baebee/opentune · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 7.5k
Halimbawa , ang ( lx.x ) lx.
( x ) lx.x , and ( ( lx.y ) x ) ( ( lx.y ) ) ( x ) ( lx.y ) y.
Ang kondisyon ng pagiging sariwa ( na nag - aatas na ang y ay wala sa mga malayang bariabulo ng r ) ay mahalaga upang masigurado na ang substitusyon ay hindi nagpapabago ng kahulugan ng mga punsiyon.
Halimbawa , ipagpalagay na naglalarawan tayo ng isa pang aksiyong substitusyon na walang kondisyon ng pagiging sariwa.
Kung gayon , ang ( lx.y ) lx.
( y ) lx.x at ang konstanteng punsiyon na lx.y ay nagiging identidad na lx.x sa pamamagitan ng substitusyon.
Kung ang kondisyon ng pagiging sariwa ay hindi matatagpo , kung gayon maaaring simpleng muling pangalan ang alpha ng isang angkop na sariwang bariabulo.
Halimbawa , kung babalik tayo sa ating tamang nosyon ng substitusyon sa ( lx.y ) , ang abstraksiyong lambda ay maaaring muling pangalanan ng isang sariwang bariabulong z upang makamit ang ( lz.y ) lz.
( y ) lz.x at ang kahulugan ng punsiyon ay naiingatan ng substitusyon.
Ang reduksiyong beta ay nagsasaad na ang ang aplikasyong may anyong ( lx.t ) s ay lumiliit sa t ( isinusulat ang ( lx.t ) s - t bilang konbinyenteng maiklingkamay ( shorthand ) para sa " ( lx.t ) s ay lumiliit sa beta sat " ).
Halimbawa , sa bawat s meron tayong ( lx.x ) s - x s na nagpapakitang ang lx.x ang talagang identidad.
Gayundin , ang ( lx.y ) s - y y ay nagpapakitang ang lx.y ay talagang isang konstanteng punsiyon.
Ang kalkulong lambda ay maaaring maunawaan bilang ginawang ideyal na wika ng pagpoprogramang punsiyonal gaya ng Haskell o Pamantayang ML.
Sa ilalim ng pananaw na ito , ang reduksiyong beta ay tumutugon sa hakbang komputasyon at sa walang - tayp na kalkulong lambda na ipinapakita rito , ang reduksiyon ay hindi kailangang magwakas.
Halimbawa , tingnan ang terminong ( lx.xx ) ( lx.xx ).
Dito , meron tayong ( lx.xx ) ( lx.xx ) - ( xx ) ( x ) ( x ) ( lx.xx ) ( lx.xx ).
Na ang ibig sabihin , ang termino ay lumiliit sa isang reduksiyong beta kaya ang reduksiyon ay hindi magwawakas.
Ang isa pang problem sa walang - tayp na kalkulong lambda ang kawalang kakayahan na makilala ang pagkakaiba sa pagitan ng iba 't ibang uri ng data.
Halimbawa , maaari tayong magsulat ng punsiyon na tanging nagsasagawa ng operasyon sa mga bilang.
Ngunit sa walang - tayp na kalkulong lambda , walang paraan upang maiwasan ang ating punsiyon na mailapat halimbawa sa mga katotohanang halaga ( truth value ) o mga tali ( strings ).
Ang may - tayp na kalkulong lambda na ay nagtatangkang alisin ang mga hindi nag - aasal na mga termino hangga 't posible.
Ang mga ekspresyong lambda ay binubuo ng.
Ang mga hanay ng ekspresyong lambda na L ay maaaring ilarawan na.
Ang mga instansiya ng patakarang 2 ay kilala bilang mga abstraksiyon at ang mga instansiya ng patakarang 3 ay kilala bilang mga aplikasyon.
Upang maiwasan ang notasyon ng mga ekspresyong lambda na maging magulo , ang sumusunod na mga kumbensiyon ay karaniwang nilalapat.
Ang operador ng abstraksiyon na l ay sinasabing nagbibigkis ng bariabulo saan man ito makita sa katawan ng abstraksiyon.
Ang mga bariabulong nahuhulog sa loob ng sakop ng lamba ay sinasabing nakabigkis ( bound ).
Ang ibang mga bariabulo ay tinatawag na malaya.
Halimbawa sa sumusunod na ekpresyon , ang y ay isang nakabigkis na bariabulo at ang x ay malaya : ly.x x y.
Tandaan din na angbariabulo ay nagbibigkis sa " pinakamalapit " nitong lambda.
Sa sumusunod na mga ekspresyon , ang isang makikitang x ay nakabigkis sa ikalawang lambda : lx.y ( lx.z x ).
Ang hanay ng mga malalayang bariabulo ng ekspresyong lambda na M ay tinutukoy bilang FV ( M ) at inilalarawan sa pamamagitan ng rekursiyon sa straktura ng mga termino gaya ng sumusunod :.
Ang isang ekspresyong hindi naglalaman ng malayang mga bariabulo ay sinasabing sarado.
Ang saradong mga ekspresyong lambda ay kilala rin bilang mga kombinador ( combinator ) at katumbas ng mga termino sa kombinatoryong lohika.
Ang kahulugan ng mga ekspresyong lambda ay inilalarawan kung paanong ang mga ekspresyon ay mapapaliit.
May tatlong uri ng reduksiyon ( pagpapaliit ) :.
Ating sasalitain ang mga nagresultang mga pagkakatumbas : ang dalawang mga ekspresyon ay b - magkatumbas kung ang mga ito ay ma - b - konberte ( baguhin ) sa parehong ekspresyon at ang a / e - pagkakatumbas ay inilalarawan ng pareho.
Ang terminong redex , na pinaikling reducible expression ( mapapaliit na ekspresyon ) , ay tumutukoy sa pang - ilalim na mga termino ( subterms ) na maaaring mapaliit sa pamamagitan ng isa sa mga patakarang reduksiyon.
Halimbawa , ang ( lx.M ) N ay isang beta - redex ; kung ang x ay hindi malaya sa M , ang lx.M x ay isang eta - redex.
Ang ekspresyon kung saan ang redex ay lumiliit ay tinatawag na reduct nito.
Kung gagamitin ang nakaraang halimbawa , ang mga reduct ng mga ekspresyong ito ay M at M.
Ang Alpha - konbersiyon na minsang kilala bilang alpha - renaming ( alpha - muling pagpapangalan ) , ay pumapayag sa mga pangalan ng mga nakabigkis ( bound ) na bariabulo na mabago.
Halimbawa , ang alpha - konbersiyon ng lx.x ay maaaring magbigay ng ly.y.
Ang terminong tanging magkaiba sa alpha - konbersiyon ay tinatawag na a - magkatumbas.
Sa kalimitang mga gamit sa kalkulong lambda , ang mga terminong a - magkatumbas ay tinuturing na magkatumbas.
Ang tiyak na mga patakaran para sa alpha - konbersiyon ay hindi buong walang kahalagahan.
Una , kung alpha - kinokonberte ( binabago ) ang isang abstraksiyon , ang tanging mga bariabulong makikita na muling pinangalanan ang mga nakabigkis sa parehong abstraksiyon.
Halimbawa , ang alpha - konbersiyon ng lx.lx.x ay maaaring magresulta ng ly.lx.x , ngunit hindi ito maaaring magresulta ng ly.lx.y.
Ang huli ay may ibang kahulugan sa orihinal.
Ikalawa , ang ang alpha - konbersiyon ay hindi posible kung ito ay magreresulta sa bariabulong mabibihag ng ibang abstraksiyon.
Halimbawa , kung papalitan natin ang x ng y sa lx.ly.x , ating makukuha ang ly.ly.y , na hindi pareho.
Sa mga wikang pamprograma na may statikong ( hindi nagbabagong ) sakop , ang alpha - konbersiyon ay maaaring gamitin upang gawin ang resolusyon ng pangalan na mas simple sa pamamagitan ng pagsisiguro na walang pangalan ng bariabulo ang nagtatakip ( ang bariabulong idineklara sa isang loob na sakop ( scope ) ay may parehong pangalan sa panlabas na sakop ) ng pangalan sa naglalamang sakop ( scope ).
Ang substitusyon na isinusulat na E ang proseso ng pagpapalit ng lahat ng malayang instansiya ng bariabulong V sa pamamagitan ng ekspresyong E '.
Ang substitusyon sa mga termino ng l - kalkulo ay inilalarawan ng rekursiyon sa straktura ng mga termino gaya ng sumusunod :.
Upang maghalili sa isang abstaksiyong lambda , minsan ay kinakailangang i - a - konberte ang ekspresyon.
Halimbawa , hindi tama para sa ( lx.y ) na magresulta sa ( lx.x ) dahil ang hinaliling x ay dapat malaya ngunit naging nabigkis ( bound ).
Ang tamang substitusyon sa kasong ito ay ( lz.x ) hanggang sa a - pagkakatumbas.
Pansinin na ang substitusyon at inilalarawan ng walang kagaya hanggang sa a - pagkakatumbas.
Ang beta - reduksiyon ay bumibihag ng ideyang ng aplikasyon ng punsiyon. ang beta - reduksiyon ay inilalarawan sa mga termino ng substitusyon : ang beta - reduksiyon ng B ( ( lV.E ) E ' ) is E.
Halimbawa , kung ipagpalagay ang ilang pagkakoda ng 2 , 7 , * , meron tayong sumusunod na mga b - reduksiyon : ( ( ln.n * 2 ) 7 ) - 7 * 2.
Ang eta - konbersiyon ay naghahayag ng ideya ng ekstensiyonalidad na sa kontekstong ito ay ang dalawang mga punsiyon ay pareho kung at tanging kung ang mga ito ay nagbibigay ng parehong resulta sa lahat ng mga argumento.
Ang eta - konbersiyon ay nag - kokonberte sa pagitan ng lx.f x at f sa tuwing ang x ay hindi lumalabas na malaya sa f.
Para sa walang - tayp ng kalkulong lambda , ang b - reduksiyon bilang patakarang muling pagsulat ay hindi malakas na nagnonormalisa ni mahinang nagnonormalisa.
Gayunpaman , ang parehong malakas na nagnonormalisang mga termino at mga mahinang nagnonormalisang mga termino ay may unikong ( unique o walang katulad ) na anyong normal.
Para sa mga malakas na nagnonormalisang mga termino , ang anumang stratehiyang reduksiyon ay ginagarantiya na magbibigay ng anyong normal samantalang para sa mahinang nagnonormalisang mga termino , ang ilang stratehiyang reduksiyon ay maaaring mabigong mahanap ito.
Ang basikong kalkulong lambda ay maaaring gamitin upang imodelo ang mga boolean , aritmetika , mga straktura ng data , at rekursiyon gaya ng ipinapakita sa mga sumusunod na pang - ilalim na seksiyon.
Mayroong ilang mga posibleng paraan upang ilarawan ang natural na bilang sa kalkulong lambda , ngunit sa kasalukuyan ang pinakakaraniwan ang mga numeral ni Church na maaaring ilarawan sa mga sumusunod :.
at tuloy tuloy pa.
O kung gagamitin ang alternatibong sintaks na pinakita sa itaas na notasyon :.
Ang isang numeral na Church ay isang mataas na antas na punsiyon - - ito ay kumukuha ng isang - argumentong punsiyong f at nagbabalik ng isang - argumentong punsiyong.
Ang numeral na Church na n ay isang punsiyon na kumukuha ng na f bilang argumento at nagbabalik ng ika - n na komposisyon ng f , i.e. ang punsiyong f ay binubuo ng sarili nito ng n beses.
Ito ay tinutukoy ng f ( n ) at sa katunayan ay ang ikan kapangyarihan ng f ( na tinuturing bilang operador ) ; Ang f ( 0 ) ay inilalarawan bilang punsiyong identidad.
Ang mga gayong paulit ulit na komposisyon ( ng isang punsiyong f ) ay sumusunod sa mga batas ng eksponente kaya ang numeral na ito ay maaaring gamitin para sa aritmetika.
( Sa orihinal na kalkulong lambda ni Church , ang pormal na paremetro ng isang ekspresyong lambda ay inaaatasan makita ng kahit isang beses sa katawan ng punsiyon na gumawa sa taas na depinisyon ng 0 na imposible.
).
Tayo ay maglalarawan ng kahaliling punsiyon na kumukuha ng bilang na n at nagbabalik ng n + 1 sa pamamagitan ng pagdaragdag ng karagdagang aplikasyon ng f :.
Dahil ang ika - m komposisyon ng f na binubuo ng ika n komposisyon ng f ay nagbibigay ng ika - m + n komposisyon ng f , ang adisyon ay maaaring ilarawan ng sumusunod :.
PLUS ay maaaring unawain bilang punsiyong kumukuha ng dalawang natural na bilang bilang mga argumento at nagbabalik ng isang natural na bilang ; maaaring mapatunayan na ang.
ay magkatumbas ng mga ekspresyong lambda.
Dahil sa pagdaragdag ng m sa bilang na n ay maisasagawa sa pamamagitan ng pagdadagdag ng 1 na m beses , ang isang katumbas na depinsiyon ay :.
Gayundin , ang multiplikasyon ay maaaring ilarawan bilang.
Sa alternatibong paraan ang.
dahil ang pagpaparami ng m at n ay kapareho ng paguulit ng pagdaragdag na n punsiyon na m beses at pagkatapos ay paglalapat nito sa sero.
Ang eksponensiyasiyon ay may simpleng paglalarawan sa mga numeral na Church na.
Ang pangunang punsiyong inilalarawan ng PRED n n - 1 para sa positibong intedyer na n and PRED 0 0 ay itinuturing na mas mahirap.
Ang pormulang.
ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan sa paaraang induksiyon na kung ang T ay tumutukoy sa ( lgh.h ( g f ) ) , kung gayon , ang T ( n ) ( lu.x ) ( lh.h ( f ( n - 1 ) ( x ) ) ) for n > 0.
Ang dalawang iba pang mga depinisyon ng PRED ay ibinibigay sa ibaba.
Ang isa gamit ang mga kondisyonal at isa gamit ang mga pares.
Sa paggamit ng pangunang punsiyon , ang substraksiyon ay diretso.
Kung ilalaare given below , one using conditionals and the other using pairs.
With the predecessor function , subtraction is straightforward.
Kung ilalarawan ang.
Ang SUB m n ay nagbibigay na m - n kung ang m > n at 0 kung hindi.
Sa konserbasyon , ang mga sumusunod na depinisyon ( na kilala bilang mga boolean na Church ) ay ginagamit para sa mga halagang boolean na TRUE and FALSE :.
Ngayon , gamit ang dalawang mga l - termino , maaari nating ilarawan ang ilang operador na lohika ( ang mga ito ay pawang mga posibleng pormula ; ang ibang mga ekspresyon ay parehong tama ) :.
Ngayon , makukwenta na nating ang ilang punsiyong lohika halimbawa ang :.
at makikita nating ang AND TRUE FALSE ay katumbas ng FALSE.
Ang isang predikato ( predicate ) ay isang punsiyon na nagbabalik ng isang halagang boolean.
Ang pinaka pundamental na predikato ang ISZERO na nagbabalik ng TRUE kung ang argumento nito ay ang numeral na Church na0 , at FALSE kung ang argumento nito ay iba pang numeral na Church :.

Halimbawa , ang ( lx.x ) lx.

( x ) lx.x , and ( ( lx.y ) x ) ( ( lx.y ) ) ( x ) ( lx.y ) y.

Ang kondisyon ng pagiging sariwa ( na nag - aatas na ang y ay wala sa mga malayang bariabulo ng r ) ay mahalaga upang masigurado na ang substitusyon ay hindi nagpapabago ng kahulugan ng mga punsiyon.

Halimbawa , ipagpalagay na naglalarawan tayo ng isa pang aksiyong substitusyon na walang kondisyon ng pagiging sariwa.

Kung gayon , ang ( lx.y ) lx.

( y ) lx.x at ang konstanteng punsiyon na lx.y ay nagiging identidad na lx.x sa pamamagitan ng substitusyon.

Kung ang kondisyon ng pagiging sariwa ay hindi matatagpo , kung gayon maaaring simpleng muling pangalan ang alpha ng isang angkop na sariwang bariabulo.

Halimbawa , kung babalik tayo sa ating tamang nosyon ng substitusyon sa ( lx.y ) , ang abstraksiyong lambda ay maaaring muling pangalanan ng isang sariwang bariabulong z upang makamit ang ( lz.y ) lz.

( y ) lz.x at ang kahulugan ng punsiyon ay naiingatan ng substitusyon.

Ang reduksiyong beta ay nagsasaad na ang ang aplikasyong may anyong ( lx.t ) s ay lumiliit sa t ( isinusulat ang ( lx.t ) s - t bilang konbinyenteng maiklingkamay ( shorthand ) para sa " ( lx.t ) s ay lumiliit sa beta sat " ).

Halimbawa , sa bawat s meron tayong ( lx.x ) s - x s na nagpapakitang ang lx.x ang talagang identidad.

Gayundin , ang ( lx.y ) s - y y ay nagpapakitang ang lx.y ay talagang isang konstanteng punsiyon.

Ang kalkulong lambda ay maaaring maunawaan bilang ginawang ideyal na wika ng pagpoprogramang punsiyonal gaya ng Haskell o Pamantayang ML.

Sa ilalim ng pananaw na ito , ang reduksiyong beta ay tumutugon sa hakbang komputasyon at sa walang - tayp na kalkulong lambda na ipinapakita rito , ang reduksiyon ay hindi kailangang magwakas.

Halimbawa , tingnan ang terminong ( lx.xx ) ( lx.xx ).

Dito , meron tayong ( lx.xx ) ( lx.xx ) - ( xx ) ( x ) ( x ) ( lx.xx ) ( lx.xx ).

Na ang ibig sabihin , ang termino ay lumiliit sa isang reduksiyong beta kaya ang reduksiyon ay hindi magwawakas.

Ang isa pang problem sa walang - tayp na kalkulong lambda ang kawalang kakayahan na makilala ang pagkakaiba sa pagitan ng iba 't ibang uri ng data.

Halimbawa , maaari tayong magsulat ng punsiyon na tanging nagsasagawa ng operasyon sa mga bilang.

Ngunit sa walang - tayp na kalkulong lambda , walang paraan upang maiwasan ang ating punsiyon na mailapat halimbawa sa mga katotohanang halaga ( truth value ) o mga tali ( strings ).

Ang may - tayp na kalkulong lambda na ay nagtatangkang alisin ang mga hindi nag - aasal na mga termino hangga 't posible.

Ang mga ekspresyong lambda ay binubuo ng.

Ang mga hanay ng ekspresyong lambda na L ay maaaring ilarawan na.

Ang mga instansiya ng patakarang 2 ay kilala bilang mga abstraksiyon at ang mga instansiya ng patakarang 3 ay kilala bilang mga aplikasyon.

Upang maiwasan ang notasyon ng mga ekspresyong lambda na maging magulo , ang sumusunod na mga kumbensiyon ay karaniwang nilalapat.

Ang operador ng abstraksiyon na l ay sinasabing nagbibigkis ng bariabulo saan man ito makita sa katawan ng abstraksiyon.

Ang mga bariabulong nahuhulog sa loob ng sakop ng lamba ay sinasabing nakabigkis ( bound ).

Ang ibang mga bariabulo ay tinatawag na malaya.

Halimbawa sa sumusunod na ekpresyon , ang y ay isang nakabigkis na bariabulo at ang x ay malaya : ly.x x y.

Tandaan din na angbariabulo ay nagbibigkis sa " pinakamalapit " nitong lambda.

Sa sumusunod na mga ekspresyon , ang isang makikitang x ay nakabigkis sa ikalawang lambda : lx.y ( lx.z x ).

Ang hanay ng mga malalayang bariabulo ng ekspresyong lambda na M ay tinutukoy bilang FV ( M ) at inilalarawan sa pamamagitan ng rekursiyon sa straktura ng mga termino gaya ng sumusunod :.

Ang isang ekspresyong hindi naglalaman ng malayang mga bariabulo ay sinasabing sarado.

Ang saradong mga ekspresyong lambda ay kilala rin bilang mga kombinador ( combinator ) at katumbas ng mga termino sa kombinatoryong lohika.

Ang kahulugan ng mga ekspresyong lambda ay inilalarawan kung paanong ang mga ekspresyon ay mapapaliit.

May tatlong uri ng reduksiyon ( pagpapaliit ) :.

Ating sasalitain ang mga nagresultang mga pagkakatumbas : ang dalawang mga ekspresyon ay b - magkatumbas kung ang mga ito ay ma - b - konberte ( baguhin ) sa parehong ekspresyon at ang a / e - pagkakatumbas ay inilalarawan ng pareho.

Ang terminong redex , na pinaikling reducible expression ( mapapaliit na ekspresyon ) , ay tumutukoy sa pang - ilalim na mga termino ( subterms ) na maaaring mapaliit sa pamamagitan ng isa sa mga patakarang reduksiyon.

Halimbawa , ang ( lx.M ) N ay isang beta - redex ; kung ang x ay hindi malaya sa M , ang lx.M x ay isang eta - redex.

Ang ekspresyon kung saan ang redex ay lumiliit ay tinatawag na reduct nito.

Kung gagamitin ang nakaraang halimbawa , ang mga reduct ng mga ekspresyong ito ay M at M.

Ang Alpha - konbersiyon na minsang kilala bilang alpha - renaming ( alpha - muling pagpapangalan ) , ay pumapayag sa mga pangalan ng mga nakabigkis ( bound ) na bariabulo na mabago.

Halimbawa , ang alpha - konbersiyon ng lx.x ay maaaring magbigay ng ly.y.

Ang terminong tanging magkaiba sa alpha - konbersiyon ay tinatawag na a - magkatumbas.

Sa kalimitang mga gamit sa kalkulong lambda , ang mga terminong a - magkatumbas ay tinuturing na magkatumbas.

Ang tiyak na mga patakaran para sa alpha - konbersiyon ay hindi buong walang kahalagahan.

Una , kung alpha - kinokonberte ( binabago ) ang isang abstraksiyon , ang tanging mga bariabulong makikita na muling pinangalanan ang mga nakabigkis sa parehong abstraksiyon.

Halimbawa , ang alpha - konbersiyon ng lx.lx.x ay maaaring magresulta ng ly.lx.x , ngunit hindi ito maaaring magresulta ng ly.lx.y.

Ang huli ay may ibang kahulugan sa orihinal.

Ikalawa , ang ang alpha - konbersiyon ay hindi posible kung ito ay magreresulta sa bariabulong mabibihag ng ibang abstraksiyon.

Halimbawa , kung papalitan natin ang x ng y sa lx.ly.x , ating makukuha ang ly.ly.y , na hindi pareho.

Sa mga wikang pamprograma na may statikong ( hindi nagbabagong ) sakop , ang alpha - konbersiyon ay maaaring gamitin upang gawin ang resolusyon ng pangalan na mas simple sa pamamagitan ng pagsisiguro na walang pangalan ng bariabulo ang nagtatakip ( ang bariabulong idineklara sa isang loob na sakop ( scope ) ay may parehong pangalan sa panlabas na sakop ) ng pangalan sa naglalamang sakop ( scope ).

Ang substitusyon na isinusulat na E ang proseso ng pagpapalit ng lahat ng malayang instansiya ng bariabulong V sa pamamagitan ng ekspresyong E '.

Ang substitusyon sa mga termino ng l - kalkulo ay inilalarawan ng rekursiyon sa straktura ng mga termino gaya ng sumusunod :.

Upang maghalili sa isang abstaksiyong lambda , minsan ay kinakailangang i - a - konberte ang ekspresyon.

Halimbawa , hindi tama para sa ( lx.y ) na magresulta sa ( lx.x ) dahil ang hinaliling x ay dapat malaya ngunit naging nabigkis ( bound ).

Ang tamang substitusyon sa kasong ito ay ( lz.x ) hanggang sa a - pagkakatumbas.

Pansinin na ang substitusyon at inilalarawan ng walang kagaya hanggang sa a - pagkakatumbas.

Ang beta - reduksiyon ay bumibihag ng ideyang ng aplikasyon ng punsiyon. ang beta - reduksiyon ay inilalarawan sa mga termino ng substitusyon : ang beta - reduksiyon ng B ( ( lV.E ) E ' ) is E.

Halimbawa , kung ipagpalagay ang ilang pagkakoda ng 2 , 7 , * , meron tayong sumusunod na mga b - reduksiyon : ( ( ln.n * 2 ) 7 ) - 7 * 2.

Ang eta - konbersiyon ay naghahayag ng ideya ng ekstensiyonalidad na sa kontekstong ito ay ang dalawang mga punsiyon ay pareho kung at tanging kung ang mga ito ay nagbibigay ng parehong resulta sa lahat ng mga argumento.

Ang eta - konbersiyon ay nag - kokonberte sa pagitan ng lx.f x at f sa tuwing ang x ay hindi lumalabas na malaya sa f.

Para sa walang - tayp ng kalkulong lambda , ang b - reduksiyon bilang patakarang muling pagsulat ay hindi malakas na nagnonormalisa ni mahinang nagnonormalisa.

Gayunpaman , ang parehong malakas na nagnonormalisang mga termino at mga mahinang nagnonormalisang mga termino ay may unikong ( unique o walang katulad ) na anyong normal.

Para sa mga malakas na nagnonormalisang mga termino , ang anumang stratehiyang reduksiyon ay ginagarantiya na magbibigay ng anyong normal samantalang para sa mahinang nagnonormalisang mga termino , ang ilang stratehiyang reduksiyon ay maaaring mabigong mahanap ito.

Ang basikong kalkulong lambda ay maaaring gamitin upang imodelo ang mga boolean , aritmetika , mga straktura ng data , at rekursiyon gaya ng ipinapakita sa mga sumusunod na pang - ilalim na seksiyon.

Mayroong ilang mga posibleng paraan upang ilarawan ang natural na bilang sa kalkulong lambda , ngunit sa kasalukuyan ang pinakakaraniwan ang mga numeral ni Church na maaaring ilarawan sa mga sumusunod :.

at tuloy tuloy pa.

O kung gagamitin ang alternatibong sintaks na pinakita sa itaas na notasyon :.

Ang isang numeral na Church ay isang mataas na antas na punsiyon - - ito ay kumukuha ng isang - argumentong punsiyong f at nagbabalik ng isang - argumentong punsiyong.

Ang numeral na Church na n ay isang punsiyon na kumukuha ng na f bilang argumento at nagbabalik ng ika - n na komposisyon ng f , i.e. ang punsiyong f ay binubuo ng sarili nito ng n beses.

Ito ay tinutukoy ng f ( n ) at sa katunayan ay ang ikan kapangyarihan ng f ( na tinuturing bilang operador ) ; Ang f ( 0 ) ay inilalarawan bilang punsiyong identidad.

Ang mga gayong paulit ulit na komposisyon ( ng isang punsiyong f ) ay sumusunod sa mga batas ng eksponente kaya ang numeral na ito ay maaaring gamitin para sa aritmetika.

( Sa orihinal na kalkulong lambda ni Church , ang pormal na paremetro ng isang ekspresyong lambda ay inaaatasan makita ng kahit isang beses sa katawan ng punsiyon na gumawa sa taas na depinisyon ng 0 na imposible.

).

Tayo ay maglalarawan ng kahaliling punsiyon na kumukuha ng bilang na n at nagbabalik ng n + 1 sa pamamagitan ng pagdaragdag ng karagdagang aplikasyon ng f :.

Dahil ang ika - m komposisyon ng f na binubuo ng ika n komposisyon ng f ay nagbibigay ng ika - m + n komposisyon ng f , ang adisyon ay maaaring ilarawan ng sumusunod :.

PLUS ay maaaring unawain bilang punsiyong kumukuha ng dalawang natural na bilang bilang mga argumento at nagbabalik ng isang natural na bilang ; maaaring mapatunayan na ang.

ay magkatumbas ng mga ekspresyong lambda.

Dahil sa pagdaragdag ng m sa bilang na n ay maisasagawa sa pamamagitan ng pagdadagdag ng 1 na m beses , ang isang katumbas na depinsiyon ay :.

Gayundin , ang multiplikasyon ay maaaring ilarawan bilang.

Sa alternatibong paraan ang.

dahil ang pagpaparami ng m at n ay kapareho ng paguulit ng pagdaragdag na n punsiyon na m beses at pagkatapos ay paglalapat nito sa sero.

Ang eksponensiyasiyon ay may simpleng paglalarawan sa mga numeral na Church na.

Ang pangunang punsiyong inilalarawan ng PRED n n - 1 para sa positibong intedyer na n and PRED 0 0 ay itinuturing na mas mahirap.

Ang pormulang.

ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan sa paaraang induksiyon na kung ang T ay tumutukoy sa ( lgh.h ( g f ) ) , kung gayon , ang T ( n ) ( lu.x ) ( lh.h ( f ( n - 1 ) ( x ) ) ) for n > 0.

Ang dalawang iba pang mga depinisyon ng PRED ay ibinibigay sa ibaba.

Ang isa gamit ang mga kondisyonal at isa gamit ang mga pares.

Sa paggamit ng pangunang punsiyon , ang substraksiyon ay diretso.

Kung ilalaare given below , one using conditionals and the other using pairs.

With the predecessor function , subtraction is straightforward.

Kung ilalarawan ang.

Ang SUB m n ay nagbibigay na m - n kung ang m > n at 0 kung hindi.

Sa konserbasyon , ang mga sumusunod na depinisyon ( na kilala bilang mga boolean na Church ) ay ginagamit para sa mga halagang boolean na TRUE and FALSE :.

Ngayon , gamit ang dalawang mga l - termino , maaari nating ilarawan ang ilang operador na lohika ( ang mga ito ay pawang mga posibleng pormula ; ang ibang mga ekspresyon ay parehong tama ) :.

Ngayon , makukwenta na nating ang ilang punsiyong lohika halimbawa ang :.

at makikita nating ang AND TRUE FALSE ay katumbas ng FALSE.

Ang isang predikato ( predicate ) ay isang punsiyon na nagbabalik ng isang halagang boolean.

Ang pinaka pundamental na predikato ang ISZERO na nagbabalik ng TRUE kung ang argumento nito ay ang numeral na Church na0 , at FALSE kung ang argumento nito ay iba pang numeral na Church :.