file_path
stringlengths 11
79
| full_name
stringlengths 2
100
| traced_tactics
list | end
list | commit
stringclasses 4
values | url
stringclasses 4
values | start
list |
|---|---|---|---|---|---|---|
Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Lemmas.lean
|
mul_div_cancel_of_imp
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type ?u.9473\nM₀ : Type ?u.9476\nG₀ : Type u_1\nM₀' : Type ?u.9482\nG₀' : Type ?u.9485\nF : Type ?u.9488\nF' : Type ?u.9491\ninst✝¹ : MonoidWithZero M₀\ninst✝ : GroupWithZero G₀\na✝ b✝ c a b : G₀\nh : b = 0 → a = 0\nhb : b = 0\n⊢ a * b / b = a",
"tactic": "simp [*]"
}
] |
[
144,
72
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
143,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
|
Nat.ArithmeticFunction.inv_zetaUnit
|
[] |
[
1080,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1079,
1
] |
Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
|
Absorbent.zero_mem
|
[] |
[
402,
70
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
401,
1
] |
Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
|
StructureGroupoid.LocalInvariantProp.congr'
|
[] |
[
124,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
123,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
|
MeasureTheory.Lp.pow_mul_meas_ge_le_norm
|
[] |
[
1788,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1785,
1
] |
Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
|
WittVector.wittPow_vars
|
[] |
[
426,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
425,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Equiv.lean
|
RingEquiv.coe_toEquiv
|
[] |
[
146,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
145,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
|
Ideal.quotientToQuotientRangePowQuotSuccAux_mk
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\nS : Type v\ninst✝ : CommRing S\nf : R →+* S\np : Ideal R\nP : Ideal S\nhfp : NeZero e\ni : ℕ\na : S\na_mem : a ∈ P ^ i\nx : S\n⊢ quotientToQuotientRangePowQuotSuccAux f p P a_mem (Submodule.Quotient.mk x) =\n Submodule.Quotient.mk\n { val := ↑(Quotient.mk (P ^ e)) (x * a),\n property := (_ : ↑(Quotient.mk (P ^ e)) (x * a) ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) }",
"tactic": "apply Quotient.map'_mk''"
}
] |
[
525,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
522,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
|
MeasureTheory.Measure.div_mem_nhds_one_of_haar_pos
|
[
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\n⊢ ∃ L, MeasurableSet L ∧ L ⊆ E ∧ 0 < ↑↑μ L ∧ ↑↑μ L < ⊤\n\ncase intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "obtain ⟨L, hL, hLE, hLpos, hLtop⟩ : ∃ L : Set G, MeasurableSet L ∧ L ⊆ E ∧ 0 < μ L ∧ μ L < ∞"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\n⊢ ∃ L, MeasurableSet L ∧ L ⊆ E ∧ 0 < ↑↑μ L ∧ ↑↑μ L < ⊤\n\ncase intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "exact exists_subset_measure_lt_top hE hEpos"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\n⊢ ∃ K, K ⊆ L ∧ IsCompact K ∧ 0 < ↑↑μ K\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "obtain ⟨K, hKL, hK, hKpos⟩ : ∃ (K : Set G), K ⊆ L ∧ IsCompact K ∧ 0 < μ K"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\n⊢ ∃ K, K ⊆ L ∧ IsCompact K ∧ 0 < ↑↑μ K\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "exact MeasurableSet.exists_lt_isCompact_of_ne_top hL (ne_of_lt hLtop) hLpos"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "have hKtop : μ K ≠ ∞ := by\n apply ne_top_of_le_ne_top (ne_of_lt hLtop)\n apply measure_mono hKL"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\n⊢ ∃ U, U ⊇ K ∧ IsOpen U ∧ ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "obtain ⟨U, hUK, hU, hμUK⟩ : ∃ (U : Set G), U ⊇ K ∧ IsOpen U ∧ μ U < μ K + μ K"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\n⊢ ∃ U, U ⊇ K ∧ IsOpen U ∧ ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "exact Set.exists_isOpen_lt_add K hKtop hKpos.ne'"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ ∃ V, V ∈ 𝓝 1 ∧ V * K ⊆ U\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "obtain ⟨V, hV1, hVKU⟩ : ∃ V ∈ 𝓝 (1 : G), V * K ⊆ U"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ ∃ V, V ∈ 𝓝 1 ∧ V * K ⊆ U\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "exact compact_open_separated_mul_left hK hU hUK"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "have hv : ∀ v : G, v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K := by\n intro v hv hKv\n have hKvsub : {v} * K ∪ K ⊆ U := by\n apply Set.union_subset _ hUK\n apply _root_.subset_trans _ hVKU\n apply Set.mul_subset_mul _ (Set.Subset.refl K)\n simp only [Set.singleton_subset_iff, hv]\n replace hKvsub := @measure_mono _ _ μ _ _ hKvsub\n have hcontr := lt_of_le_of_lt hKvsub hμUK\n rw [measure_union hKv (IsCompact.measurableSet hK)] at hcontr\n have hKtranslate : μ ({v} * K) = μ K := by\n simp only [singleton_mul, image_mul_left, measure_preimage_mul]\n rw [hKtranslate, lt_self_iff_false] at hcontr\n assumption"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nthis : V ⊆ E / E\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1\n\ncase this\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\n⊢ V ⊆ E / E",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1",
"tactic": "suffices : V ⊆ E / E"
},
{
"state_after": "case this\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\n⊢ V ⊆ E / E",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nthis : V ⊆ E / E\n⊢ E / E ∈ 𝓝 1\n\ncase this\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\n⊢ V ⊆ E / E",
"tactic": "exact Filter.mem_of_superset hV1 this"
},
{
"state_after": "case this\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\n⊢ v ∈ E / E",
"state_before": "case this\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\n⊢ V ⊆ E / E",
"tactic": "intro v hvV"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\n⊢ ∃ x, x ∈ ?m.265493 x * K ∧ x ∈ K\n\ncase this.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ ?m.265493 x * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v ∈ E / E",
"state_before": "case this\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\n⊢ v ∈ E / E",
"tactic": "obtain ⟨x, hxK, hxvK⟩ : ∃ x : G, x ∈ {v} * K ∧ x ∈ K"
},
{
"state_after": "case this.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v ∈ E / E",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\n⊢ ∃ x, x ∈ ?m.265493 x * K ∧ x ∈ K\n\ncase this.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ ?m.265493 x * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v ∈ E / E",
"tactic": "exact Set.not_disjoint_iff.1 (hv v hvV)"
},
{
"state_after": "case this.intro.intro.refine'_1\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v⁻¹ * x ∈ E\n\ncase this.intro.intro.refine'_2\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ (fun x x_1 => x / x_1) x (v⁻¹ * x) = v",
"state_before": "case this.intro.intro\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v ∈ E / E",
"tactic": "refine' ⟨x, v⁻¹ * x, hLE (hKL hxvK), _, _⟩"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ ↑↑μ K ≤ ↑↑μ L",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ ↑↑μ K ≠ ⊤",
"tactic": "apply ne_top_of_le_ne_top (ne_of_lt hLtop)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\n⊢ ↑↑μ K ≤ ↑↑μ L",
"tactic": "apply measure_mono hKL"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\n⊢ ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K",
"tactic": "intro v hv hKv"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : {v} * K ∪ K ⊆ U\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ False",
"tactic": "have hKvsub : {v} * K ∪ K ⊆ U := by\n apply Set.union_subset _ hUK\n apply _root_.subset_trans _ hVKU\n apply Set.mul_subset_mul _ (Set.Subset.refl K)\n simp only [Set.singleton_subset_iff, hv]"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : {v} * K ∪ K ⊆ U\n⊢ False",
"tactic": "replace hKvsub := @measure_mono _ _ μ _ _ hKvsub"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\n⊢ False",
"tactic": "have hcontr := lt_of_le_of_lt hKvsub hμUK"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K) + ↑↑μ K < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ False",
"tactic": "rw [measure_union hKv (IsCompact.measurableSet hK)] at hcontr"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K) + ↑↑μ K < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nhKtranslate : ↑↑μ ({v} * K) = ↑↑μ K\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K) + ↑↑μ K < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ False",
"tactic": "have hKtranslate : μ ({v} * K) = μ K := by\n simp only [singleton_mul, image_mul_left, measure_preimage_mul]"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : False\nhKtranslate : ↑↑μ ({v} * K) = ↑↑μ K\n⊢ False",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K) + ↑↑μ K < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nhKtranslate : ↑↑μ ({v} * K) = ↑↑μ K\n⊢ False",
"tactic": "rw [hKtranslate, lt_self_iff_false] at hcontr"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : False\nhKtranslate : ↑↑μ ({v} * K) = ↑↑μ K\n⊢ False",
"tactic": "assumption"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} * K ⊆ U",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} * K ∪ K ⊆ U",
"tactic": "apply Set.union_subset _ hUK"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} * K ⊆ V * K",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} * K ⊆ U",
"tactic": "apply _root_.subset_trans _ hVKU"
},
{
"state_after": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} ⊆ V",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} * K ⊆ V * K",
"tactic": "apply Set.mul_subset_mul _ (Set.Subset.refl K)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\n⊢ {v} ⊆ V",
"tactic": "simp only [Set.singleton_subset_iff, hv]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nv : G\nhv : v ∈ V\nhKv : Disjoint ({v} * K) K\nhKvsub : ↑↑μ ({v} * K ∪ K) ≤ ↑↑μ U\nhcontr : ↑↑μ ({v} * K) + ↑↑μ K < ↑↑μ K + ↑↑μ K\n⊢ ↑↑μ ({v} * K) = ↑↑μ K",
"tactic": "simp only [singleton_mul, image_mul_left, measure_preimage_mul]"
},
{
"state_after": "case this.intro.intro.refine'_1.a\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v⁻¹ * x ∈ K",
"state_before": "case this.intro.intro.refine'_1\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v⁻¹ * x ∈ E",
"tactic": "apply hKL.trans hLE"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case this.intro.intro.refine'_1.a\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ v⁻¹ * x ∈ K",
"tactic": "simpa only [singleton_mul, image_mul_left, mem_preimage] using hxK"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case this.intro.intro.refine'_2\nG : Type u_1\ninst✝⁸ : Group G\ninst✝⁷ : TopologicalSpace G\ninst✝⁶ : T2Space G\ninst✝⁵ : TopologicalGroup G\ninst✝⁴ : MeasurableSpace G\ninst✝³ : BorelSpace G\ninst✝² : SecondCountableTopology G\nμ : Measure G\ninst✝¹ : IsHaarMeasure μ\ninst✝ : LocallyCompactSpace G\nE : Set G\nhE : MeasurableSet E\nhEpos : 0 < ↑↑μ E\nL : Set G\nhL : MeasurableSet L\nhLE : L ⊆ E\nhLpos : 0 < ↑↑μ L\nhLtop : ↑↑μ L < ⊤\nK : Set G\nhKL : K ⊆ L\nhK : IsCompact K\nhKpos : 0 < ↑↑μ K\nhKtop : ↑↑μ K ≠ ⊤\nU : Set G\nhUK : U ⊇ K\nhU : IsOpen U\nhμUK : ↑↑μ U < ↑↑μ K + ↑↑μ K\nV : Set G\nhV1 : V ∈ 𝓝 1\nhVKU : V * K ⊆ U\nhv : ∀ (v : G), v ∈ V → ¬Disjoint ({v} * K) K\nv : G\nhvV : v ∈ V\nx : G\nhxK : x ∈ {v} * K\nhxvK : x ∈ K\n⊢ (fun x x_1 => x / x_1) x (v⁻¹ * x) = v",
"tactic": "simp only [div_eq_iff_eq_mul, ← mul_assoc, mul_right_inv, one_mul]"
}
] |
[
798,
71
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
757,
1
] |
Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
|
Function.const_inj
|
[] |
[
60,
47
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
59,
1
] |
Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
|
Pell.eq_pow_of_pell_lem
|
[
{
"state_after": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ 1 < ↑a",
"state_before": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ ↑a ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1",
"tactic": "rw [sub_sq, mul_one, one_pow, sub_add, sub_sub_cancel, two_mul, sub_sub, ← add_sub,\n le_add_iff_nonneg_right, sub_nonneg, Int.add_one_le_iff]"
},
{
"state_after": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ 1 < a",
"state_before": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ 1 < ↑a",
"tactic": "norm_cast"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ 1 < a",
"tactic": "exact lt_of_le_of_lt (Nat.succ_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero hy0)) hya"
},
{
"state_after": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\nthis : y ≤ a\n⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1 ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1",
"state_before": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1 ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1",
"tactic": "have := hya.le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\nthis : y ≤ a\n⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1 ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1",
"tactic": "mono * <;> norm_cast <;> simp [Nat.zero_le, Nat.succ_le_of_lt (Nat.pos_of_ne_zero hy0)]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a y k : ℕ\nhy0 : y ≠ 0\nhk0 : k ≠ 0\nhyk : y ^ k < a\nhya : y < a\n⊢ ↑a ^ 2 - (↑a - ↑y) ^ 2 - 1 = 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1",
"tactic": "ring"
}
] |
[
942,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
929,
1
] |
Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
|
UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors_of_irreducible_pow
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α\ninst✝² : DecidableEq α\ninst✝¹ : NormalizationMonoid α\ninst✝ : UniqueFactorizationMonoid α\np : α\nhp : Irreducible p\nk : ℕ\n⊢ normalizedFactors (p ^ k) = Multiset.replicate k (↑normalize p)",
"tactic": "rw [normalizedFactors_pow, normalizedFactors_irreducible hp, Multiset.nsmul_singleton]"
}
] |
[
742,
89
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
740,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
|
MeasureTheory.L1.norm_setToL1_le_mul_norm
|
[] |
[
1230,
84
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1225,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
|
Finset.weightedVSub_sdiff
|
[] |
[
337,
38
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
335,
1
] |
Mathlib/Data/Real/ENNReal.lean
|
ENNReal.coe_pow
|
[] |
[
527,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
526,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Parity.lean
|
Nat.two_not_dvd_two_mul_add_one
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "m n✝ n : ℕ\n⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1",
"tactic": "simp [add_mod]"
}
] |
[
133,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
133,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
|
CategoryTheory.Presheaf.isSheaf_iff_isLimit_pretopology
|
[
{
"state_after": "C : Type u₁\ninst✝² : Category C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category A\nJ : GrothendieckTopology C\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Sieve X\nR : Presieve X\nE : Aᵒᵖ\nx : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows\nhx : SieveCompatible x\ninst✝ : HasPullbacks C\nK : Pretopology C\n⊢ (∀ (E : A), Presieve.IsSheaf (Pretopology.toGrothendieck C K) (P ⋙ coyoneda.obj E.op)) ↔\n ∀ ⦃X : C⦄ (R : Presieve X),\n R ∈ Pretopology.coverings K X → Nonempty (IsLimit (P.mapCone (Cocone.op (cocone (generate R).arrows))))",
"state_before": "C : Type u₁\ninst✝² : Category C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category A\nJ : GrothendieckTopology C\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Sieve X\nR : Presieve X\nE : Aᵒᵖ\nx : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows\nhx : SieveCompatible x\ninst✝ : HasPullbacks C\nK : Pretopology C\n⊢ IsSheaf (Pretopology.toGrothendieck C K) P ↔\n ∀ ⦃X : C⦄ (R : Presieve X),\n R ∈ Pretopology.coverings K X → Nonempty (IsLimit (P.mapCone (Cocone.op (cocone (generate R).arrows))))",
"tactic": "dsimp [IsSheaf]"
},
{
"state_after": "C : Type u₁\ninst✝² : Category C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category A\nJ : GrothendieckTopology C\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Sieve X\nR : Presieve X\nE : Aᵒᵖ\nx : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows\nhx : SieveCompatible x\ninst✝ : HasPullbacks C\nK : Pretopology C\n⊢ (∀ (E : A) {X : C} (R : Presieve X), R ∈ Pretopology.coverings K X → IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj E.op) R) ↔\n ∀ ⦃X : C⦄ (R : Presieve X),\n R ∈ Pretopology.coverings K X → Nonempty (IsLimit (P.mapCone (Cocone.op (cocone (generate R).arrows))))",
"state_before": "C : Type u₁\ninst✝² : Category C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category A\nJ : GrothendieckTopology C\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Sieve X\nR : Presieve X\nE : Aᵒᵖ\nx : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows\nhx : SieveCompatible x\ninst✝ : HasPullbacks C\nK : Pretopology C\n⊢ (∀ (E : A), Presieve.IsSheaf (Pretopology.toGrothendieck C K) (P ⋙ coyoneda.obj E.op)) ↔\n ∀ ⦃X : C⦄ (R : Presieve X),\n R ∈ Pretopology.coverings K X → Nonempty (IsLimit (P.mapCone (Cocone.op (cocone (generate R).arrows))))",
"tactic": "simp_rw [isSheaf_pretopology]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u₁\ninst✝² : Category C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category A\nJ : GrothendieckTopology C\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Sieve X\nR : Presieve X\nE : Aᵒᵖ\nx : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows\nhx : SieveCompatible x\ninst✝ : HasPullbacks C\nK : Pretopology C\n⊢ (∀ (E : A) {X : C} (R : Presieve X), R ∈ Pretopology.coverings K X → IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj E.op) R) ↔\n ∀ ⦃X : C⦄ (R : Presieve X),\n R ∈ Pretopology.coverings K X → Nonempty (IsLimit (P.mapCone (Cocone.op (cocone (generate R).arrows))))",
"tactic": "exact\n ⟨fun h X R hR => (isLimit_iff_isSheafFor_presieve P R).2 fun E => h E.unop R hR,\n fun h E X R hR => (isLimit_iff_isSheafFor_presieve P R).1 (h R hR) (op E)⟩"
}
] |
[
210,
81
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
202,
1
] |
Mathlib/Logic/Lemmas.lean
|
ite_dite_distrib_left
|
[] |
[
48,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
46,
1
] |
Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
|
ZMod.neg_eq_self_iff
|
[
{
"state_after": "n : ℕ\na : ZMod n\n⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = n",
"state_before": "n : ℕ\na : ZMod n\n⊢ -a = a ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = n",
"tactic": "rw [neg_eq_iff_add_eq_zero, ← two_mul]"
},
{
"state_after": "case zero\na : ZMod Nat.zero\n⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.zero\n\ncase succ\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "n : ℕ\na : ZMod n\n⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = n",
"tactic": "cases n"
},
{
"state_after": "case succ\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "case succ\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "conv_lhs =>\n rw [← a.nat_cast_zmod_val, ← Nat.cast_two, ← Nat.cast_mul, nat_cast_zmod_eq_zero_iff_dvd]"
},
{
"state_after": "case succ.mp\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a → a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝\n\ncase succ.mpr\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝ → Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a",
"state_before": "case succ\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case zero\na : ZMod Nat.zero\n⊢ 2 = 0 ∨ a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 = 0 ∨ a = 0",
"state_before": "case zero\na : ZMod Nat.zero\n⊢ 2 * a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.zero",
"tactic": "erw [@mul_eq_zero ℤ, @mul_eq_zero ℕ, val_eq_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case zero\na : ZMod Nat.zero\n⊢ 2 = 0 ∨ a = 0 ↔ a = 0 ∨ 2 = 0 ∨ a = 0",
"tactic": "exact\n ⟨fun h => h.elim (by simp) Or.inl, fun h =>\n Or.inr (h.elim id fun h => h.elim (by simp) id)⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ZMod Nat.zero\nh : 2 = 0 ∨ a = 0\n⊢ 2 = 0 → a = 0 ∨ 2 = 0 ∨ a = 0",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ZMod Nat.zero\nh✝ : a = 0 ∨ 2 = 0 ∨ a = 0\nh : 2 = 0 ∨ a = 0\n⊢ 2 = 0 → a = 0",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nm : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * m\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "case succ.mp\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a → a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "rintro ⟨m, he⟩"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.zero\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.zero\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝\n\ncase succ.mp.intro.succ\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nm : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.succ m\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "case succ.mp.intro\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nm : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * m\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "cases' m with m"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.succ.zero\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.succ Nat.zero\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝\n\ncase succ.mp.intro.succ.succ\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝¹",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nm : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.succ m\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "cases m"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.succ.succ\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ 2 * Nat.succ n✝¹ ≤ 2 * val a",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.succ\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝¹",
"tactic": "refine' (a.val_lt.not_le <| Nat.le_of_mul_le_mul_left _ zero_lt_two).elim"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.succ.succ\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ Nat.succ n✝¹ * 2 ≤ Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.succ\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ 2 * Nat.succ n✝¹ ≤ 2 * val a",
"tactic": "rw [he, mul_comm]"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.succ.succ.h\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ 2 ≤ Nat.succ (Nat.succ n✝)",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.succ\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ Nat.succ n✝¹ * 2 ≤ Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)",
"tactic": "apply Nat.mul_le_mul_left"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.succ.succ.h\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ 0 ≤ n✝",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.succ.h\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ 2 ≤ Nat.succ (Nat.succ n✝)",
"tactic": "erw [Nat.succ_le_succ_iff, Nat.succ_le_succ_iff]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.succ.h\nn✝¹ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝¹)\nn✝ : ℕ\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝¹ * Nat.succ (Nat.succ n✝)\n⊢ 0 ≤ n✝",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.zero\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 = 0 ∨ val a = 0\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "case succ.mp.intro.zero\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.zero\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "erw [MulZeroClass.mul_zero, mul_eq_zero] at he"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.zero.inr\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : val a = 0\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "case succ.mp.intro.zero\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 = 0 ∨ val a = 0\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "rcases he with (⟨⟨⟩⟩ | he)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.mp.intro.zero.inr\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : val a = 0\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "exact Or.inl (a.val_eq_zero.1 he)"
},
{
"state_after": "case succ.mp.intro.succ.zero.h\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.succ Nat.zero\n⊢ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.zero\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.succ Nat.zero\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "right"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.mp.intro.succ.zero.h\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nhe : 2 * val a = Nat.succ n✝ * Nat.succ Nat.zero\n⊢ 2 * val a = Nat.succ n✝",
"tactic": "rwa [show Nat.succ Nat.zero = 1 from rfl, mul_one] at he"
},
{
"state_after": "case succ.mpr.inl\nn✝ : ℕ\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val 0\n\ncase succ.mpr.inr\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nh : 2 * val a = Nat.succ n✝\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a",
"state_before": "case succ.mpr\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\n⊢ a = 0 ∨ 2 * val a = Nat.succ n✝ → Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a",
"tactic": "rintro (rfl | h)"
},
{
"state_after": "case succ.mpr.inl\nn✝ : ℕ\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 0",
"state_before": "case succ.mpr.inl\nn✝ : ℕ\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val 0",
"tactic": "rw [val_zero, MulZeroClass.mul_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.mpr.inl\nn✝ : ℕ\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 0",
"tactic": "apply dvd_zero"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ.mpr.inr\nn✝ : ℕ\na : ZMod (Nat.succ n✝)\nh : 2 * val a = Nat.succ n✝\n⊢ Nat.succ n✝ ∣ 2 * val a",
"tactic": "rw [h]"
}
] |
[
871,
13
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
846,
1
] |
Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
|
matPolyEquiv_coeff_apply_aux_1
|
[
{
"state_after": "R : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ ↑(AlgEquiv.symm (polyEquivTensor R (Matrix n n R)))\n (↑(Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) (↑(monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1)) =\n ↑(monomial k) (stdBasisMatrix i j x)",
"state_before": "R : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ ↑matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j (↑(monomial k) x)) = ↑(monomial k) (stdBasisMatrix i j x)",
"tactic": "simp only [matPolyEquiv, AlgEquiv.trans_apply, matrixEquivTensor_apply_std_basis]"
},
{
"state_after": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ ↑(polyEquivTensor R (Matrix n n R))\n (↑(AlgEquiv.symm (polyEquivTensor R (Matrix n n R)))\n (↑(Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) (↑(monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1))) =\n ↑(polyEquivTensor R (Matrix n n R)) (↑(monomial k) (stdBasisMatrix i j x))",
"state_before": "R : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ ↑(AlgEquiv.symm (polyEquivTensor R (Matrix n n R)))\n (↑(Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) (↑(monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1)) =\n ↑(monomial k) (stdBasisMatrix i j x)",
"tactic": "apply (polyEquivTensor R (Matrix n n R)).injective"
},
{
"state_after": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] ↑(monomial k) x = ↑↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] X ^ k",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ ↑(polyEquivTensor R (Matrix n n R))\n (↑(AlgEquiv.symm (polyEquivTensor R (Matrix n n R)))\n (↑(Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) (↑(monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1))) =\n ↑(polyEquivTensor R (Matrix n n R)) (↑(monomial k) (stdBasisMatrix i j x))",
"tactic": "simp only [AlgEquiv.apply_symm_apply,Algebra.TensorProduct.comm_tmul,\n polyEquivTensor_apply, eval₂_monomial]"
},
{
"state_after": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] ↑(monomial k) x = ↑↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] ↑(monomial k) x = ↑↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] X ^ k",
"tactic": "simp only [Algebra.TensorProduct.tmul_mul_tmul, one_pow, one_mul, Matrix.mul_one,\n Algebra.TensorProduct.tmul_pow, Algebra.TensorProduct.includeLeft_apply, mul_eq_mul]"
},
{
"state_after": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ (x • stdBasisMatrix i j 1) ⊗ₜ[R] (X ^ k) = ↑↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] ↑(monomial k) x = ↑↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)",
"tactic": "rw [← smul_X_eq_monomial, ← TensorProduct.smul_tmul]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a\nR : Type u_1\nA : Type ?u.483263\ninst✝⁴ : CommSemiring R\ninst✝³ : Semiring A\ninst✝² : Algebra R A\nn : Type w\ninst✝¹ : DecidableEq n\ninst✝ : Fintype n\ni j : n\nk : ℕ\nx : R\n⊢ (x • stdBasisMatrix i j 1) ⊗ₜ[R] (X ^ k) = ↑↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)",
"tactic": "congr with i' <;> simp [stdBasisMatrix]"
}
] |
[
244,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
235,
1
] |
Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
|
Complex.re_eq_add_conj
|
[
{
"state_after": "z : ℂ\nthis : ↑2 = 2\n⊢ ↑z.re = (z + ↑(starRingEnd ℂ) z) / 2",
"state_before": "z : ℂ\n⊢ ↑z.re = (z + ↑(starRingEnd ℂ) z) / 2",
"tactic": "have : (↑(↑2 : ℝ) : ℂ) = (2 : ℂ) := by rfl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "z : ℂ\nthis : ↑2 = 2\n⊢ ↑z.re = (z + ↑(starRingEnd ℂ) z) / 2",
"tactic": "simp only [add_conj, ofReal_mul, ofReal_one, ofReal_bit0, this,\n mul_div_cancel_left (z.re : ℂ) two_ne_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "z : ℂ\n⊢ ↑2 = 2",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
888,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
885,
1
] |
Mathlib/Data/Real/ENNReal.lean
|
ENNReal.iSup_coe_nat
|
[] |
[
2492,
80
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2491,
1
] |
Mathlib/RingTheory/NonZeroDivisors.lean
|
mul_right_mem_nonZeroDivisors_eq_zero_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type u_1\nM' : Type ?u.10326\nM₁ : Type ?u.10329\nR : Type ?u.10332\nR' : Type ?u.10335\nF : Type ?u.10338\ninst✝⁴ : MonoidWithZero M\ninst✝³ : MonoidWithZero M'\ninst✝² : CommMonoidWithZero M₁\ninst✝¹ : Ring R\ninst✝ : CommRing R'\nx r : M\nhr : r ∈ M⁰\n⊢ x = 0 → x * r = 0",
"tactic": "simp (config := { contextual := true })"
}
] |
[
52,
53
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
51,
1
] |
Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
|
AffineIsometryEquiv.pointReflection_apply
|
[] |
[
780,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
779,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
|
NNReal.rpow_le_one_of_one_le_of_nonpos
|
[] |
[
213,
45
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
212,
1
] |
Mathlib/Data/Set/NAry.lean
|
Set.image_image2_antidistrib
|
[
{
"state_after": "α : Type u_3\nα' : Type u_6\nβ : Type u_4\nβ' : Type u_5\nγ : Type u_2\nγ' : Type ?u.47516\nδ : Type u_1\nδ' : Type ?u.47522\nε : Type ?u.47525\nε' : Type ?u.47528\nζ : Type ?u.47531\nζ' : Type ?u.47534\nν : Type ?u.47537\nf f'✝ : α → β → γ\ng✝ g' : α → β → γ → δ\ns s' : Set α\nt t' : Set β\nu u' : Set γ\nv : Set δ\na a' : α\nb b' : β\nc c' : γ\nd d' : δ\ng : γ → δ\nf' : β' → α' → δ\ng₁ : β → β'\ng₂ : α → α'\nh_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)\n⊢ g '' image2 (fun a b => f b a) t s = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)",
"state_before": "α : Type u_3\nα' : Type u_6\nβ : Type u_4\nβ' : Type u_5\nγ : Type u_2\nγ' : Type ?u.47516\nδ : Type u_1\nδ' : Type ?u.47522\nε : Type ?u.47525\nε' : Type ?u.47528\nζ : Type ?u.47531\nζ' : Type ?u.47534\nν : Type ?u.47537\nf f'✝ : α → β → γ\ng✝ g' : α → β → γ → δ\ns s' : Set α\nt t' : Set β\nu u' : Set γ\nv : Set δ\na a' : α\nb b' : β\nc c' : γ\nd d' : δ\ng : γ → δ\nf' : β' → α' → δ\ng₁ : β → β'\ng₂ : α → α'\nh_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)\n⊢ g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)",
"tactic": "rw [image2_swap f]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_3\nα' : Type u_6\nβ : Type u_4\nβ' : Type u_5\nγ : Type u_2\nγ' : Type ?u.47516\nδ : Type u_1\nδ' : Type ?u.47522\nε : Type ?u.47525\nε' : Type ?u.47528\nζ : Type ?u.47531\nζ' : Type ?u.47534\nν : Type ?u.47537\nf f'✝ : α → β → γ\ng✝ g' : α → β → γ → δ\ns s' : Set α\nt t' : Set β\nu u' : Set γ\nv : Set δ\na a' : α\nb b' : β\nc c' : γ\nd d' : δ\ng : γ → δ\nf' : β' → α' → δ\ng₁ : β → β'\ng₂ : α → α'\nh_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)\n⊢ g '' image2 (fun a b => f b a) t s = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)",
"tactic": "exact image_image2_distrib fun _ _ => h_antidistrib _ _"
}
] |
[
401,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
397,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
|
Algebra.adjoin_eq_of_le
|
[] |
[
66,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
65,
1
] |
Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
|
PowerBasis.mem_span_pow'
|
[
{
"state_after": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nthis : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)\n⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, degree f < ↑d ∧ y = ↑(aeval x) f",
"state_before": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\n⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, degree f < ↑d ∧ y = ↑(aeval x) f",
"tactic": "have : (Set.range fun i : Fin d => x ^ (i : ℕ)) = (fun i : ℕ => x ^ i) '' ↑(Finset.range d) := by\n ext n\n simp_rw [Set.mem_range, Set.mem_image, Finset.mem_coe, Finset.mem_range]\n exact ⟨fun ⟨⟨i, hi⟩, hy⟩ => ⟨i, hi, hy⟩, fun ⟨i, hi, hy⟩ => ⟨⟨i, hi⟩, hy⟩⟩"
},
{
"state_after": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nthis : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)\n⊢ (∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → ↑l x = 0) ∧ (Finset.sum l.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑l x_1) * x ^ x_1) = y) ↔\n ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → ↑q m = 0) ∧ y = Finset.sum q.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑q x_1) * x ^ x_1",
"state_before": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nthis : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)\n⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, degree f < ↑d ∧ y = ↑(aeval x) f",
"tactic": "simp only [this, Finsupp.mem_span_image_iff_total, degree_lt_iff_coeff_zero,\n exists_iff_exists_finsupp, coeff, aeval, eval₂RingHom', eval₂_eq_sum, Polynomial.sum, support,\n Finsupp.mem_supported', Finsupp.total, Finsupp.sum, Algebra.smul_def, eval₂_zero, exists_prop,\n LinearMap.id_coe, eval₂_one, id.def, not_lt, Finsupp.coe_lsum, LinearMap.coe_smulRight,\n Finset.mem_range, AlgHom.coe_mks, Finset.mem_coe]"
},
{
"state_after": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nthis : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)\n⊢ (∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → ↑l x = 0) ∧ (Finset.sum l.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑l x_1) * x ^ x_1) = y) ↔\n ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → ↑q m = 0) ∧ (Finset.sum q.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑q x_1) * x ^ x_1) = y",
"state_before": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nthis : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)\n⊢ (∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → ↑l x = 0) ∧ (Finset.sum l.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑l x_1) * x ^ x_1) = y) ↔\n ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → ↑q m = 0) ∧ y = Finset.sum q.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑q x_1) * x ^ x_1",
"tactic": "simp_rw [@eq_comm _ y]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nthis : (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)\n⊢ (∃ l, (∀ (x : ℕ), d ≤ x → ↑l x = 0) ∧ (Finset.sum l.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑l x_1) * x ^ x_1) = y) ↔\n ∃ q, (∀ (m : ℕ), d ≤ m → ↑q m = 0) ∧ (Finset.sum q.support fun x_1 => ↑(algebraMap R S) (↑q x_1) * x ^ x_1) = y",
"tactic": "exact Iff.rfl"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nn : S\n⊢ (n ∈ Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ n ∈ (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)",
"state_before": "R : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\n⊢ (Set.range fun i => x ^ ↑i) = (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)",
"tactic": "ext n"
},
{
"state_after": "case h\nR : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nn : S\n⊢ (∃ y, x ^ ↑y = n) ↔ ∃ x_1, x_1 < d ∧ x ^ x_1 = n",
"state_before": "case h\nR : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nn : S\n⊢ (n ∈ Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ n ∈ (fun i => x ^ i) '' ↑(Finset.range d)",
"tactic": "simp_rw [Set.mem_range, Set.mem_image, Finset.mem_coe, Finset.mem_range]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nR : Type u_2\nS : Type u_1\nT : Type ?u.12701\ninst✝⁷ : CommRing R\ninst✝⁶ : Ring S\ninst✝⁵ : Algebra R S\nA : Type ?u.13004\nB : Type ?u.13007\ninst✝⁴ : CommRing A\ninst✝³ : CommRing B\ninst✝² : IsDomain B\ninst✝¹ : Algebra A B\nK : Type ?u.13429\ninst✝ : Field K\nx y : S\nd : ℕ\nn : S\n⊢ (∃ y, x ^ ↑y = n) ↔ ∃ x_1, x_1 < d ∧ x ^ x_1 = n",
"tactic": "exact ⟨fun ⟨⟨i, hi⟩, hy⟩ => ⟨i, hi, hy⟩, fun ⟨i, hi, hy⟩ => ⟨⟨i, hi⟩, hy⟩⟩"
}
] |
[
105,
16
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
92,
1
] |
Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
|
Complex.frontier_setOf_im_le
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a : ℝ\n⊢ frontier {z | z.im ≤ a} = {z | z.im = a}",
"tactic": "simpa only [frontier_Iic] using frontier_preimage_im (Iic a)"
}
] |
[
143,
63
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
142,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
|
LinearMap.injective_iff_surjective
|
[] |
[
921,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
915,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
|
Besicovitch.exists_closedBall_covering_tsum_measure_le
|
[
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "obtain ⟨u, su, u_open, μu⟩ : ∃ U, U ⊇ s ∧ IsOpen U ∧ μ U ≤ μ s + ε / 2 :=\n Set.exists_isOpen_le_add _ _\n (by\n simpa only [or_false_iff, Ne.def, ENNReal.div_eq_zero_iff, ENNReal.one_ne_top] using hε)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nthis : ∀ (x : α), x ∈ s → ∃ R, R > 0 ∧ ball x R ⊆ u\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "have : ∀ x ∈ s, ∃ R > 0, ball x R ⊆ u := fun x hx =>\n Metric.mem_nhds_iff.1 (u_open.mem_nhds (su hx))"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nthis : ∀ (x : α), x ∈ s → ∃ R, R > 0 ∧ ball x R ⊆ u\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "choose! R hR using this"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "obtain ⟨t0, r0, t0_count, t0s, hr0, μt0, t0_disj⟩ :\n ∃ (t0 : Set α) (r0 : α → ℝ), t0.Countable ∧ t0 ⊆ s ∧\n (∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧ μ (s \\ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0 ∧\n t0.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r0 x) :=\n exists_disjoint_closedBall_covering_ae μ f s hf R fun x hx => (hR x hx).1"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "let s' := s \\ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "have s's : s' ⊆ s := diff_subset _ _"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "obtain ⟨N, τ, hτ, H⟩ : ∃ N τ, 1 < τ ∧ IsEmpty (Besicovitch.SatelliteConfig α N τ) :=\n HasBesicovitchCovering.no_satelliteConfig"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "obtain ⟨v, s'v, v_open, μv⟩ : ∃ v, v ⊇ s' ∧ IsOpen v ∧ μ v ≤ μ s' + ε / 2 / N :=\n Set.exists_isOpen_le_add _ _\n (by\n simp only [hε, ENNReal.nat_ne_top, WithTop.mul_eq_top_iff, Ne.def, ENNReal.div_eq_zero_iff,\n ENNReal.one_ne_top, not_false_iff, and_false_iff, false_and_iff, or_self_iff])"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nthis : ∀ (x : α), x ∈ s' → ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "have : ∀ x ∈ s', ∃ r1 ∈ f x ∩ Ioo (0 : ℝ) 1, closedBall x r1 ⊆ v := by\n intro x hx\n rcases Metric.mem_nhds_iff.1 (v_open.mem_nhds (s'v hx)) with ⟨r, rpos, hr⟩\n rcases hf x (s's hx) (min r 1) (lt_min rpos zero_lt_one) with ⟨R', hR'⟩\n exact\n ⟨R', ⟨hR'.1, hR'.2.1, hR'.2.2.trans_le (min_le_right _ _)⟩,\n Subset.trans (closedBall_subset_ball (hR'.2.2.trans_le (min_le_left _ _))) hr⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nthis : ∀ (x : α), x ∈ s' → ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "choose! r1 hr1 using this"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "let q : BallPackage s' α :=\n { c := fun x => x\n r := fun x => r1 x\n rpos := fun x => (hr1 x.1 x.2).1.2.1\n r_bound := 1\n r_le := fun x => (hr1 x.1 x.2).1.2.2.le }"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "obtain ⟨S, S_disj, hS⟩ :\n ∃ S : Fin N → Set s',\n (∀ i : Fin N, (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧\n range q.c ⊆ ⋃ i : Fin N, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j) :=\n exist_disjoint_covering_families hτ H q"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "have S_count : ∀ i, (S i).Countable := by\n intro i\n apply (S_disj i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => ?_\n have : (ball (j : α) (r1 j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (q.rpos _)\n exact this.mono ball_subset_interior_closedBall"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "let r x := if x ∈ s' then r1 x else r0 x"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "have r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x := by\n intro x hx\n have : ¬x ∈ s' := by\n simp only [not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_lt, not_le,\n mem_diff, not_forall]\n intro _\n refine' ⟨x, hx, _⟩\n rw [dist_self]\n exact (hr0 x hx).2.1.le\n simp only [if_neg this]"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ Set.Countable (t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i)\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i) ⊆ s\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∀ (x : α), (x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i) → r x ∈ f x\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)\n\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_5\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (∑' (x : ↑(t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∃ t r,\n Set.Countable t ∧\n t ⊆ s ∧\n (∀ (x : α), x ∈ t → r x ∈ f x) ∧\n (s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t), closedBall x (r x)) ∧ (∑' (x : ↑t), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "refine' ⟨t0 ∪ ⋃ i : Fin N, ((↑) : s' → α) '' S i, r, _, _, _, _, _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\n⊢ ε / 2 ≠ 0",
"tactic": "simpa only [or_false_iff, Ne.def, ENNReal.div_eq_zero_iff, ENNReal.one_ne_top] using hε"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\n⊢ ε / 2 / ↑N ≠ 0",
"tactic": "simp only [hε, ENNReal.nat_ne_top, WithTop.mul_eq_top_iff, Ne.def, ENNReal.div_eq_zero_iff,\n ENNReal.one_ne_top, not_false_iff, and_false_iff, false_and_iff, or_self_iff]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nx : α\nhx : x ∈ s'\n⊢ ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\n⊢ ∀ (x : α), x ∈ s' → ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nx : α\nhx : x ∈ s'\nr : ℝ\nrpos : r > 0\nhr : ball x r ⊆ v\n⊢ ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nx : α\nhx : x ∈ s'\n⊢ ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"tactic": "rcases Metric.mem_nhds_iff.1 (v_open.mem_nhds (s'v hx)) with ⟨r, rpos, hr⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nx : α\nhx : x ∈ s'\nr : ℝ\nrpos : r > 0\nhr : ball x r ⊆ v\nR' : ℝ\nhR' : R' ∈ f x ∩ Ioo 0 (min r 1)\n⊢ ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nx : α\nhx : x ∈ s'\nr : ℝ\nrpos : r > 0\nhr : ball x r ⊆ v\n⊢ ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"tactic": "rcases hf x (s's hx) (min r 1) (lt_min rpos zero_lt_one) with ⟨R', hR'⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nx : α\nhx : x ∈ s'\nr : ℝ\nrpos : r > 0\nhr : ball x r ⊆ v\nR' : ℝ\nhR' : R' ∈ f x ∩ Ioo 0 (min r 1)\n⊢ ∃ r1, r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x r1 ⊆ v",
"tactic": "exact\n ⟨R', ⟨hR'.1, hR'.2.1, hR'.2.2.trans_le (min_le_right _ _)⟩,\n Subset.trans (closedBall_subset_ball (hR'.2.2.trans_le (min_le_left _ _))) hr⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\ni : Fin N\n⊢ Set.Countable (S i)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\n⊢ ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)",
"tactic": "intro i"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\ni : Fin N\nj : ↑s'\nx✝ : j ∈ S i\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\ni : Fin N\n⊢ Set.Countable (S i)",
"tactic": "apply (S_disj i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => ?_"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\ni : Fin N\nj : ↑s'\nx✝ : j ∈ S i\nthis : Set.Nonempty (ball (↑j) (r1 ↑j))\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\ni : Fin N\nj : ↑s'\nx✝ : j ∈ S i\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)))",
"tactic": "have : (ball (j : α) (r1 j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (q.rpos _)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\ni : Fin N\nj : ↑s'\nx✝ : j ∈ S i\nthis : Set.Nonempty (ball (↑j) (r1 ↑j))\n⊢ Set.Nonempty (interior (closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)))",
"tactic": "exact this.mono ball_subset_interior_closedBall"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ r x = r0 x",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\n⊢ ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\nthis : ¬x ∈ s'\n⊢ r x = r0 x",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ r x = r0 x",
"tactic": "have : ¬x ∈ s' := by\n simp only [not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_lt, not_le,\n mem_diff, not_forall]\n intro _\n refine' ⟨x, hx, _⟩\n rw [dist_self]\n exact (hr0 x hx).2.1.le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\nthis : ¬x ∈ s'\n⊢ r x = r0 x",
"tactic": "simp only [if_neg this]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ x ∈ s → ∃ x_1, x_1 ∈ t0 ∧ dist x x_1 ≤ r0 x_1",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ ¬x ∈ s'",
"tactic": "simp only [not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_lt, not_le,\n mem_diff, not_forall]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\na✝ : x ∈ s\n⊢ ∃ x_1, x_1 ∈ t0 ∧ dist x x_1 ≤ r0 x_1",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ x ∈ s → ∃ x_1, x_1 ∈ t0 ∧ dist x x_1 ≤ r0 x_1",
"tactic": "intro _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\na✝ : x ∈ s\n⊢ dist x x ≤ r0 x",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\na✝ : x ∈ s\n⊢ ∃ x_1, x_1 ∈ t0 ∧ dist x x_1 ≤ r0 x_1",
"tactic": "refine' ⟨x, hx, _⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\na✝ : x ∈ s\n⊢ 0 ≤ r0 x",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\na✝ : x ∈ s\n⊢ dist x x ≤ r0 x",
"tactic": "rw [dist_self]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\na✝ : x ∈ s\n⊢ 0 ≤ r0 x",
"tactic": "exact (hr0 x hx).2.1.le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ Set.Countable (t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i)",
"tactic": "exact t0_count.union (countable_iUnion fun i => (S_count i).image _)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∀ (i : Fin N), S i ⊆ (fun a => ↑a) ⁻¹' s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i) ⊆ s",
"tactic": "simp only [t0s, true_and_iff, union_subset_iff, image_subset_iff, iUnion_subset_iff]"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\ni : Fin N\nx : { x // x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x) }\na✝ : x ∈ S i\n⊢ x ∈ (fun a => ↑a) ⁻¹' s",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∀ (i : Fin N), S i ⊆ (fun a => ↑a) ⁻¹' s",
"tactic": "intro i x _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\ni : Fin N\nx : { x // x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x) }\na✝ : x ∈ S i\n⊢ x ∈ (fun a => ↑a) ⁻¹' s",
"tactic": "exact s's x.2"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\n⊢ r x ∈ f x",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∀ (x : α), (x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i) → r x ∈ f x",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\n⊢ r x ∈ f x",
"tactic": "cases hx with\n| inl hx =>\n rw [r_t0 x hx]\n exact (hr0 _ hx).1\n| inr hx =>\n have h'x : x ∈ s' := by\n simp only [mem_iUnion, mem_image] at hx\n rcases hx with ⟨i, y, _, rfl⟩\n exact y.2\n simp only [if_pos h'x, (hr1 x h'x).1.1]"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ r0 x ∈ f x",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ r x ∈ f x",
"tactic": "rw [r_t0 x hx]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.inl\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ r0 x ∈ f x",
"tactic": "exact (hr0 _ hx).1"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\nh'x : x ∈ s'\n⊢ r x ∈ f x",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\n⊢ r x ∈ f x",
"tactic": "have h'x : x ∈ s' := by\n simp only [mem_iUnion, mem_image] at hx\n rcases hx with ⟨i, y, _, rfl⟩\n exact y.2"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3.inr\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\nh'x : x ∈ s'\n⊢ r x ∈ f x",
"tactic": "simp only [if_pos h'x, (hr1 x h'x).1.1]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : ∃ i x_1, x_1 ∈ S i ∧ ↑x_1 = x\n⊢ x ∈ s'",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\n⊢ x ∈ s'",
"tactic": "simp only [mem_iUnion, mem_image] at hx"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\ni : Fin N\ny : { x // x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x) }\nleft✝ : y ∈ S i\n⊢ ↑y ∈ s'",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : ∃ i x_1, x_1 ∈ S i ∧ ↑x_1 = x\n⊢ x ∈ s'",
"tactic": "rcases hx with ⟨i, y, _, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\ni : Fin N\ny : { x // x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x) }\nleft✝ : y ∈ S i\n⊢ ↑y ∈ s'",
"tactic": "exact y.2"
},
{
"state_after": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ s ⊆ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)\n\ncase neg\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_4\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"tactic": "by_cases h'x : x ∈ s'"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"state_before": "case pos\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"tactic": "obtain ⟨i, y, ySi, xy⟩ : ∃ (i : Fin N) (y : ↥s'), y ∈ S i ∧ x ∈ ball (y : α) (r1 y) := by\n have A : x ∈ range q.c := by\n simpa only [not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_le,\n mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, mem_diff] using h'x\n simpa only [mem_iUnion, mem_image, bex_def] using hS A"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ ↑y ∈ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i\n\ncase pos.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ x ∈ closedBall (↑y) (r ↑y)",
"state_before": "case pos.intro.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"tactic": "refine' mem_iUnion₂.2 ⟨y, Or.inr _, _⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\nA : x ∈ range q.c\n⊢ ∃ i y, y ∈ S i ∧ x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\n⊢ ∃ i y, y ∈ S i ∧ x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)",
"tactic": "have A : x ∈ range q.c := by\n simpa only [not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_le,\n mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, mem_diff] using h'x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\nA : x ∈ range q.c\n⊢ ∃ i y, y ∈ S i ∧ x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)",
"tactic": "simpa only [mem_iUnion, mem_image, bex_def] using hS A"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\n⊢ x ∈ range q.c",
"tactic": "simpa only [not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_le,\n mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, mem_diff] using h'x"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ ∃ i x, x ∈ S i ∧ ↑x = ↑y",
"state_before": "case pos.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ ↑y ∈ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i",
"tactic": "simp only [mem_iUnion, mem_image]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ ∃ i x, x ∈ S i ∧ ↑x = ↑y",
"tactic": "exact ⟨i, y, ySi, rfl⟩"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\nthis : ↑y ∈ s'\n⊢ x ∈ closedBall (↑y) (r ↑y)",
"state_before": "case pos.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\n⊢ x ∈ closedBall (↑y) (r ↑y)",
"tactic": "have : (y : α) ∈ s' := y.2"
},
{
"state_after": "case pos.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\nthis : ↑y ∈ s'\n⊢ x ∈ closedBall (↑y) (r1 ↑y)",
"state_before": "case pos.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\nthis : ↑y ∈ s'\n⊢ x ∈ closedBall (↑y) (r ↑y)",
"tactic": "simp only [if_pos this]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : x ∈ s'\ni : Fin N\ny : ↑s'\nySi : y ∈ S i\nxy : x ∈ ball (↑y) (r1 ↑y)\nthis : ↑y ∈ s'\n⊢ x ∈ closedBall (↑y) (r1 ↑y)",
"tactic": "exact ball_subset_closedBall xy"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\ny : α\nyt0 : y ∈ t0\nhxy : x ∈ closedBall y (r0 y)\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"state_before": "case neg\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"tactic": "obtain ⟨y, yt0, hxy⟩ : ∃ y : α, y ∈ t0 ∧ x ∈ closedBall y (r0 y) := by\n simpa [hx, -mem_closedBall] using h'x"
},
{
"state_after": "case neg.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\ny : α\nyt0 : y ∈ t0\nhxy : x ∈ closedBall y (r0 y)\n⊢ x ∈ closedBall y (r y)",
"state_before": "case neg.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\ny : α\nyt0 : y ∈ t0\nhxy : x ∈ closedBall y (r0 y)\n⊢ x ∈ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i), closedBall x (r x)",
"tactic": "refine' mem_iUnion₂.2 ⟨y, Or.inl yt0, _⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg.intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\ny : α\nyt0 : y ∈ t0\nhxy : x ∈ closedBall y (r0 y)\n⊢ x ∈ closedBall y (r y)",
"tactic": "rwa [r_t0 _ yt0]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ s\nh'x : ¬x ∈ s'\n⊢ ∃ y, y ∈ t0 ∧ x ∈ closedBall y (r0 y)",
"tactic": "simpa [hx, -mem_closedBall] using h'x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_5\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ (∑' (x : ↑(t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε",
"tactic": "calc\n (∑' x : ↥(t0 ∪ ⋃ i : Fin N, ((↑) : s' → α) '' S i), μ (closedBall x (r x))) ≤\n (∑' x : t0, μ (closedBall x (r x))) +\n ∑' x : ⋃ i : Fin N, ((↑) : s' → α) '' S i, μ (closedBall x (r x)) :=\n ENNReal.tsum_union_le (fun x => μ (closedBall x (r x))) _ _\n _ ≤\n (∑' x : t0, μ (closedBall x (r x))) +\n ∑ i : Fin N, ∑' x : ((↑) : s' → α) '' S i, μ (closedBall x (r x)) :=\n (add_le_add le_rfl (ENNReal.tsum_iUnion_le (fun x => μ (closedBall x (r x))) _))\n _ ≤ μ s + ε / 2 + ∑ i : Fin N, ε / 2 / N := by\n refine' add_le_add A _\n refine' Finset.sum_le_sum _\n intro i _\n exact B i\n _ ≤ μ s + ε / 2 + ε / 2 := by\n refine' add_le_add le_rfl _\n simp only [Finset.card_fin, Finset.sum_const, nsmul_eq_mul, ENNReal.mul_div_le]\n _ = μ s + ε := by rw [add_assoc, ENNReal.add_halves]"
},
{
"state_after": "case e_f\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (fun x => ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = fun x => ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = ∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"tactic": "congr 1"
},
{
"state_after": "case e_f.h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : ↑t0\n⊢ ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) = ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"state_before": "case e_f\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (fun x => ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = fun x => ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_f.h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : ↑t0\n⊢ ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) = ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"tactic": "rw [r_t0 x x.2]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nthis : Encodable ↑t0\n⊢ (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))) = ↑↑μ (⋃ (x : ↑t0), closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))) = ↑↑μ (⋃ (x : ↑t0), closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"tactic": "haveI : Encodable t0 := t0_count.toEncodable"
},
{
"state_after": "case hn\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nthis : Encodable ↑t0\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun x => closedBall (↑x) (r0 ↑x))\n\ncase h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nthis : Encodable ↑t0\n⊢ ∀ (i : ↑t0), MeasurableSet (closedBall (↑i) (r0 ↑i))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nthis : Encodable ↑t0\n⊢ (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x))) = ↑↑μ (⋃ (x : ↑t0), closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"tactic": "rw [measure_iUnion]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hn\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nthis : Encodable ↑t0\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun x => closedBall (↑x) (r0 ↑x))",
"tactic": "exact (pairwise_subtype_iff_pairwise_set _ _).2 t0_disj"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nthis : Encodable ↑t0\n⊢ ∀ (i : ↑t0), MeasurableSet (closedBall (↑i) (r0 ↑i))",
"tactic": "exact fun i => measurableSet_closedBall"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (⋃ (x : ↑t0), closedBall (↑x) (r0 ↑x)) ⊆ u",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ↑↑μ (⋃ (x : ↑t0), closedBall (↑x) (r0 ↑x)) ≤ ↑↑μ u",
"tactic": "apply measure_mono"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∀ (x : α), x ∈ t0 → closedBall x (r0 x) ⊆ u",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ (⋃ (x : ↑t0), closedBall (↑x) (r0 ↑x)) ⊆ u",
"tactic": "simp only [SetCoe.forall, Subtype.coe_mk, iUnion_subset_iff]"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ closedBall x (r0 x) ⊆ u",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\n⊢ ∀ (x : α), x ∈ t0 → closedBall x (r0 x) ⊆ u",
"tactic": "intro x hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nx : α\nhx : x ∈ t0\n⊢ closedBall x (r0 x) ⊆ u",
"tactic": "apply Subset.trans (closedBall_subset_ball (hr0 x hx).2.2) (hR x (t0s hx)).2"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : InjOn Subtype.val (S i)\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = ∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = ∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "have : InjOn ((↑) : s' → α) (S i) := Subtype.val_injective.injOn _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : InjOn Subtype.val (S i)\nF : ↑(S i) ≃ ↑(Subtype.val '' S i) := BijOn.equiv Subtype.val (_ : BijOn Subtype.val (S i) (Subtype.val '' S i))\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = ∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : InjOn Subtype.val (S i)\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = ∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "let F : S i ≃ ((↑) : s' → α) '' S i := this.bijOn_image.equiv _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : InjOn Subtype.val (S i)\nF : ↑(S i) ≃ ↑(Subtype.val '' S i) := BijOn.equiv Subtype.val (_ : BijOn Subtype.val (S i) (Subtype.val '' S i))\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) = ∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))",
"tactic": "exact (F.tsum_eq fun x => μ (closedBall x (r x))).symm"
},
{
"state_after": "case e_f\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (fun x => ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) = fun x => ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) = ∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "congr 1"
},
{
"state_after": "case e_f.h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nx : ↑(S i)\n⊢ ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"state_before": "case e_f\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (fun x => ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))) = fun x => ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "ext x"
},
{
"state_after": "case e_f.h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nx : ↑(S i)\nthis : ↑↑x ∈ s'\n⊢ ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"state_before": "case e_f.h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nx : ↑(S i)\n⊢ ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "have : (x : α) ∈ s' := x.1.2"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case e_f.h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nx : ↑(S i)\nthis : ↑↑x ∈ s'\n⊢ ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r ↑↑x)) = ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "simp only [if_pos this]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : Encodable ↑(S i)\n⊢ (∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))) = ↑↑μ (⋃ (x : ↑(S i)), closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))) = ↑↑μ (⋃ (x : ↑(S i)), closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "haveI : Encodable (S i) := (S_count i).toEncodable"
},
{
"state_after": "case hn\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : Encodable ↑(S i)\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun x => closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))\n\ncase h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : Encodable ↑(S i)\n⊢ ∀ (i_1 : ↑(S i)), MeasurableSet (closedBall (↑↑i_1) (r1 ↑↑i_1))",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : Encodable ↑(S i)\n⊢ (∑' (x : ↑(S i)), ↑↑μ (closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))) = ↑↑μ (⋃ (x : ↑(S i)), closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "rw [measure_iUnion]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case hn\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : Encodable ↑(S i)\n⊢ Pairwise (Disjoint on fun x => closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x))",
"tactic": "exact (pairwise_subtype_iff_pairwise_set _ _).2 (S_disj i)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : Encodable ↑(S i)\n⊢ ∀ (i_1 : ↑(S i)), MeasurableSet (closedBall (↑↑i_1) (r1 ↑↑i_1))",
"tactic": "exact fun i => measurableSet_closedBall"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (⋃ (x : ↑(S i)), closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x)) ⊆ v",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ ↑↑μ (⋃ (x : ↑(S i)), closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x)) ≤ ↑↑μ v",
"tactic": "apply measure_mono"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ ∀ (x : α) (h : x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)),\n { val := x, property := h } ∈ S i → closedBall x (r1 x) ⊆ v",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ (⋃ (x : ↑(S i)), closedBall (↑↑x) (r1 ↑↑x)) ⊆ v",
"tactic": "simp only [SetCoe.forall, Subtype.coe_mk, iUnion_subset_iff]"
},
{
"state_after": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nx : α\nxs' : x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\nh✝ : { val := x, property := xs' } ∈ S i\n⊢ closedBall x (r1 x) ⊆ v",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ ∀ (x : α) (h : x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)),\n { val := x, property := h } ∈ S i → closedBall x (r1 x) ⊆ v",
"tactic": "intro x xs' _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h\nα : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nx : α\nxs' : x ∈ s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\nh✝ : { val := x, property := xs' } ∈ S i\n⊢ closedBall x (r1 x) ⊆ v",
"tactic": "exact (hr1 x xs').2"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : ↑↑μ s' = 0\n⊢ ↑↑μ v ≤ ε / 2 / ↑N",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\n⊢ ↑↑μ v ≤ ε / 2 / ↑N",
"tactic": "have : μ s' = 0 := μt0"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\ni : Fin N\nthis : ↑↑μ s' = 0\n⊢ ↑↑μ v ≤ ε / 2 / ↑N",
"tactic": "rwa [this, zero_add] at μv"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ (∑ i : Fin N, ∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ∑ i : Fin N, ε / 2 / ↑N",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ((∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) +\n ∑ i : Fin N, ∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤\n ↑↑μ s + ε / 2 + ∑ i : Fin N, ε / 2 / ↑N",
"tactic": "refine' add_le_add A _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ∀ (i : Fin N), i ∈ Finset.univ → (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ (∑ i : Fin N, ∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ∑ i : Fin N, ε / 2 / ↑N",
"tactic": "refine' Finset.sum_le_sum _"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\ni : Fin N\na✝ : i ∈ Finset.univ\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ∀ (i : Fin N), i ∈ Finset.univ → (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N",
"tactic": "intro i _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\ni : Fin N\na✝ : i ∈ Finset.univ\n⊢ (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N",
"tactic": "exact B i"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ∑ i : Fin N, ε / 2 / ↑N ≤ ε / 2",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ↑↑μ s + ε / 2 + ∑ i : Fin N, ε / 2 / ↑N ≤ ↑↑μ s + ε / 2 + ε / 2",
"tactic": "refine' add_le_add le_rfl _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ∑ i : Fin N, ε / 2 / ↑N ≤ ε / 2",
"tactic": "simp only [Finset.card_fin, Finset.sum_const, nsmul_eq_mul, ENNReal.mul_div_le]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝⁶ : MetricSpace α\nβ : Type u\ninst✝⁵ : SecondCountableTopology α\ninst✝⁴ : MeasurableSpace α\ninst✝³ : OpensMeasurableSpace α\ninst✝² : HasBesicovitchCovering α\nμ : MeasureTheory.Measure α\ninst✝¹ : SigmaFinite μ\ninst✝ : Measure.OuterRegular μ\nε : ℝ≥0∞\nhε : ε ≠ 0\nf : α → Set ℝ\ns : Set α\nhf : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (δ : ℝ), δ > 0 → Set.Nonempty (f x ∩ Ioo 0 δ)\nu : Set α\nsu : u ⊇ s\nu_open : IsOpen u\nμu : ↑↑μ u ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nR : α → ℝ\nhR : ∀ (x : α), x ∈ s → R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u\nt0 : Set α\nr0 : α → ℝ\nt0_count : Set.Countable t0\nt0s : t0 ⊆ s\nhr0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)\nμt0 : ↑↑μ (s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)) = 0\nt0_disj : PairwiseDisjoint t0 fun x => closedBall x (r0 x)\ns' : Set α := s \\ ⋃ (x : α) (_ : x ∈ t0), closedBall x (r0 x)\ns's : s' ⊆ s\nN : ℕ\nτ : ℝ\nhτ : 1 < τ\nH : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)\nv : Set α\ns'v : v ⊇ s'\nv_open : IsOpen v\nμv : ↑↑μ v ≤ ↑↑μ s' + ε / 2 / ↑N\nr1 : α → ℝ\nhr1 : ∀ (x : α), x ∈ s' → r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v\nq : BallPackage (↑s') α :=\n { c := fun x => ↑x, r := fun x => r1 ↑x, rpos := (_ : ∀ (x : ↑s'), 0 < r1 ↑x), r_bound := 1,\n r_le := (_ : ∀ (x : ↑s'), r1 ↑x ≤ 1) }\nS : Fin N → Set ↑s'\nS_disj : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint (S i) fun j => closedBall (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nhS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N) (j : ↑s') (_ : j ∈ S i), ball (BallPackage.c q j) (BallPackage.r q j)\nS_count : ∀ (i : Fin N), Set.Countable (S i)\nr : α → ℝ := fun x => if x ∈ s' then r1 x else r0 x\nr_t0 : ∀ (x : α), x ∈ t0 → r x = r0 x\nA : (∑' (x : ↑t0), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ↑↑μ s + ε / 2\nB : ∀ (i : Fin N), (∑' (x : ↑(Subtype.val '' S i)), ↑↑μ (closedBall (↑x) (r ↑x))) ≤ ε / 2 / ↑N\n⊢ ↑↑μ s + ε / 2 + ε / 2 = ↑↑μ s + ε",
"tactic": "rw [add_assoc, ENNReal.add_halves]"
}
] |
[
1085,
59
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
920,
1
] |
Mathlib/Data/Real/NNReal.lean
|
NNReal.iInf_const_zero
|
[
{
"state_after": "ι : Sort ?u.273037\nf : ι → ℝ≥0\nα : Sort u_1\n⊢ (⨅ (i : α), ↑0) = ↑0",
"state_before": "ι : Sort ?u.273037\nf : ι → ℝ≥0\nα : Sort u_1\n⊢ (⨅ (x : α), 0) = 0",
"tactic": "rw [← NNReal.coe_eq, coe_iInf]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Sort ?u.273037\nf : ι → ℝ≥0\nα : Sort u_1\n⊢ (⨅ (i : α), ↑0) = ↑0",
"tactic": "exact Real.ciInf_const_zero"
}
] |
[
950,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
948,
1
] |
Mathlib/Order/Lattice.lean
|
MonotoneOn.sup
|
[] |
[
1137,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1135,
11
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
|
hasFDerivAt_of_tendstoLocallyUniformlyOn
|
[
{
"state_after": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"state_before": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"tactic": "have h1 : s ∈ 𝓝 x := hs.mem_nhds hx"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\nh3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"state_before": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"tactic": "have h3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x := by simp only [h1, prod_mem_prod_iff, univ_mem, and_self_iff]"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\nh3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x\nh4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.fst) (f' n.fst n.snd) n.snd\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"state_before": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\nh3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"tactic": "have h4 : ∀ᶠ n : ι × E in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2 :=\n eventually_of_mem h3 fun ⟨n, z⟩ ⟨_, hz⟩ => hf n z hz"
},
{
"state_after": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\nh3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x\nh4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.fst) (f' n.fst n.snd) n.snd\n⊢ TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)",
"state_before": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\nh3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x\nh4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.fst) (f' n.fst n.snd) n.snd\n⊢ HasFDerivAt g (g' x) x",
"tactic": "refine' hasFDerivAt_of_tendstoUniformlyOnFilter _ h4 (eventually_of_mem h1 hfg)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\nh3 : Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x\nh4 : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.fst) (f' n.fst n.snd) n.snd\n⊢ TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)",
"tactic": "simpa [IsOpen.nhdsWithin_eq hs hx] using tendstoLocallyUniformlyOn_iff_filter.mp hf' x hx"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u_1\nl : Filter ι\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : NormedAddCommGroup E\n𝕜 : Type u_4\ninst✝⁴ : IsROrC 𝕜\ninst✝³ : NormedSpace 𝕜 E\nG : Type u_3\ninst✝² : NormedAddCommGroup G\ninst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G\nf : ι → E → G\ng : E → G\nf' : ι → E → E →L[𝕜] G\ng' : E → E →L[𝕜] G\nx : E\ninst✝ : NeBot l\ns : Set E\nhs : IsOpen s\nhf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s\nhf : ∀ (n : ι) (x : E), x ∈ s → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x\nhfg : ∀ (x : E), x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))\nhx : x ∈ s\nh1 : s ∈ 𝓝 x\n⊢ Set.univ ×ˢ s ∈ l ×ˢ 𝓝 x",
"tactic": "simp only [h1, prod_mem_prod_iff, univ_mem, and_self_iff]"
}
] |
[
410,
92
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
401,
1
] |
Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
|
FreeCommRing.isSupported_int
|
[
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nf : α → β\nx y : FreeCommRing α\ns✝ t : Set α\ni✝ : ℤ\ns : Set α\ni : ℕ\nhi : IsSupported (↑↑i) s\n⊢ IsSupported (↑↑i + 1) s",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nf : α → β\nx y : FreeCommRing α\ns✝ t : Set α\ni✝ : ℤ\ns : Set α\ni : ℕ\nhi : IsSupported (↑↑i) s\n⊢ IsSupported (↑(↑i + 1)) s",
"tactic": "rw [Int.cast_add, Int.cast_one]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nf : α → β\nx y : FreeCommRing α\ns✝ t : Set α\ni✝ : ℤ\ns : Set α\ni : ℕ\nhi : IsSupported (↑↑i) s\n⊢ IsSupported (↑↑i + 1) s",
"tactic": "exact isSupported_add hi isSupported_one"
},
{
"state_after": "α : Type u\nβ : Type v\nf : α → β\nx y : FreeCommRing α\ns✝ t : Set α\ni✝ : ℤ\ns : Set α\ni : ℕ\nhi : IsSupported (↑(-↑i)) s\n⊢ IsSupported (↑(-↑i) - 1) s",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nf : α → β\nx y : FreeCommRing α\ns✝ t : Set α\ni✝ : ℤ\ns : Set α\ni : ℕ\nhi : IsSupported (↑(-↑i)) s\n⊢ IsSupported (↑(-↑i - 1)) s",
"tactic": "rw [Int.cast_sub, Int.cast_one]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nf : α → β\nx y : FreeCommRing α\ns✝ t : Set α\ni✝ : ℤ\ns : Set α\ni : ℕ\nhi : IsSupported (↑(-↑i)) s\n⊢ IsSupported (↑(-↑i) - 1) s",
"tactic": "exact isSupported_sub hi isSupported_one"
}
] |
[
216,
93
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
213,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
|
Cardinal.nat_power_eq
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "c : Cardinal\nh : ℵ₀ ≤ c\nn : ℕ\nhn : 2 ≤ n\n⊢ 2 ≤ ↑n",
"tactic": "assumption_mod_cast"
}
] |
[
954,
79
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
952,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
|
Matrix.det_of_card_zero
|
[
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\n⊢ det M = 1",
"state_before": "R : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : Fintype.card n = 0\nM : Matrix n n R\n⊢ det M = 1",
"tactic": "rw [Fintype.card_eq_zero_iff] at h"
},
{
"state_after": "R : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\n⊢ M = 1",
"state_before": "R : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\n⊢ det M = 1",
"tactic": "suffices M = 1 by simp [this]"
},
{
"state_after": "case a.h\nR : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\ni x✝ : n\n⊢ M i x✝ = OfNat.ofNat 1 i x✝",
"state_before": "R : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\n⊢ M = 1",
"tactic": "ext i"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case a.h\nR : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\ni x✝ : n\n⊢ M i x✝ = OfNat.ofNat 1 i x✝",
"tactic": "exact h.elim i"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "R : Type u\ninst✝³ : CommRing R\nn G : Type v\ninst✝² : DecidableEq n\ninst✝¹ : Fintype n\nα β : Type v\ninst✝ : DecidableEq α\nM✝ : Matrix n n R\nh : IsEmpty n\nM : Matrix n n R\nthis : M = 1\n⊢ det M = 1",
"tactic": "simp [this]"
}
] |
[
98,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
94,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
|
MeasureTheory.FiniteMeasure.ennreal_coeFn_eq_coeFn_toMeasure
|
[] |
[
140,
50
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
138,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
|
Multiset.map_eq_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.121444\ns : Multiset α\nf : α → β\n⊢ map f s = 0 ↔ s = 0",
"tactic": "rw [← Multiset.card_eq_zero, Multiset.card_map, Multiset.card_eq_zero]"
}
] |
[
1239,
73
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1238,
1
] |
Mathlib/Algebra/Group/OrderSynonym.lean
|
toDual_mul
|
[] |
[
114,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
114,
1
] |
Mathlib/Algebra/Hom/Iterate.lean
|
SemiconjBy.function_semiconj_mul_left
|
[
{
"state_after": "M : Type ?u.84938\nN : Type ?u.84941\nG : Type u_1\nH : Type ?u.84947\ninst✝ : Semigroup G\na b c : G\nh : SemiconjBy a b c\nj : G\n⊢ a * (b * j) = c * (a * j)",
"state_before": "M : Type ?u.84938\nN : Type ?u.84941\nG : Type u_1\nH : Type ?u.84947\ninst✝ : Semigroup G\na b c : G\nh : SemiconjBy a b c\nj : G\n⊢ (fun x => a * x) ((fun x => b * x) j) = (fun x => c * x) ((fun x => a * x) j)",
"tactic": "dsimp only"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type ?u.84938\nN : Type ?u.84941\nG : Type u_1\nH : Type ?u.84947\ninst✝ : Semigroup G\na b c : G\nh : SemiconjBy a b c\nj : G\n⊢ a * (b * j) = c * (a * j)",
"tactic": "rw [← mul_assoc, h.eq, mul_assoc]"
}
] |
[
240,
48
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
238,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
|
MeasureTheory.set_integral_nonpos_ae
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.297148\nE : Type ?u.297151\nF : Type ?u.297154\ninst✝ : MeasurableSpace α\nμ : Measure α\nf : α → ℝ\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\nhf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ s → f a ≤ 0\n⊢ (fun a => f a) ≤ᵐ[Measure.restrict μ s] 0",
"tactic": "rwa [EventuallyLE, ae_restrict_iff' hs]"
}
] |
[
769,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
767,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
|
MeasureTheory.exists_le_lowerSemicontinuous_lintegral_ge
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"tactic": "rcases ENNReal.exists_pos_sum_of_countable' εpos ℕ with ⟨δ, δpos, hδ⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\nthis :\n ∀ (n : ℕ),\n ∃ g,\n (∀ (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g x) ∧\n LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"tactic": "have :\n ∀ n,\n ∃ g : α → ℝ≥0,\n (∀ x, SimpleFunc.eapproxDiff f n x ≤ g x) ∧\n LowerSemicontinuous g ∧\n (∫⁻ x, g x ∂μ) ≤ (∫⁻ x, SimpleFunc.eapproxDiff f n x ∂μ) + δ n :=\n fun n =>\n SimpleFunc.exists_le_lowerSemicontinuous_lintegral_ge μ (SimpleFunc.eapproxDiff f n)\n (δpos n).ne'"
},
{
"state_after": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\nthis :\n ∀ (n : ℕ),\n ∃ g,\n (∀ (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g x) ∧\n LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"tactic": "choose g f_le_g gcont hg using this"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nx : α\n⊢ f x ≤ (fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)) x\n\ncase intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ LowerSemicontinuous fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)\n\ncase intro.intro.refine'_3\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ (∫⁻ (x : α), (fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)) x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"state_before": "case intro.intro\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ∃ g, (∀ (x : α), f x ≤ g x) ∧ LowerSemicontinuous g ∧ (∫⁻ (x : α), g x ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"tactic": "refine' ⟨fun x => ∑' n, g n x, fun x => _, _, _⟩"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nx : α\n⊢ (∑' (n : ℕ), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x)) ≤ (fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)) x",
"state_before": "case intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nx : α\n⊢ f x ≤ (fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)) x",
"tactic": "rw [← SimpleFunc.tsum_eapproxDiff f hf]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nx : α\n⊢ (∑' (n : ℕ), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x)) ≤ (fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)) x",
"tactic": "exact ENNReal.tsum_le_tsum fun n => ENNReal.coe_le_coe.2 (f_le_g n x)"
},
{
"state_after": "case intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nn : ℕ\n⊢ LowerSemicontinuous fun x => ↑(g n x)",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ LowerSemicontinuous fun x => ∑' (n : ℕ), ↑(g n x)",
"tactic": "refine' lowerSemicontinuous_tsum fun n => _"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nn : ℕ\n⊢ LowerSemicontinuous fun x => ↑(g n x)",
"tactic": "exact\n ENNReal.continuous_coe.comp_lowerSemicontinuous (gcont n) fun x y hxy =>\n ENNReal.coe_le_coe.2 hxy"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ (∫⁻ (x : α), ∑' (n : ℕ), ↑(g n x) ∂μ) = ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ",
"tactic": "rw [lintegral_tsum fun n => (gcont n).measurable.coe_nnreal_ennreal.aemeasurable]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ (∑' (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ((∑' (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + ∑' (n : ℕ), δ n) ≤ (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) + ε",
"tactic": "refine' add_le_add _ hδ.le"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ℕ), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f i) a) ∂μ) ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ\n\nα : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable fun x => ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f i) x)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ (∑' (n : ℕ), ∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ",
"tactic": "rw [← lintegral_tsum]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ℕ), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f i) a) ∂μ) ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ",
"tactic": "simp_rw [SimpleFunc.tsum_eapproxDiff f hf, le_refl]"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nn : ℕ\n⊢ AEMeasurable fun x => ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x)",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\n⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable fun x => ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f i) x)",
"tactic": "intro n"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : BorelSpace α\nμ : Measure α\ninst✝ : WeaklyRegular μ\nf : α → ℝ≥0∞\nhf : Measurable f\nε : ℝ≥0∞\nεpos : ε ≠ 0\nδ : ℕ → ℝ≥0∞\nδpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i\nhδ : (∑' (i : ℕ), δ i) < ε\ng : ℕ → α → ℝ≥0\nf_le_g : ∀ (n : ℕ) (x : α), ↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x ≤ g n x\ngcont : ∀ (n : ℕ), LowerSemicontinuous (g n)\nhg : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑(g n x) ∂μ) ≤ (∫⁻ (x : α), ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x) ∂μ) + δ n\nn : ℕ\n⊢ AEMeasurable fun x => ↑(↑(SimpleFunc.eapproxDiff f n) x)",
"tactic": "exact (SimpleFunc.measurable _).coe_nnreal_ennreal.aemeasurable"
}
] |
[
200,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
169,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Sum.lean
|
Finset.disjSum_mono_left
|
[] |
[
90,
43
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
89,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
|
MeasureTheory.ae_of_ae_restrict_of_ae_restrict_compl
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.576854\nγ : Type ?u.576857\nδ : Type ?u.576860\nι : Type ?u.576863\nR : Type ?u.576866\nR' : Type ?u.576869\nm0 : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ninst✝ : MeasurableSpace γ\nμ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α\ns s' t✝ t : Set α\np : α → Prop\nht : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, p x\nhtc : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (tᶜ), p x\n⊢ ↑↑μ {x | ¬p x} = ↑↑μ ({x | ¬p x} ∩ t ∪ {x | ¬p x} ∩ tᶜ)",
"tactic": "rw [← inter_union_distrib_left, union_compl_self, inter_univ]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.576854\nγ : Type ?u.576857\nδ : Type ?u.576860\nι : Type ?u.576863\nR : Type ?u.576866\nR' : Type ?u.576869\nm0 : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ninst✝ : MeasurableSpace γ\nμ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α\ns s' t✝ t : Set α\np : α → Prop\nht : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ t, p x\nhtc : ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.restrict μ (tᶜ), p x\n⊢ ↑↑(Measure.restrict μ t) {x | ¬p x} + ↑↑(Measure.restrict μ (tᶜ)) {x | ¬p x} = 0",
"tactic": "rw [ae_iff.1 ht, ae_iff.1 htc, zero_add]"
}
] |
[
2857,
59
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2848,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
|
Filter.sequence_mono
|
[] |
[
2786,
86
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2784,
1
] |
Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
|
FormalMultilinearSeries.norm_mul_pow_le_of_lt_radius
|
[] |
[
252,
98
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
249,
1
] |
Mathlib/Data/List/Destutter.lean
|
List.destutter'_singleton
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nl : List α\nR : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel R\na b : α\n⊢ destutter' R a [b] = if R a b then [a, b] else [a]",
"tactic": "split_ifs with h <;> simp! [h]"
}
] |
[
64,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
63,
1
] |
Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
|
BoxIntegral.Prepartition.iUnion_def'
|
[] |
[
219,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
219,
1
] |
Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
|
Multiset.add_product
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.59441\nδ : Type ?u.59444\na : α\nb : β\ns✝ : Multiset α\nt✝ : Multiset β\ns t : Multiset α\nu : Multiset β\n⊢ (s + t) ×ˢ u = s ×ˢ u + t ×ˢ u",
"tactic": "simp [SProd.sprod, product]"
}
] |
[
280,
30
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
279,
1
] |
Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
|
Fintype.card_compl_eq_card_compl
|
[
{
"state_after": "case intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.59809\nγ : Type ?u.59812\ninst✝⁴ : Finite α\np q : α → Prop\ninst✝³ : Fintype { x // p x }\ninst✝² : Fintype { x // ¬p x }\ninst✝¹ : Fintype { x // q x }\ninst✝ : Fintype { x // ¬q x }\nh : card { x // p x } = card { x // q x }\nval✝ : Fintype α\n⊢ card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.59809\nγ : Type ?u.59812\ninst✝⁴ : Finite α\np q : α → Prop\ninst✝³ : Fintype { x // p x }\ninst✝² : Fintype { x // ¬p x }\ninst✝¹ : Fintype { x // q x }\ninst✝ : Fintype { x // ¬q x }\nh : card { x // p x } = card { x // q x }\n⊢ card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }",
"tactic": "cases nonempty_fintype α"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.59809\nγ : Type ?u.59812\ninst✝⁴ : Finite α\np q : α → Prop\ninst✝³ : Fintype { x // p x }\ninst✝² : Fintype { x // ¬p x }\ninst✝¹ : Fintype { x // q x }\ninst✝ : Fintype { x // ¬q x }\nh : card { x // p x } = card { x // q x }\nval✝ : Fintype α\n⊢ card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }",
"tactic": "simp only [Fintype.card_subtype_compl, h]"
}
] |
[
871,
44
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
866,
1
] |
Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
|
Subalgebra.inclusion_right
|
[] |
[
1062,
18
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1060,
1
] |
Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
|
LowerSet.prod_le_prod_iff
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type ?u.187458\nι : Sort ?u.187461\nκ : ι → Sort ?u.187466\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\ns s₁ s₂ : LowerSet α\nt t₁ t₂ : LowerSet β\nx : α × β\n⊢ ↑s₁ ⊆ ↑s₂ ∧ ↑t₁ ⊆ ↑t₂ ∨ ↑s₁ = ∅ ∨ ↑t₁ = ∅ ↔ s₁ ≤ s₂ ∧ t₁ ≤ t₂ ∨ s₁ = ⊥ ∨ t₁ = ⊥",
"tactic": "simp"
}
] |
[
1732,
40
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1731,
1
] |
Mathlib/Algebra/Star/StarAlgHom.lean
|
StarAlgEquiv.symm_trans_apply
|
[] |
[
903,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
901,
1
] |
Mathlib/Data/List/BigOperators/Basic.lean
|
List.prod_replicate
|
[
{
"state_after": "case zero\nι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ a : M\n⊢ prod (replicate Nat.zero a) = a ^ Nat.zero\n\ncase succ\nι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ a : M\nn : ℕ\nih : prod (replicate n a) = a ^ n\n⊢ prod (replicate (Nat.succ n) a) = a ^ Nat.succ n",
"state_before": "ι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ : M\nn : ℕ\na : M\n⊢ prod (replicate n a) = a ^ n",
"tactic": "induction' n with n ih"
},
{
"state_after": "case zero\nι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ a : M\n⊢ prod (replicate Nat.zero a) = 1",
"state_before": "case zero\nι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ a : M\n⊢ prod (replicate Nat.zero a) = a ^ Nat.zero",
"tactic": "rw [pow_zero]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case zero\nι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ a : M\n⊢ prod (replicate Nat.zero a) = 1",
"tactic": "rfl"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case succ\nι : Type ?u.13701\nα : Type ?u.13704\nM : Type u_1\nN : Type ?u.13710\nP : Type ?u.13713\nM₀ : Type ?u.13716\nG : Type ?u.13719\nR : Type ?u.13722\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : Monoid N\ninst✝ : Monoid P\nl l₁ l₂ : List M\na✝ a : M\nn : ℕ\nih : prod (replicate n a) = a ^ n\n⊢ prod (replicate (Nat.succ n) a) = a ^ Nat.succ n",
"tactic": "rw [replicate_succ, prod_cons, ih, pow_succ]"
}
] |
[
84,
49
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
80,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
|
exists_mem_Ico_zpow
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < y\n⊢ ∃ n, x ∈ Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))",
"tactic": "classical exact\n let ⟨N, hN⟩ := pow_unbounded_of_one_lt x⁻¹ hy\n have he : ∃ m : ℤ, y ^ m ≤ x :=\n ⟨-N,\n le_of_lt\n (by\n rw [zpow_neg y ↑N, zpow_ofNat]\n exact (inv_lt hx (lt_trans (inv_pos.2 hx) hN)).1 hN)⟩\n let ⟨M, hM⟩ := pow_unbounded_of_one_lt x hy\n have hb : ∃ b : ℤ, ∀ m, y ^ m ≤ x → m ≤ b :=\n ⟨M, fun m hm =>\n le_of_not_lt fun hlt =>\n not_lt_of_ge (zpow_le_of_le hy.le hlt.le)\n (lt_of_le_of_lt hm (by rwa [← zpow_ofNat] at hM))⟩\n let ⟨n, hn₁, hn₂⟩ := Int.exists_greatest_of_bdd hb he\n ⟨n, hn₁, lt_of_not_ge fun hge => not_le_of_gt (Int.lt_succ _) (hn₂ _ hge)⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < y\n⊢ ∃ n, x ∈ Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))",
"tactic": "exact\nlet ⟨N, hN⟩ := pow_unbounded_of_one_lt x⁻¹ hy\nhave he : ∃ m : ℤ, y ^ m ≤ x :=\n⟨-N,\nle_of_lt\n(by\n rw [zpow_neg y ↑N, zpow_ofNat]\n exact (inv_lt hx (lt_trans (inv_pos.2 hx) hN)).1 hN)⟩\nlet ⟨M, hM⟩ := pow_unbounded_of_one_lt x hy\nhave hb : ∃ b : ℤ, ∀ m, y ^ m ≤ x → m ≤ b :=\n⟨M, fun m hm =>\nle_of_not_lt fun hlt =>\nnot_lt_of_ge (zpow_le_of_le hy.le hlt.le)\n (lt_of_le_of_lt hm (by rwa [← zpow_ofNat] at hM))⟩\nlet ⟨n, hn₁, hn₂⟩ := Int.exists_greatest_of_bdd hb he\n⟨n, hn₁, lt_of_not_ge fun hge => not_le_of_gt (Int.lt_succ _) (hn₂ _ hge)⟩"
},
{
"state_after": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < y\nN : ℕ\nhN : x⁻¹ < y ^ N\n⊢ (y ^ N)⁻¹ < x",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < y\nN : ℕ\nhN : x⁻¹ < y ^ N\n⊢ y ^ (-↑N) < x",
"tactic": "rw [zpow_neg y ↑N, zpow_ofNat]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < y\nN : ℕ\nhN : x⁻¹ < y ^ N\n⊢ (y ^ N)⁻¹ < x",
"tactic": "exact (inv_lt hx (lt_trans (inv_pos.2 hx) hN)).1 hN"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\ninst✝ : Archimedean α\nx y ε : α\nhx : 0 < x\nhy : 1 < y\nN : ℕ\nhN : x⁻¹ < y ^ N\nhe : ∃ m, y ^ m ≤ x\nM : ℕ\nhM : x < y ^ M\nm : ℤ\nhm : y ^ m ≤ x\nhlt : ↑M < m\n⊢ x < y ^ ↑M",
"tactic": "rwa [← zpow_ofNat] at hM"
}
] |
[
218,
81
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
202,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
|
Finset.Nat.antidiagonal_succ_succ'
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : ℕ\n⊢ ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : ℕ\n⊢ ¬(0, n + 2) ∈\n cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))",
"tactic": "simp"
},
{
"state_after": "n : ℕ\n⊢ cons (0, n + 1 + 1)\n (cons\n (↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0))\n (map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ) { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n)))\n (_ :\n ¬(0, n + 1 + 1) ∈\n cons\n (↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0))\n (map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n))) =\n cons (0, n + 2)\n (cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)))\n (_ :\n ¬(0, n + 2) ∈\n cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)))",
"state_before": "n : ℕ\n⊢ antidiagonal (n + 2) =\n cons (0, n + 2)\n (cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)))\n (_ :\n ¬(0, n + 2) ∈\n cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)))",
"tactic": "simp_rw [antidiagonal_succ (n + 1), antidiagonal_succ', Finset.map_cons, map_map]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "n : ℕ\n⊢ cons (0, n + 1 + 1)\n (cons\n (↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0))\n (map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ) { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n)))\n (_ :\n ¬(0, n + 1 + 1) ∈\n cons\n (↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0))\n (map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬↑(Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ))\n (n + 1, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.trans\n (Function.Embedding.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n (Function.Embedding.refl ℕ)))\n (antidiagonal n))) =\n cons (0, n + 2)\n (cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)))\n (_ :\n ¬(0, n + 2) ∈\n cons (n + 2, 0)\n (map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n))\n (_ :\n ¬(n + 2, 0) ∈\n map\n (Function.Embedding.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }\n { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })\n (antidiagonal n)))",
"tactic": "rfl"
}
] |
[
85,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
75,
1
] |
Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
|
Finset.card_mul_singleton
|
[] |
[
1912,
56
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1911,
1
] |
Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
|
norm_mk_eq_zero
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "M : Type u_1\nN : Type ?u.361198\ninst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M\ninst✝ : SeminormedAddCommGroup N\nS : AddSubgroup M\nhS : IsClosed ↑S\nm : M\nh : ‖↑(mk' S) m‖ = 0\n⊢ m ∈ S",
"tactic": "rwa [quotient_norm_eq_zero_iff, hS.closure_eq] at h"
}
] |
[
229,
90
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
228,
1
] |
Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
|
Fintype.linearIndependent_iff'
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type u'\nι' : Type ?u.36281\nR : Type u_1\nK : Type ?u.36287\nM : Type u_2\nM' : Type ?u.36293\nM'' : Type ?u.36296\nV : Type u\nV' : Type ?u.36301\nv : ι → M\ninst✝⁷ : Semiring R\ninst✝⁶ : AddCommMonoid M\ninst✝⁵ : AddCommMonoid M'\ninst✝⁴ : AddCommMonoid M''\ninst✝³ : Module R M\ninst✝² : Module R M'\ninst✝¹ : Module R M''\na b : R\nx y : M\ninst✝ : Fintype ι\n⊢ LinearIndependent R v ↔\n LinearMap.ker (↑(LinearMap.lsum R (fun x => R) ℕ) fun i => LinearMap.smulRight LinearMap.id (v i)) = ⊥",
"tactic": "simp [Fintype.linearIndependent_iff, LinearMap.ker_eq_bot', funext_iff]"
}
] |
[
169,
77
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
166,
1
] |
Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
|
iSup_sup
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_2\nβ : Type ?u.101691\nβ₂ : Type ?u.101694\nγ : Type ?u.101697\nι : Sort u_1\nι' : Sort ?u.101703\nκ : ι → Sort ?u.101708\nκ' : ι' → Sort ?u.101713\ninst✝¹ : CompleteLattice α\nf✝ g s t : ι → α\na✝ b : α\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → α\na : α\n⊢ (⨆ (x : ι), f x) ⊔ a = ⨆ (x : ι), f x ⊔ a",
"tactic": "rw [iSup_sup_eq, iSup_const]"
}
] |
[
1250,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1249,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Basic.lean
|
Subgroup.map_one_eq_bot
|
[
{
"state_after": "case intro.intro\nG : Type u_2\nG' : Type ?u.252260\ninst✝⁴ : Group G\ninst✝³ : Group G'\nA : Type ?u.252269\ninst✝² : AddGroup A\nH K : Subgroup G\nk : Set G\nN : Type u_1\ninst✝¹ : Group N\nP : Type ?u.252296\ninst✝ : Group P\ny : G\nleft✝ : y ∈ ↑K\n⊢ ↑1 y ∈ ⊥",
"state_before": "G : Type u_2\nG' : Type ?u.252260\ninst✝⁴ : Group G\ninst✝³ : Group G'\nA : Type ?u.252269\ninst✝² : AddGroup A\nH K : Subgroup G\nk : Set G\nN : Type u_1\ninst✝¹ : Group N\nP : Type ?u.252296\ninst✝ : Group P\n⊢ map 1 K ≤ ⊥",
"tactic": "rintro x ⟨y, _, rfl⟩"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case intro.intro\nG : Type u_2\nG' : Type ?u.252260\ninst✝⁴ : Group G\ninst✝³ : Group G'\nA : Type ?u.252269\ninst✝² : AddGroup A\nH K : Subgroup G\nk : Set G\nN : Type u_1\ninst✝¹ : Group N\nP : Type ?u.252296\ninst✝ : Group P\ny : G\nleft✝ : y ∈ ↑K\n⊢ ↑1 y ∈ ⊥",
"tactic": "simp"
}
] |
[
1452,
9
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1449,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
|
not_small_ordinal
|
[] |
[
2142,
82
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2141,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
|
Measurable.comp_aemeasurable
|
[] |
[
728,
79
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
726,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
|
Ultrafilter.mem_comap
|
[] |
[
256,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
254,
1
] |
Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
|
IsLowerSet.inv
|
[] |
[
99,
95
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
99,
1
] |
Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
|
UpperSet.Ici_iSup₂
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nβ : Type ?u.115994\nγ : Type ?u.115997\nι : Sort u_2\nκ : ι → Sort u_3\ninst✝ : CompleteLattice α\nf : (i : ι) → κ i → α\n⊢ Ici (⨆ (i : ι) (j : κ i), f i j) = ⨆ (i : ι) (j : κ i), Ici (f i j)",
"tactic": "simp_rw [Ici_iSup]"
}
] |
[
1154,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1153,
1
] |
Mathlib/Algebra/Ring/Equiv.lean
|
RingEquiv.map_neg_one
|
[] |
[
584,
26
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
583,
1
] |
Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
|
Ordnode.Sized.induction
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nt : Ordnode α\nhl : Sized t\nC : Ordnode α → Prop\nH0 : C nil\nH1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (Ordnode.node' l x r)\n⊢ C t",
"tactic": "induction t with\n| nil => exact H0\n| node _ _ _ _ t_ih_l t_ih_r =>\n rw [hl.eq_node']\n exact H1 _ _ _ (t_ih_l hl.2.1) (t_ih_r hl.2.2)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case nil\nα : Type u_1\nC : Ordnode α → Prop\nH0 : C nil\nH1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (Ordnode.node' l x r)\nhl : Sized nil\n⊢ C nil",
"tactic": "exact H0"
},
{
"state_after": "case node\nα : Type u_1\nC : Ordnode α → Prop\nH0 : C nil\nH1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (Ordnode.node' l x r)\nsize✝ : ℕ\nl✝ : Ordnode α\nx✝ : α\nr✝ : Ordnode α\nt_ih_l : Sized l✝ → C l✝\nt_ih_r : Sized r✝ → C r✝\nhl : Sized (node size✝ l✝ x✝ r✝)\n⊢ C (Ordnode.node' l✝ x✝ r✝)",
"state_before": "case node\nα : Type u_1\nC : Ordnode α → Prop\nH0 : C nil\nH1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (Ordnode.node' l x r)\nsize✝ : ℕ\nl✝ : Ordnode α\nx✝ : α\nr✝ : Ordnode α\nt_ih_l : Sized l✝ → C l✝\nt_ih_r : Sized r✝ → C r✝\nhl : Sized (node size✝ l✝ x✝ r✝)\n⊢ C (node size✝ l✝ x✝ r✝)",
"tactic": "rw [hl.eq_node']"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case node\nα : Type u_1\nC : Ordnode α → Prop\nH0 : C nil\nH1 : ∀ (l : Ordnode α) (x : α) (r : Ordnode α), C l → C r → C (Ordnode.node' l x r)\nsize✝ : ℕ\nl✝ : Ordnode α\nx✝ : α\nr✝ : Ordnode α\nt_ih_l : Sized l✝ → C l✝\nt_ih_r : Sized r✝ → C r✝\nhl : Sized (node size✝ l✝ x✝ r✝)\n⊢ C (Ordnode.node' l✝ x✝ r✝)",
"tactic": "exact H1 _ _ _ (t_ih_l hl.2.1) (t_ih_r hl.2.2)"
}
] |
[
132,
51
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
126,
1
] |
Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
|
Matrix.star_apply
|
[] |
[
2348,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
2347,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
|
intervalIntegral.norm_integral_le_integral_norm_Ioc
|
[] |
[
546,
67
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
543,
1
] |
Mathlib/Algebra/Module/LinearMap.lean
|
LinearMap.map_eq_zero_iff
|
[] |
[
351,
29
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
350,
1
] |
Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
|
MeasureTheory.FiniteMeasure.coeFn_smul_apply
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "Ω : Type u_2\ninst✝⁵ : MeasurableSpace Ω\nR : Type u_1\ninst✝⁴ : SMul R ℝ≥0\ninst✝³ : SMul R ℝ≥0∞\ninst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞\ninst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞\ninst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0\nc : R\nμ : FiniteMeasure Ω\ns : Set Ω\n⊢ (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑(c • μ) s)) s = c • (fun s => ENNReal.toNNReal (↑↑↑μ s)) s",
"tactic": "rw [coeFn_smul, Pi.smul_apply]"
}
] |
[
270,
33
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
268,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
|
Filter.eventually_bot
|
[] |
[
1204,
5
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1203,
1
] |
Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
|
Nat.Partrec.Code.evaln_bound
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "c : Code\nn x : ℕ\nh : x ∈ evaln 0 c n\n⊢ n < 0",
"tactic": "simp [evaln] at h"
},
{
"state_after": "k : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\n⊢ ∀ {o : Option ℕ},\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o) →\n n < k + 1",
"state_before": "k : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\n⊢ n < k + 1",
"tactic": "suffices ∀ {o : Option ℕ}, x ∈ do { guard (n ≤ k); o } → n < k + 1 by\n cases c <;> rw [evaln] at h <;> exact this h"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "k : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\n⊢ ∀ {o : Option ℕ},\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o) →\n n < k + 1",
"tactic": "simpa [Bind.bind] using Nat.lt_succ_of_le"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "k : ℕ\nc : Code\nn x : ℕ\nh : x ∈ evaln (k + 1) c n\nthis :\n ∀ {o : Option ℕ},\n (x ∈ do\n guard (n ≤ k)\n o) →\n n < k + 1\n⊢ n < k + 1",
"tactic": "cases c <;> rw [evaln] at h <;> exact this h"
}
] |
[
783,
46
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
778,
1
] |
Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousAffineMap.lean
|
ContinuousAffineMap.toFun_eq_coe
|
[] |
[
75,
59
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
75,
1
] |
Mathlib/Data/List/Basic.lean
|
List.getLast?_cons_cons
|
[] |
[
773,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
772,
1
] |
Mathlib/Data/Dfinsupp/Basic.lean
|
Dfinsupp.single_eq_single_iff
|
[
{
"state_after": "case mp\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\n⊢ single i xi = single j xj → i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0\n\ncase mpr\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0 → single i xi = single j xj",
"state_before": "ι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\n⊢ single i xi = single j xj ↔ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "case mp\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case mp\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\n⊢ single i xi = single j xj → i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "intro h"
},
{
"state_after": "case pos\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : i = j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0\n\ncase neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case mp\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "by_cases hij : i = j"
},
{
"state_after": "case pos\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i : ι\nxi xj : β i\nh : single i xi = single i xj\n⊢ i = i ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case pos\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : i = j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "subst hij"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i : ι\nxi xj : β i\nh : single i xi = single i xj\n⊢ i = i ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "exact Or.inl ⟨rfl, heq_of_eq (Dfinsupp.single_injective h)⟩"
},
{
"state_after": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "have h_coe : ⇑(Dfinsupp.single i xi) = Dfinsupp.single j xj := congr_arg (⇑) h"
},
{
"state_after": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : ↑(single i xi) i = ↑(single j xj) i\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "have hci := congr_fun h_coe i"
},
{
"state_after": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : ↑(single i xi) i = ↑(single j xj) i\nhcj : ↑(single i xi) j = ↑(single j xj) j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : ↑(single i xi) i = ↑(single j xj) i\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "have hcj := congr_fun h_coe j"
},
{
"state_after": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : xi = ↑(single j xj) i\nhcj : ↑(single i xi) j = xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : ↑(single i xi) i = ↑(single j xj) i\nhcj : ↑(single i xi) j = ↑(single j xj) j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "rw [Dfinsupp.single_eq_same] at hci hcj"
},
{
"state_after": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : xi = 0\nhcj : ↑(single i xi) j = xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : xi = ↑(single j xj) i\nhcj : ↑(single i xi) j = xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "rw [Dfinsupp.single_eq_of_ne (Ne.symm hij)] at hci"
},
{
"state_after": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : xi = 0\nhcj : 0 = xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : xi = 0\nhcj : ↑(single i xi) j = xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "rw [Dfinsupp.single_eq_of_ne hij] at hcj"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nh : single i xi = single j xj\nhij : ¬i = j\nh_coe : ↑(single i xi) = ↑(single j xj)\nhci : xi = 0\nhcj : 0 = xj\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0",
"tactic": "exact Or.inr ⟨hci, hcj.symm⟩"
},
{
"state_after": "case mpr.inl.intro\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i : ι\nxi xj : β i\nhxi : HEq xi xj\n⊢ single i xi = single i xj\n\ncase mpr.inr.intro\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nhi : xi = 0\nhj : xj = 0\n⊢ single i xi = single j xj",
"state_before": "case mpr\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\n⊢ i = j ∧ HEq xi xj ∨ xi = 0 ∧ xj = 0 → single i xi = single j xj",
"tactic": "rintro (⟨rfl, hxi⟩ | ⟨hi, hj⟩)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.inl.intro\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i : ι\nxi xj : β i\nhxi : HEq xi xj\n⊢ single i xi = single i xj",
"tactic": "rw [eq_of_heq hxi]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case mpr.inr.intro\nι : Type u\nγ : Type w\nβ : ι → Type v\nβ₁ : ι → Type v₁\nβ₂ : ι → Type v₂\ndec : DecidableEq ι\ninst✝ : (i : ι) → Zero (β i)\ns : Finset ι\nx : (i : ↑↑s) → β ↑i\ni✝ i j : ι\nxi : β i\nxj : β j\nhi : xi = 0\nhj : xj = 0\n⊢ single i xi = single j xj",
"tactic": "rw [hi, hj, Dfinsupp.single_zero, Dfinsupp.single_zero]"
}
] |
[
682,
62
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
666,
1
] |
Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
|
TopCat.prodIsoProd_hom_apply
|
[
{
"state_after": "case h₁\nJ : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nX Y : TopCat\nx : ↑(X ⨯ Y)\n⊢ ((forget TopCat).map (prodIsoProd X Y).hom x).fst =\n ((forget TopCat).map prod.fst x, (forget TopCat).map prod.snd x).fst\n\ncase h₂\nJ : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nX Y : TopCat\nx : ↑(X ⨯ Y)\n⊢ ((forget TopCat).map (prodIsoProd X Y).hom x).snd =\n ((forget TopCat).map prod.fst x, (forget TopCat).map prod.snd x).snd",
"state_before": "J : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nX Y : TopCat\nx : ↑(X ⨯ Y)\n⊢ (forget TopCat).map (prodIsoProd X Y).hom x = ((forget TopCat).map prod.fst x, (forget TopCat).map prod.snd x)",
"tactic": "apply Prod.ext"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h₁\nJ : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nX Y : TopCat\nx : ↑(X ⨯ Y)\n⊢ ((forget TopCat).map (prodIsoProd X Y).hom x).fst =\n ((forget TopCat).map prod.fst x, (forget TopCat).map prod.snd x).fst",
"tactic": "exact ConcreteCategory.congr_hom (prodIsoProd_hom_fst X Y) x"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case h₂\nJ : Type v\ninst✝ : SmallCategory J\nX Y : TopCat\nx : ↑(X ⨯ Y)\n⊢ ((forget TopCat).map (prodIsoProd X Y).hom x).snd =\n ((forget TopCat).map prod.fst x, (forget TopCat).map prod.snd x).snd",
"tactic": "exact ConcreteCategory.congr_hom (prodIsoProd_hom_snd X Y) x"
}
] |
[
227,
65
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
221,
1
] |
Mathlib/Data/Nat/Basic.lean
|
Nat.exists_eq_add_of_le'
|
[] |
[
290,
39
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
289,
1
] |
Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
|
Setoid.ker_eq_lift_of_injective
|
[] |
[
323,
6
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
318,
1
] |
Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
|
Real.sin_arccos
|
[
{
"state_after": "case pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)\n\ncase neg\nx : ℝ\nhx₁ : ¬-1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"state_before": "x : ℝ\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "by_cases hx₁ : -1 ≤ x"
},
{
"state_after": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : ¬-1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)\n\ncase pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"state_before": "case pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)\n\ncase neg\nx : ℝ\nhx₁ : ¬-1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "swap"
},
{
"state_after": "case pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)\n\ncase neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : ¬x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"state_before": "case pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "by_cases hx₂ : x ≤ 1"
},
{
"state_after": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : ¬x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)\n\ncase pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"state_before": "case pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)\n\ncase neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : ¬x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "swap"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case pos\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "rw [arccos_eq_pi_div_two_sub_arcsin, sin_pi_div_two_sub, cos_arcsin]"
},
{
"state_after": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : x < -1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"state_before": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : ¬-1 ≤ x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "rw [not_le] at hx₁"
},
{
"state_after": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : x < -1\n⊢ 1 - x ^ 2 ≤ 0",
"state_before": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : x < -1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "rw [arccos_of_le_neg_one hx₁.le, sin_pi, sqrt_eq_zero_of_nonpos]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : x < -1\n⊢ 1 - x ^ 2 ≤ 0",
"tactic": "nlinarith"
},
{
"state_after": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : 1 < x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"state_before": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : ¬x ≤ 1\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "rw [not_le] at hx₂"
},
{
"state_after": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : 1 < x\n⊢ 1 - x ^ 2 ≤ 0",
"state_before": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : 1 < x\n⊢ sin (arccos x) = sqrt (1 - x ^ 2)",
"tactic": "rw [arccos_of_one_le hx₂.le, sin_zero, sqrt_eq_zero_of_nonpos]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case neg\nx : ℝ\nhx₁ : -1 ≤ x\nhx₂ : 1 < x\n⊢ 1 - x ^ 2 ≤ 0",
"tactic": "nlinarith"
}
] |
[
429,
71
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
420,
1
] |
Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
|
Filter.Iic_pure
|
[] |
[
431,
21
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
430,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
|
zpow_eq_mod_card
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "G : Type u\nA : Type v\nx y : G\na b : A\nn✝ m : ℕ\ninst✝² : Group G\ninst✝¹ : AddGroup A\ninst✝ : Fintype G\nn : ℤ\n⊢ x ^ n = x ^ (n % ↑(Fintype.card G))",
"tactic": "rw [zpow_eq_mod_orderOf, ← Int.emod_emod_of_dvd n (Int.coe_nat_dvd.2 orderOf_dvd_card_univ), ←\n zpow_eq_mod_orderOf]"
}
] |
[
961,
25
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
959,
1
] |
Mathlib/GroupTheory/FreeGroup.lean
|
FreeGroup.reduce.red
|
[
{
"state_after": "case nil\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\n⊢ Red [] (reduce [])\n\ncase cons\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nih : Red tl1 (reduce tl1)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (reduce (hd1 :: tl1))",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\n⊢ Red L (reduce L)",
"tactic": "induction' L with hd1 tl1 ih"
},
{
"state_after": "case cons\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nih : Red tl1 (reduce tl1)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (reduce (hd1 :: tl1))",
"state_before": "case nil\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\n⊢ Red [] (reduce [])\n\ncase cons\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nih : Red tl1 (reduce tl1)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (reduce (hd1 :: tl1))",
"tactic": "case nil => constructor"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\n⊢ Red [] (reduce [])",
"tactic": "constructor"
},
{
"state_after": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nih : Red tl1 (reduce tl1)\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (reduce tl1))",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nih : Red tl1 (reduce tl1)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (reduce (hd1 :: tl1))",
"tactic": "dsimp"
},
{
"state_after": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\n⊢ Red tl1 (reduce tl1) →\n Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (reduce tl1))",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nih : Red tl1 (reduce tl1)\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (reduce tl1))",
"tactic": "revert ih"
},
{
"state_after": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 TL : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = TL\n⊢ Red tl1 TL →\n Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) TL)",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\n⊢ Red tl1 (reduce tl1) →\n Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (reduce tl1))",
"tactic": "generalize htl : reduce tl1 = TL"
},
{
"state_after": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 TL : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = TL\nih : Red tl1 TL\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) TL)",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 TL : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = TL\n⊢ Red tl1 TL →\n Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) TL)",
"tactic": "intro ih"
},
{
"state_after": "case nil\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = []\nih : Red tl1 []\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) [])\n\ncase cons\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (hd2 :: tl2))",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 TL : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = TL\nih : Red tl1 TL\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) TL)",
"tactic": "cases' TL with hd2 tl2"
},
{
"state_after": "case cons\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (hd2 :: tl2))",
"state_before": "case nil\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = []\nih : Red tl1 []\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) [])\n\ncase cons\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (hd2 :: tl2))",
"tactic": "case nil => exact Red.cons_cons ih"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = []\nih : Red tl1 []\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail) [])",
"tactic": "exact Red.cons_cons ih"
},
{
"state_after": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (if hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd then tl2 else hd1 :: hd2 :: tl2)",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\n⊢ Red (hd1 :: tl1)\n (List.rec [hd1]\n (fun head tail tail_ih => if hd1.fst = head.fst ∧ hd1.snd = !head.snd then tail else hd1 :: head :: tail)\n (hd2 :: tl2))",
"tactic": "dsimp only"
},
{
"state_after": "case inl\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nh : hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd\n⊢ Red (hd1 :: tl1) tl2\n\ncase inr\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nh : ¬(hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (hd1 :: hd2 :: tl2)",
"state_before": "α : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (if hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd then tl2 else hd1 :: hd2 :: tl2)",
"tactic": "split_ifs with h"
},
{
"state_after": "case inl\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nh : hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd\n⊢ Red (hd1 :: tl1) tl2",
"state_before": "case inl\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nh : hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd\n⊢ Red (hd1 :: tl1) tl2",
"tactic": "trans"
},
{
"state_after": "case inl.mk\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nh : (fst✝, snd✝).fst = hd2.fst ∧ (fst✝, snd✝).snd = !hd2.snd\n⊢ Red ((fst✝, snd✝) :: tl1) tl2",
"state_before": "case inl\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nh : hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd\n⊢ Red (hd1 :: tl1) tl2",
"tactic": "cases hd1"
},
{
"state_after": "case inl.mk.mk\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝¹ : α\nsnd✝¹ : Bool\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\nh : (fst✝¹, snd✝¹).fst = (fst✝, snd✝).fst ∧ (fst✝¹, snd✝¹).snd = !(fst✝, snd✝).snd\n⊢ Red ((fst✝¹, snd✝¹) :: tl1) tl2",
"state_before": "case inl.mk\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nh : (fst✝, snd✝).fst = hd2.fst ∧ (fst✝, snd✝).snd = !hd2.snd\n⊢ Red ((fst✝, snd✝) :: tl1) tl2",
"tactic": "cases hd2"
},
{
"state_after": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝¹ : α\nsnd✝¹ : Bool\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\nleft✝ : (fst✝¹, snd✝¹).fst = (fst✝, snd✝).fst\nright✝ : (fst✝¹, snd✝¹).snd = !(fst✝, snd✝).snd\n⊢ Red ((fst✝¹, snd✝¹) :: tl1) tl2",
"state_before": "case inl.mk.mk\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝¹ : α\nsnd✝¹ : Bool\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\nh : (fst✝¹, snd✝¹).fst = (fst✝, snd✝).fst ∧ (fst✝¹, snd✝¹).snd = !(fst✝, snd✝).snd\n⊢ Red ((fst✝¹, snd✝¹) :: tl1) tl2",
"tactic": "cases h"
},
{
"state_after": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝¹ : α\nsnd✝¹ : Bool\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\nleft✝ : fst✝¹ = fst✝\nright✝ : snd✝¹ = !snd✝\n⊢ Red ((fst✝¹, snd✝¹) :: tl1) tl2",
"state_before": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝¹ : α\nsnd✝¹ : Bool\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\nleft✝ : (fst✝¹, snd✝¹).fst = (fst✝, snd✝).fst\nright✝ : (fst✝¹, snd✝¹).snd = !(fst✝, snd✝).snd\n⊢ Red ((fst✝¹, snd✝¹) :: tl1) tl2",
"tactic": "dsimp at *"
},
{
"state_after": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\n⊢ Red ((fst✝, !snd✝) :: tl1) tl2",
"state_before": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝¹ : α\nsnd✝¹ : Bool\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\nleft✝ : fst✝¹ = fst✝\nright✝ : snd✝¹ = !snd✝\n⊢ Red ((fst✝¹, snd✝¹) :: tl1) tl2",
"tactic": "subst_vars"
},
{
"state_after": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\n⊢ Red ((fst✝, !snd✝) :: (fst✝, snd✝) :: tl2) tl2",
"state_before": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\n⊢ Red ((fst✝, !snd✝) :: tl1) tl2",
"tactic": "apply Red.trans (Red.cons_cons ih)"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inl.mk.mk.intro\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\ntl1 tl2 : List (α × Bool)\nfst✝ : α\nsnd✝ : Bool\nhtl : reduce tl1 = (fst✝, snd✝) :: tl2\nih : Red tl1 ((fst✝, snd✝) :: tl2)\n⊢ Red ((fst✝, !snd✝) :: (fst✝, snd✝) :: tl2) tl2",
"tactic": "exact Red.Step.cons_not_rev.to_red"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "case inr\nα : Type u\nL L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)\ninst✝ : DecidableEq α\nhd1 : α × Bool\ntl1 : List (α × Bool)\nhd2 : α × Bool\ntl2 : List (α × Bool)\nhtl : reduce tl1 = hd2 :: tl2\nih : Red tl1 (hd2 :: tl2)\nh : ¬(hd1.fst = hd2.fst ∧ hd1.snd = !hd2.snd)\n⊢ Red (hd1 :: tl1) (hd1 :: hd2 :: tl2)",
"tactic": "exact Red.cons_cons ih"
}
] |
[
1148,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1127,
1
] |
Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
|
Ideal.map_inf_comap_of_surjective
|
[] |
[
1588,
32
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
1587,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
|
CategoryTheory.HasLiftingProperty.unop
|
[
{
"state_after": "C : Type u_1\ninst✝ : Category C\nA✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C\ni✝ : A✝ ⟶ B✝\ni' : B✝ ⟶ B'\np✝ : X✝ ⟶ Y✝\np' : Y✝ ⟶ Y'\nA B X Y : Cᵒᵖ\ni : A ⟶ B\np : X ⟶ Y\nh : HasLiftingProperty i p\nf : Y.unop ⟶ B.unop\ng : X.unop ⟶ A.unop\nsq : CommSq f p.unop i.unop g\n⊢ CommSq.HasLift (_ : CommSq g.op i.unop.op p.unop.op f.op)",
"state_before": "C : Type u_1\ninst✝ : Category C\nA✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C\ni✝ : A✝ ⟶ B✝\ni' : B✝ ⟶ B'\np✝ : X✝ ⟶ Y✝\np' : Y✝ ⟶ Y'\nA B X Y : Cᵒᵖ\ni : A ⟶ B\np : X ⟶ Y\nh : HasLiftingProperty i p\nf : Y.unop ⟶ B.unop\ng : X.unop ⟶ A.unop\nsq : CommSq f p.unop i.unop g\n⊢ CommSq.HasLift sq",
"tactic": "rw [CommSq.HasLift.iff_op]"
},
{
"state_after": "C : Type u_1\ninst✝ : Category C\nA✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C\ni✝ : A✝ ⟶ B✝\ni' : B✝ ⟶ B'\np✝ : X✝ ⟶ Y✝\np' : Y✝ ⟶ Y'\nA B X Y : Cᵒᵖ\ni : A ⟶ B\np : X ⟶ Y\nh : HasLiftingProperty i p\nf : Y.unop ⟶ B.unop\ng : X.unop ⟶ A.unop\nsq : CommSq f p.unop i.unop g\n⊢ CommSq.HasLift (_ : CommSq g.op i p f.op)",
"state_before": "C : Type u_1\ninst✝ : Category C\nA✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C\ni✝ : A✝ ⟶ B✝\ni' : B✝ ⟶ B'\np✝ : X✝ ⟶ Y✝\np' : Y✝ ⟶ Y'\nA B X Y : Cᵒᵖ\ni : A ⟶ B\np : X ⟶ Y\nh : HasLiftingProperty i p\nf : Y.unop ⟶ B.unop\ng : X.unop ⟶ A.unop\nsq : CommSq f p.unop i.unop g\n⊢ CommSq.HasLift (_ : CommSq g.op i.unop.op p.unop.op f.op)",
"tactic": "simp only [Quiver.Hom.op_unop]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u_1\ninst✝ : Category C\nA✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C\ni✝ : A✝ ⟶ B✝\ni' : B✝ ⟶ B'\np✝ : X✝ ⟶ Y✝\np' : Y✝ ⟶ Y'\nA B X Y : Cᵒᵖ\ni : A ⟶ B\np : X ⟶ Y\nh : HasLiftingProperty i p\nf : Y.unop ⟶ B.unop\ng : X.unop ⟶ A.unop\nsq : CommSq f p.unop i.unop g\n⊢ CommSq.HasLift (_ : CommSq g.op i p f.op)",
"tactic": "infer_instance"
}
] |
[
69,
20
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
64,
1
] |
Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
|
UniformSpace.Completion.denseRange_coe₃
|
[] |
[
491,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
488,
1
] |
Mathlib/Order/RelClasses.lean
|
eq_empty_relation
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u\nβ : Type v\nr✝ : α → α → Prop\ns : β → β → Prop\nr : α → α → Prop\ninst✝¹ : IsIrrefl α r\ninst✝ : Subsingleton α\n⊢ ∀ (a b : α), r a b = EmptyRelation a b",
"tactic": "simpa using not_rel_of_subsingleton r"
}
] |
[
157,
54
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
156,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
|
CategoryTheory.Limits.biprod.map_lift_mapBiprod
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u₁\ninst✝⁶ : Category C\nD : Type u₂\ninst✝⁵ : Category D\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝² : PreservesZeroMorphisms F\nX Y : C\ninst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y\ninst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F\nW : C\nf : W ⟶ X\ng : W ⟶ Y\n⊢ F.map (lift f g) ≫ (mapBiprod F X Y).hom = lift (F.map f) (F.map g)",
"tactic": "apply biprod.hom_ext <;> simp [mapBiprod, ← F.map_comp]"
}
] |
[
453,
58
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
451,
1
] |
Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
|
CategoryTheory.Limits.colimitObjIsoColimitCompEvaluation_ι_inv
|
[
{
"state_after": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category C\nD : Type u'\ninst✝³ : Category D\nJ : Type u₁\ninst✝² : Category J\nK : Type u₂\ninst✝¹ : Category K\ninst✝ : HasColimitsOfShape J C\nF : J ⥤ K ⥤ C\nj : J\nk : K\n⊢ colimit.ι (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j ≫ (preservesColimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv =\n (colimit.ι F j).app k",
"state_before": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category C\nD : Type u'\ninst✝³ : Category D\nJ : Type u₁\ninst✝² : Category J\nK : Type u₂\ninst✝¹ : Category K\ninst✝ : HasColimitsOfShape J C\nF : J ⥤ K ⥤ C\nj : J\nk : K\n⊢ colimit.ι (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F k).inv = (colimit.ι F j).app k",
"tactic": "dsimp [colimitObjIsoColimitCompEvaluation]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "C : Type u\ninst✝⁴ : Category C\nD : Type u'\ninst✝³ : Category D\nJ : Type u₁\ninst✝² : Category J\nK : Type u₂\ninst✝¹ : Category K\ninst✝ : HasColimitsOfShape J C\nF : J ⥤ K ⥤ C\nj : J\nk : K\n⊢ colimit.ι (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j ≫ (preservesColimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv =\n (colimit.ι F j).app k",
"tactic": "simp"
}
] |
[
285,
7
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
280,
1
] |
Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
|
Bornology.isBounded_empty
|
[
{
"state_after": "ι : Type ?u.4271\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.4277\ninst✝ : Bornology α\ns t : Set α\nx : α\n⊢ univ ∈ cobounded α",
"state_before": "ι : Type ?u.4271\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.4277\ninst✝ : Bornology α\ns t : Set α\nx : α\n⊢ IsBounded ∅",
"tactic": "rw [isBounded_def, compl_empty]"
},
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "ι : Type ?u.4271\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.4277\ninst✝ : Bornology α\ns t : Set α\nx : α\n⊢ univ ∈ cobounded α",
"tactic": "exact univ_mem"
}
] |
[
176,
17
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
174,
1
] |
Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
|
Int.natAbs_inj_of_nonneg_of_nonneg
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "a✝ b✝ : ℤ\nn : ℕ\na b : ℤ\nha : 0 ≤ a\nhb : 0 ≤ b\n⊢ natAbs a = natAbs b ↔ a = b",
"tactic": "rw [← sq_eq_sq ha hb, ← natAbs_eq_iff_sq_eq]"
}
] |
[
65,
83
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
64,
1
] |
Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
|
PGame.Subsequent.moveRight
|
[] |
[
273,
41
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
272,
1
] |
Mathlib/Data/Vector.lean
|
Vector.eq
|
[] |
[
204,
31
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
203,
11
] |
Mathlib/Analysis/Calculus/Inverse.lean
|
HasStrictFDerivAt.localInverse_apply_image
|
[] |
[
638,
42
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
636,
1
] |
Std/Data/Int/Lemmas.lean
|
Int.sub_one_lt_of_le
|
[] |
[
1259,
51
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
1258,
1
] |
Std/Data/List/Basic.lean
|
List.takeD_nil
|
[
{
"state_after": "no goals",
"state_before": "α : Type u_1\nn : Nat\na : α\n⊢ takeD n [] a = replicate n a",
"tactic": "induction n <;> simp [*]"
}
] |
[
592,
100
] |
e68aa8f5fe47aad78987df45f99094afbcb5e936
|
https://github.com/leanprover/std4
|
[
592,
9
] |
Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
|
interior_smul₀
|
[] |
[
338,
57
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
337,
1
] |
Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
|
Algebra.coe_inf
|
[] |
[
835,
85
] |
5a919533f110b7d76410134a237ee374f24eaaad
|
https://github.com/leanprover-community/mathlib4
|
[
835,
1
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.