{\n\\begin{array}{l}\nx + 2z = 1,25y + z, \\\\\nx + 2z = 1,4x + y.\n\\end{array}\n\\right.\n$$\nСгруппировав одинаковые слагаемые, получим\n$$\n\\left\\{\n\\begin{array}{l}\nx + z = 1,25y, \\\\\n2z = 0,4x + y.\n\\end{array}\n\\right.\n$$\nДомножив первое равенство на 2 и вычтя из него второе, получим $2x = 1,5y - 0,4x$, откуда $2,4x = 1,5y$ и $y = 1,6x$. Подставляя это в уравнение $x + z = 1,25y$, получаем $x + z = 2x$, т. е. $z = x$.",
"Теперь можно ответить на вопрос задачи. Первая обезьяна апельсинов съела $x$, а третья — $2z = 2x$. Значит, искомое отношение равно 1/2."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом 18, попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом 6, касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
|
36
|
2022-23
|
11
|
36
|
[
"Центры волейбольных мячей обозначим через $A$, $B$, $C$, а центр теннисного — через $D$; верхнюю точку теннисного мяча обозначим через $X$.",
"Рассмотрим сечение волейбольных мячей плоскостью $ABC$. Это три попарно касающиеся окружности радиусом 18. Следовательно, точки $A$, $B$, $C$ расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 36. Центр этого треугольника обозначим за $O$; тогда $OA = 18 / \\cos(30^\\circ) = 12\\sqrt{3}$ (из прямоугольного треугольника $OAM$, где $M$ — середина $AB$).",
"Из соображений симметрии ясно, что точки $X$, $D$ и $O$ лежат на одной вертикальной прямой. Рассмотрим сечение теннисного мяча и одного из волейбольных плоскостью $ADO$. Треугольник $ADO$ прямоугольный, $AD = 18 + 6 = 24$, по теореме Пифагора имеем\n\n$$ OD = \\sqrt{AD^2 - OA^2} = 12. $$\n\nСама точка $O$, как и вся плоскость $ABC$, находится на высоте радиуса волейбольного мяча, то есть 18; точка $D$, как мы выяснили, выше неё на 12; а точка $X$ выше точки $D$ на радиус теннисного мяча, то есть на 6. В сумме получаем $18 + 12 + 6 = 36$."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Точка $M$ — середина основания $BC$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ выбрана точка $P$. Луч $PM$ пересекает луч $DC$ в точке $Q$. Перпендикуляр к основанию $AD$, проведённый через точку $P$, пересекает отрезок $BQ$ в точке $K$.
Известно, что $\angle KQD = 64^\circ$ и $\angle KDQ = 38^\circ$. Сколько градусов составляет угол $KBC$?
|
39
|
2022-23
|
11
|
$39^\circ$
|
[
"Из условия следует, что $\\angle BKD = \\angle KQD + \\angle KDQ = 64^\\circ + 38^\\circ = 102^\\circ$.",
"Пусть прямые $QB$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Треугольники $QXP$ и $QBM$ подобны с коэффициентом $QP/QM$, и с тем же коэффициентом подобны треугольники $QDP$ и $QCM$. Тогда из равенства $MB = MC$ следует, что $PX = PD$. Значит, точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $XD$, поэтому $\\angle KXD = \\angle KDX = \\frac{1}{2}(180^\\circ - 102^\\circ) = 39^\\circ$. Поскольку $BC \\parallel AD$, получаем, что $\\angle KBC = \\angle KXD = 39^\\circ$.",
"Замечание. Также равенство $PX = PD$ можно было установить с помощью гомотетии с центром $Q$, переводящей треугольник $QBC$ в треугольник $QXD$."
] |
MEDIUM
|
vos
|
У Маши есть три одинаковых игральных кубика, на гранях каждого из них написано шесть различных простых чисел с суммой 87. Маша дважды кинула все три кубика. В первый раз сумма выпавших чисел равнялась 10, во второй раз сумма выпавших равнялась 62. Ровно одно из шести чисел ни разу не выпало. Какое?
|
17
|
2022-23
|
8
|
17
|
[
"Заметим, что число 10 единственным образом представляется в виде суммы трёх простых чисел: $10 = 2 + 3 + 5$. Это означает, что на кубиках есть числа 2, 3, 5, и они выпали в первый раз.\n\nЗаметим, что если чётное число 62 представимо в виде суммы трёх простых чисел, то одно из них чётно и поэтому равно 2. Тогда сумма двух оставшихся равна 60. Заметим, что среди этих двух чисел не может быть ни числа 2, ни числа 3, ни числа 5, а также что они различные (ведь числа 58, 57, 55 и 30 — составные). Это означает, что на кубиках есть два различных простых числа с суммой 60, больших 5, и они выпали во второй раз (вместе с 2).\n\nИтак, на каждом кубике есть числа 2, 3, 5, а также два других простых числа с суммой 60.\nПоскольку сумма всех шести чисел равна 87, то шестое число, которое никогда не выпадало, равно $87 - 2 - 3 - 5 - 60 = 17$."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке 11 конфет, во второй — 22 конфеты, в третьей — 33 конфеты, в четвёртой — 44 конфеты, в пятой — 55 конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.
В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое наибольшее количество конфет он сможет забрать?
|
159
|
2022-23
|
9
|
159.
|
[
"Рассмотрим количества конфет в коробках. Изначально это 5 натуральных чисел, дающих различные остатки при делении на 5. Докажем, что пока сладкоежка не заберёт конфеты из какой-либо коробки, эти 5 чисел всегда дают различные остатки при делении на 5. Для этого достаточно понять, что разность любых двух из этих 5 чисел никогда не делится на 5.\n\nПусть в какой-то момент в каких-то двух коробках лежало \\( x \\) и \\( y \\) конфет, причём разность \\( x - y \\) не делится на 5. После того, как сладкоежка как-то переложит конфеты, эта разность будет принимать одно из значений\n\n\\[(x + 1) - (y + 1) = x - y, \\quad (x - 4) - (y + 1) = x - y - 5, \\quad (x + 1) - (y - 4) = x - y + 5.\n\\]\nОчевидно, что все они по-прежнему не делятся на 5.\n\nПусть сладкоежка в какой-то момент забрал все конфеты из одной из коробок. Посмотрим на оставшиеся четыре коробки: общее количество конфет в них не меньше, чем сумма остатков при делении на 5 соответствующих чисел. Таким образом, в них осталось хотя бы 0+1+2+3 = 6 конфет. Соответственно, сладкоежка забрал не более 11+22+33+44+55−6 = 159 конфет.\n\nТеперь приведём пример, как сладкоежка может забрать ровно 159 конфет. Пусть он перекладывает по 4 конфеты из первых четырёх коробок, пока это возможно (то есть пока хотя бы в одной из этих коробок есть хотя бы 4 конфеты). Этот процесс рано или поздно закончится, ведь с каждым таким ходом общее количество конфет в первых четырёх коробках уменьшается ровно на 1 (в одной коробке количество конфет уменьшается на 4, а в трёх оставшихся — увеличивается на 1).\n\nВ тот момент, когда такой процесс закончится, в каждой из первых четырёх коробок будет от 0 до 3 конфет. Но мы доказали ранее, что количества конфет в этих четырёх коробках должны давать разные остатки при делении на 5. Отсюда следует, что в одной коробке лежит 0 конфет, в другой — 1, в третьей — 2, в четвёртой — 3 конфеты. Значит, остальные 159 конфет лежат в пятой коробке, их сладкоежка и заберёт."
] |
HARD
|
vos
|
На доске написано число 111123445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получились число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
|
60
|
2022-23
|
10
|
60
|
[
"Цифры 6, 7 и 8 необходимо вычеркнуть, а 5 оставить (иначе число не будет делиться на 5). Каждую цифру перед пятёркой можно вычёркивать или не вычёркивать. На цифры 2 и 3 есть по два варианта на каждую (вычеркнуть или нет), на 4 — 3 варианта (не вычёркивать ни одной, вычеркнуть одну или вычеркнуть обе), а сделать что-то с единицами можно пятью вариантами (не вычеркнуть ни одной, вычеркнуть одну, две, три или все четыре). Вычёркивания разных цифр — независимые события, поэтому полученные числа надо перемножить: 5 · 3 · 2 · 2 = 60."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На доске написано число 11122345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
|
48
|
2022-23
|
10
|
48
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
На доске написано число 111133345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получились число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
|
40
|
2022-23
|
10
|
40
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
На доске написано число 11233345678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
|
48
|
2022-23
|
10
|
48
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
На доске написано число 122344445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
|
60
|
2022-23
|
10
|
60
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
На доске написано число 2234445678, необходимо вычеркнуть несколько цифр (не все), чтобы получилось число кратное 5. Сколькими способами можно это сделать?
|
48
|
2022-23
|
10
|
48
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Число n таково, что 8n является 65-значным числом, а 81n — 67-значным. Чему может быть равна вторая с начала цифра n?
|
2
|
2022-23
|
10
|
2
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника.
|
0.96
|
2022-23
|
10
|
0,96
|
[
"Пусть \\( AC \\) — основание данного треугольника, \\( B \\) — его вершина, \\( I \\) — центр вписанной окружности, \\( H \\) — середина стороны \\( AC \\), \\( r \\) — радиус вписанной окружности, \\( \\angle A = \\alpha \\), \\( \\angle B = \beta \\). Из условия \\( AH = 2r \\). В треугольнике \\( AIH \\) \\( AI = \\sqrt{r^2 + (2r)^2} = r\\sqrt{5} \\). Отсюда \\( \\sin \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} \\), \\( \\cos \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{2}{\\sqrt{5}} \\), тогда \\( \\sin \\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{5}} = \\frac{4}{5} \\). Из равнобедренности треугольника \\( ABC \\) имеем \\( \\frac{\beta}{2} = 90^\\circ - \\alpha \\), и тогда \\( \\cos \\frac{\beta}{2} = \\frac{4}{5} \\), \\( \\sin \\frac{\beta}{2} = \\frac{3}{5} \\), и тогда \\( \\sin \beta = 2 \\cdot \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{24}{25} \\). Очевидно, \\( \beta \\) и есть наибольший угол (потому что \\( \\cos \\alpha = \\frac{3}{5} > \\frac{1}{2} \\), и следовательно, \\( \\alpha < 60^\\circ \\))."
] |
MEDIUM
|
vos
|
В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
|
0.28
|
2022-23
|
10
|
0,28
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
|
-0.28
|
2022-23
|
10
|
-0,28
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В равнобедренном треугольнике основание в 3 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника.
|
0.96
|
2022-23
|
10
|
0,96
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите косинус большего угла треугольника.
|
5/13
|
2022-23
|
10
|
5/13
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше диаметра вписанной окружности. Найдите синус большего угла треугольника.
|
12/13
|
2022-23
|
10
|
12/13
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржсики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 6 коржсиков и 5 плюшек, потратив менее 400 рублей, а Буся — 2 коржсика и 3 плюшки, потратив больше 200 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржсика.
|
24
|
2022-23
|
10
|
24
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Кися и Буся пришли на перемене в буфет, где продавались только коржсики и плюшки, стоившие целое число рублей. Кися купил 8 коржсиков и 5 плюшек, потратив менее 250 рублей, а Буся — 2 коржсика и 3 плюшки, потратив больше 100 рублей. Назовите самую большую возможную цену одного коржсика.
|
17
|
2022-23
|
10
|
17
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений \( x_2 \).
|
-5
|
2022-23
|
10
|
-5
|
[
"По теореме Виета \\( q = x_1 x_2 \\). Тогда \\( 2x_2 = x_1 + x_1 x_2 \\), откуда \\( x_1 = \\frac{2x_2}{1+x_2} \\). Так как корни целые, то \\( 2x_2 \\) делится на \\( 1 + x_2 \\). Но \\( 2 + 2x_2 \\) делится на \\( 1 + x_2 \\), а значит, 2 тоже делится на \\( 1 + x_2 \\). Тогда \\( x_2 = -3, -2, 0 \\) или 1. В этих случаях \\( x_1 \\) принимает значения 3, 4, 0 и 1. Поскольку \\( x_2 < x_1 \\), подходят лишь первые два варианта, откуда сумма возможных значений \\( x_2 \\) равна -5."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите сумму возможных значений \( x_1 \).
|
7
|
2022-23
|
10
|
7
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите произведение возможных значений \( x_2 \).
|
6
|
2022-23
|
10
|
6
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Некоторый квадратный трёхчлен \( x^2 - px + q \) имеет целые корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Оказалось, что числа \( x_1 \), \( x_2 \) и \( q \) образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите произведение возможных значений \( x_1 \).
|
12
|
2022-23
|
10
|
12
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1001 точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
|
1999
|
2022-23
|
10
|
1999
|
[
"Сперва опишем стратегию, как будет действовать Шахерезада, чтобы выполнялись условия Шахрияра в течение 1998 ночей. Сначала она будет резать по линиям, соединяющим соседние вершины, и отбрасывать меньшую часть (назовём такую часть сегментом). Так она будет резать 1000 ночей. После этого останется 1001-угольник с приставленным к одной из сторон сегментом. После этого она будет отрезать треугольники. После каждого такого отрезания количество углов уменьшается на 1 (и по-прежнему к одной из сторон приложен сектор), и ещё через 998 ходов останется треугольник с сектором, после чего резать по правилам будет нечего.\n\nАналогично доказывается, что стратегии на большее количество шагов у Шахерезады нет. За каждый ход Шахерезада выбрасывает либо сектор, либо вершину (возможно, и то, и другое). В конце концов должен остаться сектор и хотя бы три вершины, а значит, более 1998 раз разрезать нельзя."
] |
HARD
|
vos
|
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1002 точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
|
2001
|
2022-23
|
10
|
2001
|
[] |
HARD
|
vos
|
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 501 точка. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
|
999
|
2022-23
|
10
|
999
|
[] |
HARD
|
vos
|
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 502 точки. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
|
1001
|
2022-23
|
10
|
1001
|
[] |
HARD
|
vos
|
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 1000 точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
|
1997
|
2022-23
|
10
|
1997
|
[] |
HARD
|
vos
|
Однажды царь Шахрияр сказал Шахерезаде: «Вот тебе бумажный круг, на границе которого 965 точек. Один раз в каждую ночь ты должна резать имеющуюся у тебя фигуру по прямой, содержащей любые две отмеченные точки, оставляя себе лишь один фрагмент, а второй выбрасывай. И ты следи, чтобы у тебя оставался не многоугольник, но такая фигура, из которой многоугольник, разрезая дальше, можно получить». В какую по счёту ночь Шахерезада при самых искусных своих действиях уже не сможет выполнить условие Шахрияра?
|
1927
|
2022-23
|
10
|
1927
|
[] |
HARD
|
vos
|
Вася записал в прямоугольнички последовательные натуральные числа \(N\), \(N+1\), \(N+2\) и \(N+3\). Под каждым прямоугольничком он написал в кружочек сумму цифр соответствующего числа. Сумма чисел в первом и втором кружочках оказалась равна 200, а сумма чисел в третьем и четвёртом кружочках равна 105. Чему равна сумма чисел во втором и третьем кружочках?
|
103
|
2022-23
|
8
|
103
|
[
"Если между двумя последовательными натуральными числами нет перехода через десяток, сумма цифр большего из них на 1 больше суммы цифр меньшего, и поэтому сумма этих двух сумм нечётна. Так как число 200 чётно, между \\(N\\) и \\(N+1\\) есть переход через десяток, и \\(N+1\\) оканчивается на 0. Но тогда число в четвёртом кружочке на 2 больше числа во втором, и потому искомая сумма равна \\(105 - 2 = 103\\)."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды, за круглым столом собрались 2022 аборигена и каждый из них сделал заявление: «Рядом со мной сидят рыцарь и лжец!» Известно, что при этом три рыцаря ошиблись (т.е. нечаянно солгали). Какое максимальное количество рыцарей могло находиться за столом?
|
1349
|
2022-23
|
9
|
1349
|
[
"Разобьём всех сидящих за столом на блоки, состоящие из аборигенов одного типа, сидящих подряд. Тогда блоки лжецов могут состоять только из 1 человека, иначе лжец, сидящий с краю в этом блоке скажет правду. Если блок рыцарей состоит из двух человек, то оба рыцаря в нем сказали правду (не ошиблись). Если блок рыцарей состоит из 1 человека – он ошибся в своём высказывании (у него два соседа лжеца). Если блок рыцарей состоит из k > 2 человек, то в нем k − 2 рыцаря, сидящие внутри блока, ошибутся (у них будет по два соседа-рыцаря).",
"Обозначим за n количество блоков лжецов, за m ≤ 3 — количество блоков из одного рыцаря. Блоки рыцарей и лжецов чередуются, поэтому их поровну. Тогда, рыцарей — m + 2(n − m) + 3 − m = 2(n − m) + 3, а лжецов — n. Следовательно, 2(n − m) + 3 + n = 2022, или n = (2019+2m)/3 ≥ 2019/3 = 673. Тогда рыцарей не больше, чем 2022 − 673 = 1349.",
"Пример. 673 блока лжецов, по одному в каждом блоке, чередуются с 673 блоками рыцарей, причём в одном блоке 5 рыцарей, а в остальных — по два рыцаря."
] |
HARD
|
vos
|
На рисунке приведен пример того, как 3 луча разбивают плоскость на 3 части. На какое максимальное количество частей могут разбить плоскость 11 лучей?
|
56
|
2022-23
|
9
|
56
|
[
"Если провести (n + 1)-ый по счёту луч так, чтобы он пересекал все n предыдущих, то n точек пересечения на нём разбивают его на n + 1 часть. Отрезок, ближайший к вершине, новых частей разбиения не добавляет, а каждый из остальных n участков (n − 1 отрезок и 1 луч) делит какую-то из существующих частей разбиения на две новые, т.е. добавится n частей. (Соответственно, если луч пересечёт меньше количество лучей, то добавится меньшее количество новых частей разбиения).",
"1 луч — 1 часть.",
"2 луча — 1+1.",
"3 луча — 1+1+2",
"...",
"n лучей — 1 + 1 + 2 + ... + (n − 1) = 1 + n(n − 1)/2 = (n^2 − n + 2)/2.",
"Для n = 11 получается ответ (121 − 11 + 2)/2 = 56."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На стороне \(AB\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(F\), а на продолжении стороны \(BC\) за вершину \(B\) — точка \(H\) так, что \(AB/BF = BC/BH = 5\). Точка \(G\) выбирается так, что \(BFGH\) — параллелограмм. \(GD\) пересекает \(AC\) в точке \(X\). Найдите \(AX\), если \(AC = 100\).
|
40
|
2022-23
|
9
|
40
|
[
"Проведем в параллелограмме \\(ABCD\\) диагональ \\(BD\\), а в параллелограмме \\(BFGH\\) диагональ \\(GB\\). Пусть \\(BD\\) пересекает \\(AC\\) в точке \\(O\\). Докажем, что \\(AC||GB\\). Треугольники \\(ABC\\) и \\(GHB\\) подобны по двум сторонам и углу между ними: \\(AB/BF = BC/BH\\) и \\(\\angle GHB = \\angle ABC\\). Значит \\(\\angle GBH = \\angle ACB\\), поэтому \\(AC||GB\\). Так как \\(O\\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма, то \\(DO = BO\\), значит \\(XO\\) — средняя линия треугольника \\(BDG\\). Из подобия также следует, что \\(AC/GB = 5\\), \\(GB = 20\\). Тогда \\(XO = GB/2 = 10\\), \\(AX = 100/2 - 10 = 40\\)."
] |
MEDIUM
|
vos
|
В клетках таблицы 10×10 расставлены натуральные числа 1, 2, ..., 99, 100. Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата 2×2. Назовём уголок хорошим, если число в его клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках. Каково наибольшее возможное число хороших «уголков»? (Каждый уголок учитывается независимо от того, как он расположен по отношению к другим, разные уголки могут частично накладываться).
|
162
|
2022-23
|
8
|
162
|
[
"Назовём центром «уголка» клетку, которая граничит по сторонам с двумя другими его клетками. Рассмотрим любой квадрат 2×2, находящийся в нашей таблице. В нём содержится 4 «уголка». При этом хорошими из них могут быть только те, в центрах которых находятся два наибольших числа из тех, что находятся в нашем квадрате 2×2. Так как каждый «уголок» находится в каком-либо квадрате 2×2, отсюда следует, что хороших уголков в нашей таблице не больше половины от их общего числа, равного 4×81, так как всего в нашей таблице имеется 81 квадрат размером 2×2 (например, потому, что левые верхние клетки всех таких квадратов образуют квадрат 9×9). Итак, мы доказали, что хороших уголков не больше, чем 4×81/2 = 162. Приведем пример, когда их ровно 162. Покрасим клетки таблицы в два цвета в шахматном порядке, и произвольным образом поставим на чёрные клетки числа от 51 до 100, а на белые — числа от 1 до 50. Легко видеть, что в этом случае в каждом квадрате 2×2 будет ровно два хороших уголка с центрами в чёрных клетках."
] |
MEDIUM
|
vos
|
На стороне AC треугольника ABC выбрана точка E. Биссектриса AL пересекает отрезок BE в точке X. Оказалось, что AX = XE и AL = BX. Чему равно отношение углов A и B треугольника?
|
2
|
2022-23
|
8
|
2
|
[
"Пусть прямая, проходящая через точку E параллельно AL, пересекает прямые BC и BA в точках P и Q соответственно. Из подобия треугольников ABL и QBP имеем PQ/AL = BE/BX = BE/AL, откуда PQ = BE. В силу параллельности прямых AL и PQ имеем ∠AQE = ∠XAE = ∠AEQ, откуда AE = AQ. Кроме того, из равенства AX = XE следует, что ∠AEB = ∠AEX = ∠XAE, откуда ∠AEB = ∠AQE. Таким образом, треугольники AQP и AEB равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AP = AB и ∠BAE = ∠PAQ = 2∠CBA, откуда и получаем ответ."
] |
HARD
|
vos
|
Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам a и b, таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника. Какое наименьшее значение может принимать число |a−b|?
|
4
|
2022-23
|
8
|
4
|
[
"Если одна из сторон прямоугольника четна, от него можно по средней линии отрезать прямоугольник вдвое меньшей площади. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе стороны нечетны. В этом случае |b−a| четно. Если |b−a| = 0, то a = b = 2n+1, половина площади прямоугольника равна 2n²+2n+0,5, и мы можем вырезать из него прямоугольник 2n×(n+1) почти равной этому числу площади 2n(n+1). Если |b−a| = 2, то a = 2n+1, b = 2n−1, половина площади прямоугольника равна 2n²−0,5, и мы можем вырезать из него прямоугольник 2n×n почти равной этому числу площади 2n². Таким образом, |a−b| ≥ 4. Полагая a = 2n+3, b = 2n−1, получаем прямоугольник, половина площади которого равна 2n²+2n−1,5. Почти равны ей целочисленные площади 2n²+2n−1 и 2n²+2n−2. При n = 3 2n²+2n−1 = 23, 2n²+2n−2 = 22 = 2·11. Простые числа 23 и 11 больше сторон получающегося при n = 3 прямоугольника 9×5, поэтому вырезать из него по линиям сетки прямоугольник, площадь которого почти равна половине его площади, невозможно. Таким образом, минимальное возможное значение |a−b| равно 4."
] |
HARD
|
vos
|
На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали $\frac{99 \cdot 98}{2}$ чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть $d$ — наибольшее число, записанное в тетрадке. Найдите наименьшее возможное значение $d$.
|
7
|
2022-23
|
9
|
7
|
[
"Докажем, что \\( d \\geqslant 7 \\). Все числа с доски разбиваются на цепочки чисел вида \\( a, a+1, a+2, \\ldots, a+t \\) так, что числа из разных цепочек не отличаются ровно на 1. В цепочке из \\( n_i \\) чисел есть ровно \\( n_i - 1 \\) пара чисел, отличающихся на 1. Поэтому общее количество единиц в тетрадке равно \\( (n_{1}-1)+(n_{2}-1)+\\ldots+(n_{k}-1)=(n_{1}+n_{2}+\\ldots+n_{k})-k=99-k \\), откуда \\( k=99-85=14 \\). Значит, в одной из цепочек не меньше, чем 99/14 чисел, то есть не меньше 8 чисел. Разность наибольшего и наименьшего чисел в такой цепочке не меньше \\( 8-1=7 \\). Осталось привести пример, в котором \\( d=7 \\). Такой пример дают, например, числа \\( 0, \\frac{1}{14}, \\frac{2}{14}, \\ldots, \\frac{98}{14}=7 \\)."
] |
HARD
|
vos
|
Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а своим пятым ходом мальчик может переложить 200 клубней, если перед его первым, вторым, третьим и четвёртым ходами количества клубней в его мешке были меньше 200. Какое максимальное суммарное количество ходов могут совершить ребята?
|
19
|
2023-24
|
9
|
19.
|
[
"Пусть в процессе было N ходов. Посмотрим на процесс «в обратную сторону». Назовём последний сделанный ход первым, предпоследний (сделанный другим мальчиком) — вторым, и т.д. Обозначим через а0 количество клубней в мешке, из которого их перекладывали на первом ходе, после этого хода (то есть в самом конце процесса). Аналогично, обозначим через аi−1 количество клубней в мешке, из которого перекладывали на i-м ходе, непосредственно после этого хода. Наконец, обозначим через аN количество клубней в мешке, в который перекладывали на N-м (самом раннем) ходе, перед этим ходом (тогда aN = 150).",
"Пусть k ≤ N − 3. Рассмотрим мешок, в котором лежало ak клубней после (k + 1)-го хода (из него только что переложили картошку). Тогда перед (k + 1)-м ходом в нём было 300 − ak+1 клубней, перед (k + 2)-м ходом − ak+2 клубней, а перед (k + 3)-м ходом − 300 − ak+3 клубней. На (k + 1)-м ходе из этого мешка переложили (300 − ak+1) − ak клубней, и это количество должно быть больше, чем количество клубней в нём перед (k + 3)-м ходом. Итак, 300 − ak+3 < 300 − ak − ak+1, откуда ak+3 > ak+1 + ak; поскольку все числа целые, имеем ak+3 ≥ ak+1 + ak + 1.",
"Определим числа b0, b1, b2, … так: b0 = b1 = b2 = 0, bk+3 = bk+1 + bk + 1. Тогда, поскольку a0, a1, a2 ≥ 0, из полученного неравенства непосредственной индукцией получается, что ak ≥ bk и bk+1 ≥ bk при всех k = 0,1,… Значит, bN ≤ aN = 150.",
"Приведём таблицу первых значений чисел bk: | k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----| | bk | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 | 15 | 20 | 27 | 36 | 48 | 64 | 85 | 113 | 150 | 199 |",
"Значит, из условия bN ≤ 150 получаем, что N ≤ 19.",
"Пример, когда дети могут сделать 19 ходов, следует из построения выше. Изначально у каждого ребёнка по b19 = 150 клубней. Если дети будут действовать так, чтобы после k-го (с начала) хода у перекладывавшего оставалось ровно b19−k клубней, то на k-м (с начала) ходе ребёнок будет перекладывать 300 − b20−k − b19−k клубней, а перед любым предыдущим его ходом у него будет 300 − bi клубней при i ≥ 17 − k, причём 300 − bi ≤ 300 − b17−k < 300 − b19−k − b20−k. Значит, этот ход удовлетворяет условию, и дети могут сделать 19 таких ходов."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8×8. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?
|
46
|
2023-24
|
10
|
46
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Вписанный четырёхугольник \(ABCD\) таков, что \(\angle ADB = 40^\circ\) и \(\angle CDB = 52^\circ\). Точка \(M\) внутри четырёхугольника такова, что \(\angle BAM = 26^\circ\) и \(\angle BCM = 20^\circ\). Сколько градусов составляет угол \(CBM\)?
|
44
|
2023-24
|
10
|
44
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы \(n\) слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение \(n\).
|
9
|
2023-24
|
10
|
9
|
[] |
HARD
|
vos
|
В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( A \) проведена высота \( AH \). На продолжении отрезка \( HA \) за точку \( A \) нашлась точка \( D \) такая, что \( \angle DBA = \angle CBA \). Найдите длину отрезка \( BD \), если известно, что \( BC = 7 \) и \( AD = 12 \).
|
16
|
2023-24
|
10
|
16
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Назовём хорошей пару $\(a, b\)$ натуральных чисел, лежащих на отрезке $[100; 240]$, если число $\(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)$ является целым. Сколько существует хороших пар?
|
30
|
2023-24
|
11
|
30.
|
[] |
HARD
|
vos
|
Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.
Пару натуральных чисел \((m, n)\) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица \(m \times n\), причём \(10 \leq m \leq 20\) и \(10 \leq n \leq 20\). Сколько существует подходящих пар? (Если числа \(m\) и \(n\) различны, то пары \((m, n)\) и \((n, m)\) считаются различными.)
|
31
|
2023-24
|
11
|
31.
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BC ∥ AD, AD = 14 и BC = 9. Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ℓ касается ω в точке C. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из M на ℓ. Найдите длину отрезка CH.
|
4.5
|
2023-24
|
11
|
4,5.
|
[] |
HARD
|
vos
|
По кругу лежали n шариков, где 6 ≤ n ≤ 100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?
|
63
|
2023-24
|
9
|
63
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(AB = BD\). На отрезке \(BD\) выбрали точку \(K\) так, что \(AD \parallel KC\). Описанная окружность треугольника \(KDC\) пересекает отрезок \(BC\) в точке \(L\). Известно, что \(\angle ABD = 48^\circ\) и \(\angle CBD = 13^\circ\). Сколько градусов составляет угол \(BAL\)?
|
53
|
2023-24
|
9
|
53
|
[] |
HARD
|
vos
|
В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400.
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
|
172
|
2023-24
|
9
|
172
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат \(1 imes 1\) тоже является полоской).
Назовём натуральное число \(k\) хорошим, если клетчатый прямоугольник \(43 imes k\) можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует хороших чисел, не превосходящих 100?
|
38
|
2023-24
|
9
|
38
|
[] |
HARD
|
vos
|
Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27».
|
9918
|
2023-24
|
10
|
только 9918
|
[
"Утверждения про 81 и 18 точно не являются контрпримерами, так как для них не выполнен посыл «если сумма цифр натурального числа делится на 27». Утверждение про 999 не является контрпримером, поскольку не противоречит нашему утверждению. Наконец, число 9918 является контрпримером, поскольку для него выполнено, что сумма цифр делится на 27, но само число 9918 = 9 · 1102 не делится на 27."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Выберите числа, которые являются контрпримерами к данному утверждению: «Если натуральное число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27».
а) 81; б) 999; в) 9918; г) 18.
|
81
|
2023-24
|
10
|
только 81
|
[] |
EASY
|
vos
|
Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 25 партий. Аня выбирала камень 12 раз, ножницы — 6 раз, бумагу — 7 раз. Боря выбирал камень 13 раз, ножницы — 9 раз, бумагу — 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.
|
16
|
2023-24
|
10
|
16
|
[
"Заметим, что, поскольку ничьих не было, когда Аня выбирала камень, Боря должен был выбрать ножницы или бумагу. Аня выбирала камень 12 раз. Боря выбирал ножницы или бумагу суммарно тоже \\(9 + 3 = 12\\) раз. Значит, все эти случаи пришлись на партии, в которых Аня выбирала камень. Значит, во всех остальных 13 партиях (когда Аня выбирала ножницы или бумагу), Боря выбирал камень. Из партий, когда Аня выбирала камень, она выиграла 9 раз: когда Боря выбирал ножницы. Из партий, когда Боря выбирал камень, Аня выиграла 7 раз: когда выбирала бумагу. Итак, Аня выиграла 16 раз."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 36 партий. Аня выбирала камень 6 раз, ножницы — 5 раз, бумагу — 25 раз. Боря выбирал камень 2 раза, ножницы — 31 раз, бумагу — 3 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз могла выиграть Аня? Укажите все возможные ответы.
|
9
|
2023-24
|
10
|
9
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Аня и Боря играют в камень-ножницы-бумага. В этой игре каждый игрок выбирает одну из фигур: камень, ножницы или бумагу. Камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень. Если игроки выбирают одинаковые фигуры, то партия заканчивается ничьёй. Аня и Боря провели 20 партий. Аня выбирала камень 13 раз, ножницы — 3 раза, бумагу — 4 раза. Боря выбирал камень 7 раз, ножницы — 9 раз, бумагу — 4 раза. Ни в одной партии не было ничьей. Сколько раз мог выиграть Боря? Укажите все возможные ответы.
|
7
|
2023-24
|
10
|
7
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 90 человек: 40 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
|
86
|
2023-24
|
10
|
86
|
[
"Попросим половину пирующих, стоящих через одного, сделать шаг вперёд. Тогда все люди поделятся на два круга: внутренний и внешний. Заметим, что у человека во внутреннем круге оба соседа находятся во внешнем, при том являются там соседями. Аналогично для человека во внешнем круге. Итак, нам достаточно найти наибольшее количество соседей одинакового титула в двух новых кругах. Поскольку в каждом из двух новых кругов по 45 человек, ни один из них не может быть целиком состоять из дворян одного титула. Значит, в каждом круге есть хотя бы две пары соседей разного титула (ровно одной быть не может). Значит, суммарно в обоих кругах как минимум 4 пары соседей разного титула. Итого, из 90 пирующих 4 точно не встанут. В рассуждении выше мы доказали, что больше 86 пирующих встать не могут. Но существует ли ситуация, в которой встанут ровно 86? Да, и пример такой ситуации легко построить из нашего рассуждения: поставим во внешний круг подряд 40 баронов и подряд 5 графов, а во внутренний — 25 графов подряд и 20 маркизов подряд. Тогда у нас будет ровно 4 пары соседей разного титула. Вообще, подходит любой пример, когда в каждом круге два типа людей, причём люди одного типа идут подряд, и другого типа тоже идут подряд."
] |
HARD
|
vos
|
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 110 человек: 50 баронов, 40 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
|
106
|
2023-24
|
10
|
106
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 55 человек: 25 баронов, 20 графов и 10 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
|
52
|
2023-24
|
10
|
52
|
[
"Будем ставить людей в новый круг через одного: 1, 3, 5, 7, ..., 55, 2, 4, 6, ..., 54, снова 1. Нам достаточно найти наибольшее количество соседей одинакового титула в новом круге. Ясно, что соседи разного титула в новом круге есть. Так же ясно, количество соседств разного титула в новом круге не может равняться 1. Двум оно тоже равняться не может (тогда новый круг был бы устроен так: пирующие одного титула, затем пирующие другого титула. А где тогда третий титул?). А трём оно может равняться: например, сначала все бароны, потом все графы, потом все маркизы. Итак, мы показали, что из 55 пирующих как минимум трое не встанут, и построили пример, как только трое могут не встать. Тем самым ответ в задаче 52."
] |
HARD
|
vos
|
За большим круглым столом лицом к центру стола пируют 95 человек: 45 баронов, 30 графов и 20 маркизов. По сигналу должны встать ровно те, у кого оба соседа — левый и правый — имеют одинаковый титул. Какое наибольшее количество людей может встать? Например, чтобы встал граф, оба его соседа должны иметь одинаковый титул, но не обязательно графский.
|
92
|
2023-24
|
10
|
92
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 36\) и \(AD = 81\).
|
54
|
2023-24
|
8
|
54
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 49\) и \(AD = 64\).
|
56
|
2023-24
|
8
|
56
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Дана трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Оказалось, что \(\angle ABD = \angle BCD\). Найдите длину отрезка \(BD\), если \(BC = 49\) и \(AD = 81\).
|
63
|
2023-24
|
8
|
63
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В клетках таблицы 14 × 14 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?
|
13
|
2023-24
|
8
|
13
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В клетках таблицы 16 × 16 расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?
|
15
|
2023-24
|
8
|
15
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В клетках таблицы \(18 \times 18\) расставлены натуральные числа так, что выполнено следующее условие: для любого числа, стоящего в неугловой клетке, найдётся соседняя по стороне клетка, в которой стоит меньшее число. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в таблице?
|
17
|
2023-24
|
8
|
17
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 13\) и \(AD = 19\). Найдите длину отрезка \(BC\).
|
9.5
|
2023-24
|
8
|
9.5
|
[
"Продлим лучи \\(AB\\) и \\(DC\\) до пересечения в точке \\(X\\) (см. рисунок).",
"В равнобедренном треугольнике \\(HCD\\) имеем \\(\\angle CHD = \\angle CDH\\). В прямоугольном треугольнике \\(XHD\\) имеем \\(\\angle HXD = 90^\\circ - \\angle XDH = 90^\\circ - \\angle CHD = \\angle XHC\\).",
"Следовательно, треугольник \\(XHC\\) — равнобедренный, и \\(CX = CH = CD\\). Тогда в треугольнике \\(AXD\\) отрезок \\(BC\\) является средней линией (ведь \\(BC \\parallel AD\\), и точка \\(C\\) является серединой отрезка \\(XD\\)), поэтому \\(BC = \\frac{1}{2} AD = 9.5\\)."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 11\) и \(AD = 17\). Найдите длину отрезка \(BC\).
|
8.5
|
2023-24
|
8
|
8.5
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Дана трапеция \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)). Точка \(H\) на стороне \(AB\) такова, что \(\angle DHA = 90^\circ\). Известно, что \(CH = CD = 13\) и \(AD = 21\). Найдите длину отрезка \(BC\).
|
10.5
|
2023-24
|
8
|
10.5
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 120 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
|
39
|
2023-24
|
9
|
39
|
[] |
HARD
|
vos
|
Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 150 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти пиратов. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
|
49
|
2023-24
|
9
|
49
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
Шесть пиратов — капитан и пять членов его команды — сидят вокруг костра лицом к центру. Им надо поделить сокровище: 90 золотых монет. Капитан предлагает способ дележа (т.е. сколько должен получить каждый пират: каждому достанется целое неотрицательное число монет; разные пираты могут получить разное количество монет). После этого остальные пять пиратов голосуют за предложение капитана. Пират проголосует «за», только если он получит больше монет, чем каждый из двух его соседей. Предложение принимается, если «за» проголосуют хотя бы три из пяти членов команды. Какое наибольшее количество монет может получить капитан при таком способе дележа?
|
29
|
2023-24
|
9
|
29
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, …, 9 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то, как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
|
511
|
2023-24
|
9
|
511
|
[
"Оценка. Пусть \\( a_k \\) — максимальное число домов, если все они имеют не более \\( k \\) этажей. Ясно, что \\( a_1 = 1 \\). Найдем \\( a_k \\). Рассмотрим самый высокий дом с \\( k \\) этажами, он по условию только один. И слева, и справа от него стоят дома с 1, 2, 3, …, \\( k - 1 \\) этажами, и для домов с каждой стороны выполняется древний закон Междуграда для \\( (k - 1) \\)-этажных домов. Поэтому всего домов не более \\( a_{k-1} + 1 + a_{k-1} \\) (дома слева, самый высокий дом с \\( k \\) этажами, дома справа). Итак, \\( a_k \\leqslant 1 + 2a_{k-1} \\). Посчитаем по этой формуле: \\( a_2 \\leqslant 1 + 2 \\cdot 1 = 3 \\); \\( a_3 \\leqslant 1 + 2 \\cdot 3 = 7 \\); \\( a_4 \\leqslant 1 + 2 \\cdot 7 = 15 \\),… Можно заметить закономерность \\( a_m \\leqslant 2^m - 1 \\), откуда \\( a_9 \\leqslant 2^9 - 1 = 511 \\).\n\nПример. Вдоль улицы могут стоять дома\n\n\\[\n12131214121312151213121412131216....,\n\\nвсего \\( 2^9 - 1 = 511 \\) домов.\n\nЭтот пример строится из оценки: ставим 9-этажный дом по центру, а слева и справа от него пишем примеры для не более чем 8-этажных домов. Эти примеры для не более чем 8-этажных домов строим так же: по центру ставим 8-этажный дом, слева и справа от него пишем примеры для не более чем 7-этажных домов, и т.д. В итоге получается пример выше."
] |
HARD
|
vos
|
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, …, 7 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
|
127
|
2023-24
|
9
|
127
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, . . . , 8 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
|
255
|
2023-24
|
9
|
255
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
В Междуграде вдоль одной стороны улицы стоят дома, каждый дом может иметь 1, 2, 3, . . . , 10 этажей. Согласно древнему закону Междуграда, если два дома на одной стороне улицы имеют одинаковое количество этажей, то как бы далеко они ни находились друг от друга, между ними должен быть дом с большим количеством этажей. Чему равно максимально возможное число домов на одной стороне улицы в Междуграде?
|
1023
|
2023-24
|
9
|
1023
|
[] |
MEDIUM
|
vos
|
По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?
|
50
|
2023-24
|
8
|
50
|
[
"Нужно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет помешать ей добиться, чтобы таких пар было больше 50.\n\nПервый способ. Стратегия Ани. Первым ходом Аня красит в любой цвет любую точку, а дальше каждым ходом выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной (такая, очевидно, найдется), и красит непокрашенную точку в цвет, отличный от цвета покрашенной. При этом образуется новая пара соседних разноцветных точек.\n\nСтратегия Бори. Каждым ходом Боря выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной, и красит непокрашенную точку в цвет, совпадающий с цветом покрашенной. При этом образуется новая пара соседних одноцветных точек.\n\nОбоснование правильности стратегий. Всего в круге имеется 100 пар соседних точек, и каждый игрок делает за игру по 50 ходов. Сделав свои ходы, Боря добьется того, что из этих 100 пар хотя бы 50 будут одноцветными, а Аня — что хотя бы 49 из них будут разноцветными. Однако заметим, что количество разноцветных пар всегда четно. Действительно, после окончания игры пройдем полный круг, начиная с какой-то отмеченной точки (пусть для определенности с красной). Группы из идущих подряд красных и синих точек при этом будут чередоваться: К—С—К—С—...—К, и значит, встретим пар разноцветных соседей вида К—С столько же, сколько пар вида С—К. Поэтому если пар разноцветных соседних точек не меньше 49, то их хотя бы 50.\n\nВторой способ. Разобъем все отмеченные точки на 50 пар соседей: \\( P_1 \\), \\( P_2 \\), ..., \\( P_{50} \\). Стратегия Бори. Если своим ходом Аня красит точку в паре \\( P_i \\), то Боря ответным ходом красит вторую точку в паре \\( P_i \\) в тот же цвет. Ясно, что при такой игре Бори в конце игры каждая пара \\( P_i \\) будет покрашена в один цвет. Значит из 100 пар соседних точек не менее 50 будут одноцветными. Поэтому разноцветных пар будет не больше, чем \\( 100 - 50 = 50 \\).\n\nСтратегия Ани. Разобьем все отмеченные точки на 50 пар соседей и пронумеруем эти пары: \\(P_1\\), \\(P_2\\), ..., \\(P_{50}\\). Аня будет добиваться того, чтобы в каждой паре \\(P_i\\) с нечетным номером \\(i\\) она покрасила одну из точек красным, а в каждой паре \\(P_i\\) с четным номером \\(i\\) — синим. Если у Ани это получится, то покрашенные ею 50 точек разобьют окружность на 50 дуг с разноцветными концами. На каждой из этих дуг, очевидно, найдется хотя бы одна пара разноцветных соседних отмеченных точек (в частности, если на дуге нет отмеченных Борей точек, такую пару образуют концы дуги).\n\nПокажем, как Аня может реализовать этот план. Первым ходом она красит одну из точек в какой-то паре \\(P_i\\) соответствующим цветом. Далее, если Боря отвечает ходом в ту же пару, то Аня красит одну из точек в любой еще не покрашенной паре, иначе она красит вторую точку в паре, в которой только что покрасил точку Боря. В результате после каждого хода Ани будет ровно одна пара \\(P_j\\), в которой одна точка покрашена Аней, а другая не покрашена, а в каждой из остальных пар \\(P_i\\) будет либо две покрашенных точки, ровно одна из которых покрашена Аней, либо ни одной покрашенной точки. Значит, в конце игры Аней будет покрашено ровно по одной точке в каждой паре \\(P_i\\), что ей и требовалось."
] |
HARD
|
vos
|
Правильный треугольник \( T \) со стороной 111 разбит на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре \( T \), отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника \( T \). Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств?
|
2^{4107}
|
2023-24
|
8
|
2^{3 \cdot 37^2} = 2^{4107}
|
[
"Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной \\( k \\), разобьём его на правильные треугольнички со стороной 1 и отметим все вершины этих треугольничков; полученную конструкцию назовём \\( k \\)-треугольником. В дальнейшем под прямыми мы всегда будем понимать прямые, параллельные сторонам этого треугольника и проходящие через хотя бы одну отмеченную точку.\n\nЛемма. Пусть \\( A \\) — отмеченная точка в \\( k \\)-треугольнике. Тогда существует единственный способ провести \\( k \\) прямых так, что все отмеченные точки, кроме, возможно, \\( A \\), покрыты этими прямыми. Именно, для каждой стороны \\( k \\)-треугольника надо провести все прямые, параллельные ей и лежащие между этой стороной и точкой \\( A \\) (включая саму сторону, но исключая прямую, содержащую \\( A \\)).\n\nДоказательство. Проведем индукцию по k. База при k = 1 проверяется легко: надо провести прямую, содержащую две оставшихся точки, кроме А. Для перехода рассмотрим сторону k-треугольника, на которой не лежит А. Если прямая, содержащая эту сторону, не проведена, то все k+1 отмеченных точек на этой прямой должны быть покрыты различными прямыми; это невозможно, так как прямых k. Значит, эта прямая проведена. Выкинув её и точки k-треугольника, лежащие на ней, получаем (k−1)-треугольник, в котором проведено k−1 прямых с теми же условиями. Осталось применить предположение индукции.\n\nПерейдём к задаче. Рассмотрим одно из разбиений на линейные множества. Для каждого множества проведём прямую, его содержащую. Тогда эти прямые покрыли все отмеченные точки 111-треугольника, кроме, возможно, его центра А. Значит, эти прямые устроены так, как описано в лемме, и для любого разбиения этот набор прямых один и тот же.\n\nЗаметим, что наш 111-треугольник разбился на 6 областей: три «ромба» в углах, состоящих из точек, покрытых нашими прямыми дважды, и три «трапеции» у сторон, в которых каждая точка покрыты одной прямой (см. рисунок справа). Тогда каждая точка в «трапеции» относится к множеству, лежащему на этой прямой; каждую же точку в «ромбе» можно отнести к любому из двух множеств, лежащих на проходящих через неё прямых. Все такие выборы можно сделать независимо друг от друга. Поскольку в каждом из трёх «ромбов» всего 37² точек, получаем, что требуемых разбиений ровно 2³·37²."
] |
HARD
|
vos
|
Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причём дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что все рыцари отвечали на вопрос верно, а все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1. Какое наименьшее число лжецов могло быть среди этих людей?
|
1012
|
2023-24
|
10
|
1012.
|
[
"Положим $n = 1012$.",
"Оценка. Людей обозначим вершинами, номер вершины будет означать ответ соответствующего человека, а если пара людей дружит, то проведем ребро между соответствующими вершинами.",
"Пусть $A$ — множество всех людей, которые назвали числа от 0 до $n - 1$, а $B$ — множество всех людей, которые назвали числа от $n$ до $2n - 1$. Пусть $d_i$ — степень вершины $i$ (т.е. количество ребер, выходящих из вершины $i$). Тогда по условию $d_i = i$, если $i$ — рыцарь, и $\\left|d_i - i\\right| = 1$ в противном случае. Пусть в множестве $A$ ровно $x$ лжецов, а в множестве $B$ — ровно $y$.",
"Оценим количество $E$ ребер между людьми из разных множеств $A$ и $B$.",
"С одной стороны, $E$ не больше суммы степеней вершин множества $A$, откуда\n$$\nE \\leqslant d_0 + d_1 + \\ldots + d_{n-1} \\leqslant\n$$\n$$\n\\leqslant 0 + 1 + 2 + \\ldots + (n - 1) + x = \\frac{(n - 1)n}{2} + x.\n$$\nС другой стороны, из каждой вершины $i$ множества $B$ не более $n - 1$ ребер идет в вершины множества $B$, и значит, не менее $d_i - (n - 1)$ ребер идет в вершины множества $A$. Отсюда\n$$\nE \\geqslant d_n + d_{n+1} + \\ldots + d_{2n-1} - n(n - 1) \\geqslant\n$$\n$$\n\\geqslant n + (n + 1) + \\ldots + (2n - 1) - y - n(n - 1) = \\frac{n(n + 1)}{2} - y.\n$$\nПолучаем неравенство\n$$\n\\frac{(n-1) n}{2}+x \\geqslant \\frac{n(n+1)}{2}-y,\n$$\nоткуда $x+y \\geqslant n$. Это означает, что всего лжецов не менее $n$.",
"Пример. Как и прежде, номер человека будет означать его ответ. Возьмем два множества людей: $C=\\{0,1, \\ldots, n-1\\}$ и $D=\\{n, n+1, \\ldots, 2 n-1\\}$. Пусть в множестве $C$ никакие двое людей не дружат друг с другом, а в множестве $D$ — любые двое дружат. Далее, пусть человек $i \\in C$ и $j \\in D$ дружат тогда и только тогда, когда $i+j \\geqslant 2 n-1$. Тогда у человека $i \\in C$ всего $i+1$ друг: $2 n-1,2 n-2, \\ldots, 2 n-i-1$. У человека $j \\in D$ будет всего $j$ друзей: это $j-n+1$ людей $n-1, n-2, \\ldots, 2 n-j-1$ из множества $C$ и все люди множества $D$, кроме него самого. При этом все люди в $C$ — лжецы, а в $D$ — рыцари. Видим, что все условия задачи выполняются."
] |
HARD
|
vos
|
В клетках таблицы 11 × 11 расставили числа от 1 до 121, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел может быть? Числа являются соседями, если они стоят в соседних по стороне клетках.
|
117
|
2023-24
|
10
|
117
|
[
"Число 1 меньше всех остальных чисел, поэтому оно должно быть первым в строке и первым в столбце, а значит, оно должно находиться в левом верхнем углу. Значит, число 2 не может быть в левом верхнем углу, поэтому либо оно не в первой строке, либо не в первом столбце. В первом случае оно должно быть больше какого-то числа в его столбце, а во втором случае — какого-то числа в его строке. Но единственное число, которое меньше 2 — это 1, поэтому числа 1 и 2 должны находиться рядом. Тогда никакое из них не может быть особым.",
"Аналогичными рассуждениями легко получить, что число 121 должно находиться в правом нижнем углу, а число 120 должно быть рядом с ним, поэтому эти числа также не могут быть особыми. Значит, особых чисел не более 121 − 4 = 117."
] |
HARD
|
vos
|
В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города \( A \) найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с \( A \). Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
|
99
|
2023-24
|
11
|
99
|
[
"Рассмотрим произвольный город \\( A \\). По условию найдутся города \\( B, C, D \\) такие, что они соединены с \\( A \\), но попарно не соединены между собой. В частности, это означает, что \\( C \\) и \\( D \\) не соединены с \\( B \\). Теперь рассмотрим город \\( B \\). Для него тоже должны найтись соответствующие 3 города. Заметим, что это не могут быть города \\( C \\) и \\( D \\), поскольку они не соединены с \\( B \\). Значит, должны найтись города \\( K \\), \\( L \\) и \\( M \\), попарно не соединённые между собой (среди них, возможно, есть город \\( A \\)). Но тогда в стране нет хотя бы 6 дорог: \\( BC, CD, BD, KL, LM, KM \\). Всего возможных дорог в стране \\( \\frac{1}{2} \\cdot 15 \\cdot 14 = 105 \\), из которых хотя бы 6 отсутствует. Значит, всего дорог не более \\( 105 - 6 = 99 \\).\n\nТеперь поймём, что дорог может быть ровно 99. Пронумеруем города числами от 1 до 15. Пусть города 1, 2, 3 попарно не соединены между собой, а также города 4, 5, 6 попарно не соединены между собой, а любые другие пары городов дорогой соединены. Проверим, что условие задачи выполняется. Действительно, если в качестве города A из условия задачи взять город из первой тройки, то для него подходит тройка городов 4, 5, 6. Если же в качестве города A из условия взять город не из первой тройки, то для него подходит тройка городов 1, 2, 3."
] |
HARD
|
vos
|
На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка P, а на стороне CD — точка Q. Известно, что ∠BCP = 17°, ∠AQP = 37°, ∠QAD = 16°. Сколько градусов составляет ∠CPQ?
|
38
|
2023-24
|
8
|
38
|
[
"Отметим на сторонах CD и AB точки P₁ и Q₁ соответственно так, что PP₁ ⊥ QQ₁ ⊥ BC. Будем пользоваться тем, что накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Из параллельности прямых BC и PP₁ получаем, что ∠P₁PC = ∠BCP = 17°. Аналогично из параллельности прямых AD и QQ₁ получаем, что ∠Q₁QA = ∠DAQ = 16°.",
"Тогда можно вычислить и угол PQQ₁: ∠PQQ₁ = ∠PQA - ∠Q₁QA = 37° - 16° = 21°.",
"В силу параллельности прямых PP₁ и QQ₁ имеем ∠P₁PQ = ∠PQQ₁ = 21°. Теперь осталось лишь сложить два угла: ∠CPQ = ∠CPP₁ + ∠P₁PQ = 17° + 21° = 38°."
] |
MEDIUM
|
vos
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.